精品解析：浙江省宁波市慈溪市育才中学2023-2024学年八年级上学期第一次抽测数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市育才中学八年级（上）第一次抽测数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 育才校园风景如画，美不收胜，花园式校园令人流连忘返，下列文字可看做轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在直角三角形中，若其中一个锐角等于，则另一个锐角度数为（ ） A B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ， 6. 下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等于（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中，说法正确的个数有（ ） ①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②等腰三角形的两底角相等；③钝角三角形不可能使等腰三角形；④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形；⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等 A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，以△ABC的一条边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则这样的点有（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 10. 如图，在中，平分交于点D，于点E，F是BC边上的一点，，若的面积为12，的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 等腰三角形有一个角是，则它一个底角的度数为____________． 12. “同位角相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 13. 在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则较小的这个锐角的度数为__________度． 14. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________． 16. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的长． 18. 如图所示为有16个边长为1小正方形拼成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点，请按照要求画图． （1）在图1中画出1个面积为3的，顶点C在格点上； （2）在图2中画出2个以为腰等腰、，且这两个三角形不全等，点C、D都在格点上； （3）在图3中画出2个以为斜边的直角三角形，，点C、D均在各点上． 19. 如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F 作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： （1）； （2）是等腰三角形 20. 如图，池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、B之间距离的方案． 小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、B的点O，然后连接和，接着分别延长和并且使，，最后连接，测出的长即可． 小红的方案如图②：先确定直线，过点B作的垂线，在上选取一个可以直接到达点A的点D，连接，在线段的延长线上找一点C，使，测的长即可． 你认为以上两种方案可以吗？请说明理由． 21. 已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． (1)求证：CD⊥AB； (2)求该三角形腰的长度． 22. 如图，已知的高、相交于点、分别是、的中点，求证：垂直平分． 23. 如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形，，，点D与点B关于直线l轴对称，连接交直线l于点E，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求证：． 24. 已知：中，，直线是过点的一条直线，点、在直线同侧． （1）如图1，若，过，两点分别向直线作垂线、，垂足为点、，证明：； （2）如图2．若，，请写出、、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，的垂直平分线经过点并交于点，且，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市育才中学八年级（上）第一次抽测数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 育才校园风景如画，美不收胜，花园式校园令人流连忘返，下列文字可看做轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2. 以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形；不符合题意； B、，能组成三角形；符合题意； C、，不能够组成三角形；不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 3. 在直角三角形中，若其中一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 详解】解：直角三角形中，一个锐角等于， 另一个锐角的度数． 故选：B 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴b与b，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ∴． 故选：A． 5. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：A. ，，只有两边长度无法确定三角形形状，故该选项错误； B. ，，，不是这两条边夹角，无法确定三角形形状，故该选项错误； C. ，，，满足全等三角形的判定，能确定三角形形状，故该选项正确； D. ，，一个角和一条边无法确定三角形形状，故该选项错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答此题的关键． 6. 下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，根据尺规作图绘制一条线段的垂直平分线、一个角的平分线、一个角等于已知角的作法，逐项判断即可． 【详解】①作一个角的角平分线正确， ②作一个角等于已知角正确， ③如图所示，作一条线段的垂直平分线，不正确， 综上①②正确． 故选：A． 7. 如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，梯子长等于，顶端离地面的高度等于， ∴，，， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，理解题意，熟练的利用勾股定理解题是关键． 8. 下列说法中，说法正确的个数有（ ） ①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②等腰三角形的两底角相等；③钝角三角形不可能使等腰三角形；④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形；⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等 A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和判定即可解题. 【详解】①有两个角相等的三角形是等腰三角形,正确, ②等腰三角形的两底角相等,正确, ③钝角三角形不可能使等腰三角形,错误, ④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形,正确, ⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等,正确, 综上,一共有4个正确的, 故选D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定,属于简单题,熟悉等腰三角形的性质与判定是解题关键. 9. 如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，以△ABC的一条边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则这样的点有（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定和线段垂直平分线的性质分情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图1，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③如图3，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④如图4，作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形； ⑤如图5，作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥如图6，作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形． 故选：B． 如图， 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质以及学生的动手操作能力，熟练掌握等腰三角形的判定，学会分类讨论的思想是解答的关键． 10. 如图，在中，平分交于点D，于点E，F是BC边上的一点，，若的面积为12，的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】作于点G，根据角平分线的性质定理得出，先根据证明，则，可求得，再利用证明，则，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点G， ∵平分，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练习掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 等腰三角形有一个角是，则它一个底角的度数为____________． 【答案】43 【解析】 【分析】根据一个三角形只能有一个钝角，得出的角一定是顶角，根据等腰三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴的角一定是顶角， ∴它一个底角的度数为：． 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等． 12. “同位角相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：“同位角相等”的逆命题是“相等的角是同位角”，这是一个假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，正确写出原命题的逆命题是解题的关键． 13. 在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则较小的这个锐角的度数为__________度． 【答案】15 【解析】 【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可． 【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是度． 则，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握直角三角形的两锐角互余是解答本题的关键． 14. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得，进而可将阴影部分的面积求出． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案是：5． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 15. 如图，在纸片中，，是边上中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，是边上的中线，可知，则，由翻折的性质可知，，，则，如图，记与的交点为，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， 如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示， 作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）由三角形外角性质，得，由三角形全等知； （2）由条件可推出，由三角形全等知，故． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，全等三角形的性质，由全等三角形得出角之间，线段之间的相等关系是解题的关键． 18. 如图所示为有16个边长为1的小正方形拼成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点，请按照要求画图． （1）在图1中画出1个面积为3的，顶点C在格点上； （2）在图2中画出2个以为腰的等腰、，且这两个三角形不全等，点C、D都在格点上； （3）在图3中画出2个以为斜边的直角三角形，，点C、D均在各点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，作底为2，高为3的等腰三角形即可； （2）根据网格的特点画出2个以为腰的等腰、，且这两个三角形不全等 （3）画出2个以为斜边的等腰直角三角形，， 【小问1详解】 如图所示，的底边，高为3，则面积为，则即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示， ∴、是等腰三角形， 【小问3详解】 解：如图所示， ∵， ，则是直角三角形，且是斜边 ∵， ∴，则是直角三角形，且是斜边 【点睛】本题考查了在网格中画等腰三角形，勾股定理与网格问题，掌握等腰三角形性质以及勾股定理是解题的关键． 19. 如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F 作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： （1）； （2）是等腰三角形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质推出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得出，，推出，根据等腰三角形的判定即可得到结论． 【小问1详解】 ∵，D为边的中点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，D为边的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点的应用，能运用等腰三角形的性质（三线合一定理）进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中． 20. 如图，池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、B之间距离的方案． 小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、B的点O，然后连接和，接着分别延长和并且使，，最后连接，测出的长即可． 小红的方案如图②：先确定直线，过点B作的垂线，在上选取一个可以直接到达点A的点D，连接，在线段的延长线上找一点C，使，测的长即可． 你认为以上两种方案可以吗？请说明理由． 【答案】两种方案都可以，理由见解析 【解析】 【分析】小明的方案：证明即可；小红的方案：证明即可． 【详解】解：两种方案都可以，理由如下： 小明的方案： 在和中， ， ， ， 测出的长即可得出A、B之间距离． 小红的方案： 在和中， ， ， ， 测出的长即可得出A、B之间距离． 【点睛】本题考查全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． (1)求证：CD⊥AB； (2)求该三角形的腰的长度． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【详解】试题分析：根据勾股定理的逆定理直接证明即可. 设腰长为x，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可. 试题解析： （1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，满足， 根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB； （2）设腰长为x，则，由上问可知， 即：，解得：腰长. 点睛：勾股定理的逆定理：如果三角形中，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 22. 如图，已知的高、相交于点、分别是、的中点，求证：垂直平分． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而判断在线段的垂直平分线上，即可证明 垂直平分． 【详解】证明：连接， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ 在线段的垂直平分线上 ， ∴ 垂直平分 ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，掌握以上性质定理是解题的关键． 23. 如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形，，，点D与点B关于直线l轴对称，连接交直线l于点E，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可得，可得结论； （2）由“”可证，可得，由三角形内角和可得结论； （3）当时，由勾股定理可知：，，由得，进而可得，由可证得． 【小问1详解】 ∵点D与点B关于直线l轴对称 ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，设与交于点 ∵点D与点B关于直线l轴对称 ∴，，， ∴ ， ∴， ∵； ∴， ∵ （对顶角相等）； ∴； 【小问3详解】 当时，在中，由勾股定理可知：． ∵ ∴． ∴． 在中，由勾股定理可知：． 又∵， 故， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形的内角和及勾股定理等知识，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24 已知：中，，直线是过点的一条直线，点、在直线同侧． （1）如图1，若，过，两点分别向直线作垂线、，垂足为点、，证明：； （2）如图2．若，，请写出、、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，的垂直平分线经过点并交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明△ABD≌△CAE，进而结论得证； （2）DE=BD+CE，证法与（1）相同，证明△ABD≌△CAE，进而结论得证； （3）根据题意可设AE=a，连接AF，作CG⊥DE于G，先求得∠BFC=45°，从而△DEF是等腰直角三角形，从而得出BD=（+1）a，可得△ABD≌△CAG，进而求得结果． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 证明：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：如图， ， 设，则， ， 连接，作于， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 由（1）可知：， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，等腰直角三角形判定和性质等知识，解决问题的关键对知识的灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$