专题09 巧用勾股定理解决圆中的四种线段长（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题09巧用勾股定理解决圆中的四种线段长 （四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01直接运用勾股定理计算 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【例1-2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）高速公路的隧道和桥梁较多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此横截面所在圆的半径 米． 【例1-3】（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 题型02运用“单勾股”求垂径长 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，弦交于点P，且，则的长为 ． 【例2-3】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，为的直径，弦于点．若，，求弦的长． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点C旋转，使所得矩形的边与相切，切点为E，边与相交于点F，则的长为（　　） A． B． C．5 D． 【变式2-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，的直径是圆上的两点，，则的长为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，AB是的弦，垂直于弦于点D． (1)若，，求的半径． (2)若，，求的半径． 题型03运用“双勾股”求线段长 【典例分析】 【例3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的半径为，弦的长为，P是的延长线上一点，，则等（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为2，弦，，则的长为 ． 【例3-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，求的长． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆交、分别交于点E与点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 题型04作垂直于弦的线段构造直角三角形 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，则弦的长为 ． 【例4-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，），若线段长为正整数，则点的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为半径的与相交于点． (1)若，则的度数为_____． (2)若，，求的长． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，是的弦，C是的中点，连接并延长交于点D．若，，则的半径是 ． 5．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，为的直径，弦于点H，，，则的长为 ． 6．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，，是中的两条弦，且．圆的半径为，，，则与之间的距离是 ． 三、解答题 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，，，，求的长． 9．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，C是的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为点E，，求的直径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09巧用勾股定理解决圆中的四种线段长 （四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01直接运用勾股定理计算 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 【例1-2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）高速公路的隧道和桥梁较多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此横截面所在圆的半径 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到的长，再根据勾股定理即可求出半径． 【详解】由题意得，过圆心O， ， 设此圆的半径为r， 米，米， 米，米， 在中，， 即， 解得， 圆的半径米， 故答案为：． 【例1-3】（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出圆的半径，的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， 在直角中，， ， 解得， ， ． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵ ∴ 在中，， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴． 故答案为：2 【变式1-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据垂径定理即可求解； （）根据勾股定理即可求解； 此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， 在中，由勾股定理得，． 题型02运用“单勾股”求垂径长 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长并连接作出辅助线是本题的关键．延长交于点，交于，由与垂直，根据垂径定理得到为的中点，连接，构造直角三角形，根据折叠的性质得出，即可求出的长，根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点，交于， ∵， ∴， ∵恰好经过与垂直的半径的中点，的半径为， ∴， ∵将半径为的沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【例2-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，弦交于点P，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，含直角三角形的性质，过点O作于点H，连接，由已知条件可得出，再利用含直角三角形的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求值即可． 【详解】解：过点O作于点H，连接， ， ， ， ， ， 在中， ， ． 故答案为： 【例2-3】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，为的直径，弦于点．若，，求弦的长． 【答案】． 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，为的直径，得，，，然后由勾股定理即可求解，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点C旋转，使所得矩形的边与相切，切点为E，边与相交于点F，则的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】连接并延长交于点H，可证四边形是矩形，再根据勾股定理和垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接并延长交于点H， ∵矩形绕点C旋转得矩形， ∴，， ∵边与相切，切点为E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，为的直径， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、旋转的性质．矩形的判定以及性质，切线的性质，勾股定理，作出辅佐线，利用垂径定理求值是解题的关键． 【变式2-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，的直径是圆上的两点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 连接交于点H，证为等边三角形得，根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点H，如图所示， ，， ， 又， 为等边三角形， ， ， 由勾股定理，得， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，AB是的弦，垂直于弦于点D． (1)若，，求的半径． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)的半径为； (2)的半径为． 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）连接，根据垂径定理得出，利用勾股定理求解即可； （2）连接，根据垂径定理得出，，则，根据勾股定理可得，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的半径为； （2）解：连接， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即的半径为． 题型03运用“双勾股”求线段长 【典例分析】 【例3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的半径为，弦的长为，P是的延长线上一点，，则等（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】过点O作于点C， 则 ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 【例3-2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为2，弦，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，首先过点O作于点D，由垂径定理，即可求得，的长，然后由勾股定理，可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】过点O作于点D， ∵， ∴，， ∴， ∵的半径为，即， ∴在中，， 在中， 故答案为：． 【例3-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、含度角直角三角形的性质等知识．作于点M，连接，则，先求出，在中，由求得，则． 【详解】解：作于点M，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵中，， ∴， 在中， ∵，即，解得， ∴． 答：的长为． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆交、分别交于点E与点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题； 在中，由勾股定理可直接求得的长；过C作，交于点M， 由垂径定理可得M为的中点，在中，根据勾股定理得的长，从而得到的长． 【详解】解：在中，，； 根据勾股定理，得． 过C作，交于点M， 由垂径定理可得M为的中点， 且，，， ， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ∴． 故选：D． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理的应用，过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 综上可知：水位上升或， 故答案为：或． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，利用垂径定理及等式的性质即可求证； （2）连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，即可建立方程，解方程即可，利用求解． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵过圆心， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 设， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型04作垂直于弦的线段构造直角三角形 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过C作交于点M，首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作交于点M， ∵，，， ∴， 由垂径定理可得M为的中点， ∵， ∴ ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴ （舍去负值）． ∴． 故选：C． 【例4-2】（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．过作于，求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则根据垂径定理得出，然后根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过作于，则， ， ， ， 设， 直径， ， ，过圆心， ， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， ， 故答案为：． 【例4-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得，则有，然后可设，则，进而问题可求解 【详解】解：连接，过点O作于点H． ， ， ， ．设，则， ， ． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，），若线段长为正整数，则点的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出是解题的关键． 当P为的中点时最短，则，由勾股定理求出的长；当P与A或B重合时，最长，得出的范围，再由为整数，得到所有可能的长即可． 【详解】解：连接， 当P为的中点时， 则， 由垂径定理得：，此时最短， 在中，，， 由勾股定理得：， 即的最小值为3， 当P与A或B重合时，最长，此时， ∵是弦上的动点（不含端点，） ∴， 若线段的长度为正整数， ∴或． 根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个， 故选：A． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可． 【详解】解：过作于，连接，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，过， ， 即， 故答案为：8． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为半径的与相交于点． (1)若，则的度数为_____． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）先求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求得，据此即可求解； （2）作于，由垂径定理和勾股定理求得，，利用等积法求得的长，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）解：作于，如图，    由垂径定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【答案】D 【分析】本题主要查了垂径定理．利用垂径定理一一判断即可． 【详解】解：∵B是弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴平分，点A是弧的中点， 故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由，利用垂径定理可得为的中点，于是可求出的长，设圆的半径为，由可表示出，在中，利用勾股定理即可求出的值，进而可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 为的中点， ， 设圆的半径为， 在中， ， 根据勾股定理，得： ， 即：， 整理，得：， 解得：， 该管道的直径长为， 故选：． 二、填空题 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，是的弦，C是的中点，连接并延长交于点D．若，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦． 连接，根据垂径定理得出，，根据巩固定理可得，列出方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵C是的中点， ∴，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 5．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，为的直径，弦于点H，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可，根据垂径定理得出是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，则， ∵，过圆心，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，，是中的两条弦，且．圆的半径为，，，则与之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】连接，做， ， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ， （1）如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为，    （2）如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，    故答案为或． 三、解答题 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． （）根据垂径定理即可求解； （）根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得，． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案， 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴． 9．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，C是的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握辅助线的作法及数形结合的思想是解题关键． （1）由题意，有，运用垂径定理即可解得答案； （2）由（1）知，垂直平分，交点为，则，在中，利用勾股定理求得，设的半径为，则，，在中运用勾股定理解出答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分． （2）解：由（1）知，垂直平分，交点为， ∵，， ∴， ∴在中，根据勾股定理，可知； 设的半径为， 则，， 在中， ，即， 解得：． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为点E，，求的直径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形．连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即的直径为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$