专题强化04：轴对称题型归纳【9大题型 培优】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化04：轴对称题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：轴对称图形 · 题型二：轴对称的性质 · 题型三：镜面对称问题 · 题型四：设计轴对称图形问题 · 题型五：轴对称的坐标问题 · 题型六：线段问题（轴对称） · 题型七：面积问题（轴对称） · 题型八：角度问题(轴对称) · 题型九：轴对称的综合问题 【题型探究】 题型一：轴对称图形 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A．  B．   C．   D．   2．下列图案是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（   ） A． B． C． D． 题型二：轴对称的性质 4．下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 6．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 题型三：镜面对称问题 7．墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是（    ）    A． B． C． D． 8．小明从平面镜中看到镜子对面的电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（    ） A． B． C． D． 9．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（    ） A．B． C． D． 题型四：设计轴对称图形问题 10．如图所示的网格中，已有2个小正方形涂成了黑色，再另选1个小正方形涂成黑色，使黑色部分是轴对称图形，可以有多少种不同的选择（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 11．如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．612．小逸和小乐下棋，小逸执圆形棋子，小乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用表示，右下角方子的位置用表示，小逸将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则小逸放的位置可能是（    ） A． B． C． D． 题型五：轴对称的坐标问题 13．在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 15．点与点关于轴对称，则的值是（    ） A．1 B． C．2023 D． 题型六：线段问题（轴对称） 16．如图，在中，，，边上的高，是上的一个动点，是边的中点，则的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 17．如图，在锐角三角形中，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，当取最小值时，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 题型七：面积问题（轴对称） 19．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝2，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝ ． 20．在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上． (1)作出关于轴对称的（点的对称点分别是； (2)在轴上找点，使得的值最小，并直接写出点的坐标； (3)直接写出的面积． 21．如图所示．    (1)作出关于轴对称的图形； (2)在轴上确定一点，使得最小； (3)求出的面积． 题型八：角度问题(轴对称) 22．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 23．如图，等腰中，，，是边上的中线，F是边上的动点，E是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 24．如图，P是内一点，点M，N分别在边OA，OB上运动．若，，则的周长最小值为 ，此时的度数为 ． 题型九：轴对称的综合问题 25．在 和 中，，连接 ，恰好平分 ．    (1)如图1，当 时，求 的度数； (2)如图2，在射线 上存在一点 ，使 ，连接 ． 当 ，时，试说明 与 的位置关系； (3)如图3，在（2）问的条件下，连接 并延长，分别交 ，于点 ，，若 ，，，分别为 和 上的动点，请直接写出 周长的最小值． 26．如图，等边中，是内部的一条射线，且，点关于的对称点为，连接，，，其中、的延长线分别交射线于点，． (1)依题意补全图形； (2)请猜想此时与的数量关系，并进行证明； (3)用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 27．如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，，可知，此时是等腰直角三角形； (1)【问题提出】如图2，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； (2)【问题探究】如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，直接写出点的坐标； (3)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的点，点在第一象限内，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点是轴上的一动点，求的最小值．[注：在平面直角坐标系内，，，则]． 【专题强化】 一、单选题 28．浪费不以量小而为之，节约不以微小而不为．下列倡导节约能耗的图标中，文字上方的部分是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 29．平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 30．如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 31．铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花，它是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．1 32．如图．菱形的顶点A在x轴上，于点D，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为．若，点的横坐标为4，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 34．如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 35．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．当的周长最小时，m的值为（   ） A． B．3 C． D．4 36．如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 二、填空题 37．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 38．如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有 种． 39．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应．若，则 ． 40．如图，在中，，已知，，，上方有一动点，且点到两点的距离相等，则点到两点之间距离之和的最小值为 ． 41．如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 ．    42．定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.如图，在筝形中，，，.将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 . 三、解答题 43．在平面直角坐标系中，图形的五个顶点坐标如图所示，完成下列问题． (1)画出将图形向右平移5个单位的图形，并写出的坐标； (2)画出图形关于x轴对称的图形； (3)在x轴上找点P，使最小（保留作图痕迹）． 44．已知点P在内．如图1，点P关于射线的对称点是G，点P关于射线的对称点是H，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 45．如图， ，，，，，是上一动点，设．    (1)用表示； (2)当为何值时，； (3)代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由 46．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 47．如图，在等腰三角形中，，，，垂足为． (1)请在图中作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图，若、分别是线段、上的动点，求的最小值． 48．在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究2 ·2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化04：轴对称题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：轴对称图形 · 题型二：轴对称的性质 · 题型三：镜面对称问题 · 题型四：设计轴对称图形问题 · 题型五：轴对称的坐标问题 · 题型六：线段问题（轴对称） · 题型七：面积问题（轴对称） · 题型八：角度问题(轴对称) · 题型九：轴对称的综合问题 【题型探究】 题型一：轴对称图形 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列图案是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，在平面内，如果将一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意； B是轴对称图形，符合题意， C不是轴对称图形，不符合题意； D不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型二：轴对称的性质 4．下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误； B、成轴对称，故本选项正确； C、不成轴对称，故本选项错误； D、不成轴对称，故本选项错误． 故选：B． 5．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键． 利用轴对称图形的性质得出，，结合图形即可求解． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，， ，， ∵， ∴， 故选：D． 6．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A. ， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 题型三：镜面对称问题 7．墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意作对称图，    故选：． 8．小明从平面镜中看到镜子对面的电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质解答． 【详解】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为、；的对称数字是；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：B 【点睛】此题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，熟记轴对称的性质是解题的关键． 9．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解． 【详解】解：8点的时钟，在镜子里看起来应该是4点，所以最接近8点的时间在镜子里看起来就更接近4点，所以应该是图C所示，最接近8点时间． 故选C． 【点睛】主要考查镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 题型四：设计轴对称图形问题 10．如图所示的网格中，已有2个小正方形涂成了黑色，再另选1个小正方形涂成黑色，使黑色部分是轴对称图形，可以有多少种不同的选择（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：如图 在以上个位置的小正方形涂成黑色，使黑色部分是轴对称图形； 故选：C． 11．如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．由等边三角形有三条对称轴可得答案． 【详解】解：如图所示，n的最小值为3． 故选：C． 12．小逸和小乐下棋，小逸执圆形棋子，小乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用表示，右下角方子的位置用表示，小逸将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则小逸放的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与轴对称．根据已有的点的坐标，确定原点的位置，建立坐标系，再根据轴对称的性质，确定小逸放的位置，即可． 【详解】解：由题意，符合题意的棋子的位置如图所示： 坐标为， 故选A． 题型五：轴对称的坐标问题 13．在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了点的平移以及关于轴对称点的性质，直接利用平移的性质得出对应点位置，进而结合关于轴对称点的性质得出答案，正确掌握横坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：∵将点向下平移个单位长度得到点， ∴，即， ∴点关于轴的对称点， 故选：． 14．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ∴， ∴点的坐标是． 故选：C． 15．点与点关于轴对称，则的值是（    ） A．1 B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称、解一元一次方程，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 由题意得到关于m和n的方程，然后求出m和n的值，最后代入求解即可． 【详解】解：与点关于轴对称， 解得，． ． 故选B． 题型六：线段问题（轴对称） 16．如图，在中，，，边上的高，是上的一个动点，是边的中点，则的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：连接， 等边中，是边上的中线 是边上的高线，即垂直平分 ， 当、、三点共线时，， 等边中，是边的中点， ， 的最小值为8， 故选：C 17．如图，在锐角三角形中，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，当取最小值时，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称性质，含角直角三角形的性质，作点B关于的对称点E，过点E作交于点N，交于点M，连接，根据轴对称的性质可得，此时的值最小，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点B关于的对称点E，过点E作交于点N，交于点M，连接， ∵，平分， ∴点E在上， ∵点E、B关于对称， ∴，且平分， ∴， ∴，此时的值最小， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 18．如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题，作于，交于，连接，，根据等边三角形的判定与性质可得，点关于的对称点为点，从而得出当、、在同一直线上且时，的值最小，为，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，交于，连接，，    在中，，， 是等边三角形， ，， ，， 点关于的对称点为点， ， ， 当、、在同一直线上且时，的值最小，为， 的最小值是， 故选：B． 题型七：面积问题（轴对称） 19．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝2，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝ ． 【答案】5 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝计算即可． 【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，交OA和OB于Q与M，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝∠AOB=30°，∠ONN′=∠OMM′＝60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′＝90°，OM＝M′O=2，ON＝ON′=5 根据对称可得： S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝ ∴S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 20．在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上． (1)作出关于轴对称的（点的对称点分别是； (2)在轴上找点，使得的值最小，并直接写出点的坐标； (3)直接写出的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2)点D的位置见解析， (3) 【分析】本题考查了作图中轴对称变换，最短路径问题，理解几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点坐标的特征得到，,然后顺次连接，即可求解; （2）连接交y轴于点D，根据题意可得当 、D、B三点共线时，的值最小，然后设直线的解析式为 ，求出直线的解析式，即可求解; （3）利用三角形所在的矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）根据题意得：，， 和关于轴对称， ，, 画出图形，如下图所示： （2）连接交y轴于点D， 与关于y轴轴对称， ， ， 即 、D、B三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把，，代入得： 直线的解析式为， 当时，， 当AD+BD的值最小时，点 （3）由，，可知三角形面积等于长为3，宽为2的长方形减去3个直角三角形的面积， 即 21．如图所示．    (1)作出关于轴对称的图形； (2)在轴上确定一点，使得最小； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）过轴作点的对称点，连接，与轴交于点，此时点即为所求； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 作法：1．关于轴的对称点分别为， 2．顺次连接， 故即为所求．    （2）解：如（1）中图，点P即为所求． 作法：1．作点关于轴的对称点， 2．连接交轴于点， 故点P即为所求． （3）解： ∴的面积为． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 题型八：角度问题(轴对称) 22．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 【答案】D 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可． 【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N， ∴，，， 根据轴对称的性质可得，， ∴的周长的最小值为长度， 由轴对称的性质可得， ∴等腰中， ， ∴ ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 23．如图，等腰中，，，是边上的中线，F是边上的动点，E是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，当在同一直线上，且时，取最小值，进而求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 当在同一直线上，且时，取最小值． ∵，是边上的中线，， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角以及三线合一的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，根据题意得出在同一直线上，且时，取最小值是解本题的关键． 24．如图，P是内一点，点M，N分别在边OA，OB上运动．若，，则的周长最小值为 ，此时的度数为 ． 【答案】 120° 【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵点P关于OA的对称点为C， ∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，∠MCO=∠MPO； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∠NDO=∠NPO， ∴，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD=OC=OD=，∠NDO=∠NPO=60°，∠MCO=∠MPO=60°； ∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=，∠MPN=∠MPO+∠NPO=120°； 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，解题的关键是理解△PMN周长最小的条件． 题型九：轴对称的综合问题 25．在 和 中，，连接 ，恰好平分 ．    (1)如图1，当 时，求 的度数； (2)如图2，在射线 上存在一点 ，使 ，连接 ． 当 ，时，试说明 与 的位置关系； (3)如图3，在（2）问的条件下，连接 并延长，分别交 ，于点 ，，若 ，，，分别为 和 上的动点，请直接写出 周长的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意确定，再利用三角形的内角和计算即可： （2）由题干条件推出为等边三角形，然后进一步证明，从而利用全等三角形和平行线的判定证明即可； （3）首先将沿对称至，沿对称至，可确定且，分别在、上，并连接，此时与和交点即为所求、，此时，的周长最小，即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及对称的性质证明，即可求得结论． 【详解】（1）解：，恰好平分， ， ， ， ； （2）证明：，恰好平分， ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图所示，将沿对称至，沿对称至，    由（2）可知是的角平分线，故在上， ∵，， ∴， ∴平分， ∴垂直平分，即所在的直线是的对称轴，故在上， 连接，此时与和交点即为所求、， 此时，的周长最小，周长的最小值即为的长度， ∵所在的直线是的对称轴， ∴， 又∵， ∴， ∴点与是关于的对称， ∴与的交点在上，故与重合.此时 ∵， 由对称的性质可得：，，， ∴， 为等边三角形， 此时，过点作，交于点，如图所示， ， 为等边三角形，， 由（2）知，， ． 由（2）可知， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ，即： ， 周长的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定方法，熟练运用等边三角形的性质和轴对称变化确定最短路径是解题关键． 26．如图，等边中，是内部的一条射线，且，点关于的对称点为，连接，，，其中、的延长线分别交射线于点，． (1)依题意补全图形； (2)请猜想此时与的数量关系，并进行证明； (3)用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，证明见详解 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，轴对称的定义与性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形和等边三角形的性质等知识点． （1）根据轴对称的概念作图即可得； （2）设，由轴对称定义知，再由等边三角形的性质知，，从而得出，据此可得答案； （3）在射线上截取使，连接．先由、知，据此得，在证得．从而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意作图如下， 如图所示： （2）解：，理由如下， 点与点关于对称， 是的垂直平分线， ， 设， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即 （3）解：结论： 在射线上截取使，连接， ，， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， , ， 在和中， ， ， ， ； 27．如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，，可知，此时是等腰直角三角形； (1)【问题提出】如图2，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； (2)【问题探究】如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，直接写出点的坐标； (3)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的点，点在第一象限内，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点是轴上的一动点，求的最小值．[注：在平面直角坐标系内，，，则]． 【答案】(1)见解析 (2)综上所述，点的坐标为或或； (3)最小值为． 【分析】（1）本题以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、、，，由图1的题干同理可知等腰直角三角形即为所求． （2）本题根据是等腰直角三角形，分以下三种情况讨论，①，，②，，③，，根据以上三种情况作辅助线构造三角形全等，利用全等的性质得出线段长度，即可得到点的坐标． （3）本题作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，交轴于点，连接，利用得到点的坐标，推出点的坐标，根据两点之间，线段最短，得到的最小值为，再根据勾股定理两点间距离公式，即可解题． 【详解】（1）解：所作等腰直角三角形如图所示： （2）解： 是等腰直角三角形， 分以下三种情况， ①，， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 点，点， ，，， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， 点的坐标为； ②，， 过点作于点，过点作轴于点，如图所示： 点，点， ，，， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， 点的坐标为； ③，， 过点作轴于点，过点作轴于点，作于点，如图所示： 点，点， ，，， ， ，， ， ，， ， ，， 由作图知，四边形为矩形， ，， ， 即，解得，则，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，交轴于点，连接，如图所示： 点，点是轴上的点， ，， 由题知轴于点， 由（2）同理可证，， ，， ， 的坐标为， 的坐标为， 由对称的性质可知， 要最小，即最小， 当、、三点在同一直线上时，最小，且 ， ， 最小值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形、矩形的性质和判定、轴对称求最小值、勾股定理求两点间距离、解题的关键在于作辅助线构造全等． 【专题强化】 一、单选题 28．浪费不以量小而为之，节约不以微小而不为．下列倡导节约能耗的图标中，文字上方的部分是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 29．平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的坐标特点，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故选：A． 30．如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，由折叠的性质可得，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 由题意得：， ∴， 故选：C． 31．铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花，它是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征．关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此即可解答． 【详解】解：∵点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 故选：D． 32．如图．菱形的顶点A在x轴上，于点D，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为．若，点的横坐标为4，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令与的交点为，根据菱形和折叠的性质，得到，进而得出，再由勾股定理求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，令与的交点为， 四边形是菱形，， ，，， ，菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为 ， ，即， ， 点的横坐标为4， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点B的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 33．如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．设交于点，连接，，根据垂直平分线的性质得出，，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ，， 的周长最小值为：， 故选：B 34．如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得 ，即可求解；掌握折叠的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 35．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．当的周长最小时，m的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，求一次函数与坐标轴的交点坐标，，作点A关于y轴对称的点D，连接，则当B、C、D三点共线时最小，即最小，即此时的周长最小，求出直线的解析式为，再求出直线与y轴的交点坐标即可得到答案． 【详解】解；如图所示，作点A关于y轴对称的点D，连接， ∴，， ∴的周长， ∵A、B是定点， ∴是定长， ∴当B、C、D三点共线时最小，即最小，即此时的周长最小， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故选：C． 36．如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用． 根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 二、填空题 37．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解． 【详解】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 38．如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有 种． 【答案】5 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：如图，所标数字处都可以使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，共5种涂法， 故答案为：5． 39．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先由折叠的性质得到，则由平角的定义得到，进而由平行线的性质可得． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 40．如图，在中，，已知，，，上方有一动点，且点到两点的距离相等，则点到两点之间距离之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，轴对称的性质，矩形的判定和性质，取的中点，作，作关于的对称点，连接与直线交于，可得，，，即得，由两点之间线段最短，可得此时最小，最小值即为长，利用勾股定理求出长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵到两点的距离相同， ∴在线段的垂直平分线上， 取的中点，作，作关于的对称点，连接与直线交于， ∴，，， ∴，由两点之间线段最短，可得此时最小，最小值即为长， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即点到两点之间距离之和的最小值为， 故答案为：． 41．如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了线段和最小值中典型的“将军饮马型”，矩形的性质，勾股定理等，找到取得最小值的条件，掌握典型问题的解法是解题的关键． 作P关于的对称点，连接，交于E，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于F，于H，利用勾股定理求出和即可． 【详解】解：如图，作P关于的对称点，连接，交于E，连接，    ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为， 作于F，于H， ∵， ∴， ∵点O是矩形的对称中心，经过点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 42．定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.如图，在筝形中，，，.将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N，证明，则当三点共线时，的值最小，结合菱形性质，得，证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N ∴ 由平移可得 在和中 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小 ∵， 且四边形为菱形 ∴ ∴， ∵， ， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴则的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质以及勾股定理，轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题 43．在平面直角坐标系中，图形的五个顶点坐标如图所示，完成下列问题． (1)画出将图形向右平移5个单位的图形，并写出的坐标； (2)画出图形关于x轴对称的图形； (3)在x轴上找点P，使最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为：； (2)图见解析； (3)图见解析． 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）连接，交轴于点，连接，此时最小，点P即为所求． 本题考查作图-平移变换、轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握平移和轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由题图可得，， 向右平移5个单位的得：， 即：，依次连接，则图象即为所求，如图： 点的坐标为：． （2）解：作关于轴的对称点，依次连接，则图形即为所求，如图： （3）解：点是点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时最小，则点即为所求的点，如图： 44．已知点P在内．如图1，点P关于射线的对称点是G，点P关于射线的对称点是H，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么，，那么； （2）作点P关于的对称点和，连接、、、．那么的周长最小值即为的长，易得为等边三角形，那么，所以． 【详解】（1）解：∵点P关于射线的对称点是G， ∴． ∵点P关于射线的对称点是H， ∴． ∵， ∴； （2）解：作点P关于的对称点和，连接、、、． ∴，，，，，． ∵的周长最小值为6，， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． 45．如图， ，，，，，是上一动点，设．    (1)用表示； (2)当为何值时，； (3)代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由 【答案】(1) (2)3 (3)有最小值，最小值为 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）首先根据题意可得，，然后由勾股定理可得，当，可有，求解即可获得答案； （3）作点关于直线的对称点，过点作交的延长线于点，连接，由对称的性质可得，，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，易得；结合（1）（2）可知，故当点在同一直线上时，的值最小，即的值最小，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴； （2）∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得 ， ∴当为3时，； （3）如下图，作点关于直线的对称点，过点作交的延长线于点，连接，    由对称的性质可得，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴当点在同一直线上时，的值最小，即的值最小， ∴的最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、平行线的性质、轴对称的性质、线段最短等知识，熟练运用勾股定理是解题关键． 46．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 47．如图，在等腰三角形中，，，，垂足为． (1)请在图中作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图，若、分别是线段、上的动点，求的最小值． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（）以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，同样的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线，于交于点，则线段为所求作的高； （）根据等腰三角形和线段垂直平分线的性质得到为的垂直平分线，即可得到，根据垂线段最短，得到的值即为的最小值； 本题考查了作三角形的高，轴对称最短路线问题，勾股定理，垂线段最短等，由等腰三角形及线段垂直平分线的性质判断出的值为的最小值是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，线段为所求作的图形； （2）解：如图， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， 所以当三点共线且时 此时的值最小， ∵，， ∴为等于直角三角形，， ∴， 即， 解得， ∴的最小值为． 48．在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点G，于点H，根据角平分线的性质及三角形面积法求解即可； （2）过点D作，交于点N，利用全等三角形的判定和性质证明即可； （3）延长交于点K，则，再倍长至点，过点作于点Q，交于点P，利用轴对称的性质及图形求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点G，于点H，如图所示： ∵， ∴，即 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴； （2）过点D作，交于点N，如图所示：    ∴， ∵，即 ∴ 在和中 ∴ ∴     ∵， ∴ 即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴     在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴； （3），理由如下：    由（2）可知 延长交于点K，则 再倍长至点，过点作于点Q，交于点P 由轴对称性得 ∴最小，即 在中， ∴ 又在中， ∴． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，理解题意，作出相应辅助线综合运用这些知识点是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究2 ·2 学科网（北京）股份有限公司 $$