第13课 从有理数到实数-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第13课 从有理数到实数 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解无理数、实数的概念，了解实数的分类. 3. 知道实数与数轴上的点对应. 4. 理解实数的相反数、绝对值、数的大小比较法则. ( 知识精讲 ) 知识点01 实数的概念 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 2.实数：有理数和无理数统称实数. 知识点02 实数的分类 按实数的定义分类： 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数 知识点03 实数的相反数、绝对值 　　1.相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是0． 若a，b互为相反数，则a＋b＝0 ． 2.绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． |a|＝ |a|是一个非负数，即|a|≥0． 知识点03 实数的大小比较及估算 1.实数与数轴上的点一一对应： 2.实数的大小比较 （1） 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数， （2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大． （3）差值比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0⇔a>b； a－b<0⇔a<b； a－b＝0⇔a＝b． ( 能力拓展 )考点01 实数的概念及分类 【典例1】将下列各数填入相应的集合内． ﹣7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001… ①有理数集合{　 　 …} ②无理数集合{　　 …} ③负实数集合{　 　…}． 【即学即练1】把下列各数填入相应的数集内． ﹣16，0.1515515551...，0，﹣|﹣|，|﹣1|，0.，﹣（﹣10），﹣5.6，﹣ 正数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 …}； 分数集合：{ 　 　…}； 非负整数集合：{ 　 　…}． 考点02 实数的相反数、绝对值 【典例2】的相反数是 　　，的倒数是 　　，＝　　． 【即学即练2】的绝对值是　 　，的相反数是　 　． 考点03 实数的大小比较及估算 【典例3】下列四个实数中，最小的数是（　　） A．0 B． C．﹣1 D． 【即学即练3】设a＝2，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C．﹣1.414 D． 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 3．数，0，﹣2.5，﹣3中最小的是（　　） A． B．0 C．﹣2.5 D．﹣3 4．下列实数3.1415，π，，﹣0.020020002，0.10110111011110⋯（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在﹣2，，，，01010010001…（两个1之间0的个数逐渐增加1个）这5个数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.下列无理数中，大小与4最接近的是（　　） A． B． C． D． 7．实数a在数轴上的位置如图所示，若|a|＞2，则下列说法不正确的是（　　） A．a的相反数大于2 B．﹣a＜2 C．|a﹣2|＝2﹣a D．a＜﹣2 8．写一个小于﹣3的无理数　　． 9．＝　　；|2﹣|＝　　；（π﹣3.14）的相反数是 　　． 10．比较大小：3　　；　　（填写“＜”或“＞”） 11．把下列各数按要求填入相应的大括号里： ﹣（+10），4.5，，0，﹣（﹣3），+16，，﹣1.5． 正整数集合：{ 　 　…}； 负分数集合：{ 　　 …}； 无理数集合：{ 　 　…}． 12．把下列各数填入相应的集合： ﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、﹣、0.． （1）有理数集合{ 　 　…}； （2）无理数集合{ 　 　…}； （3）正实数集合{ 　　 …}； （4）负实数集合{ 　 　…}． 题组B 能力提升练 13．下列说法正确的是（　　） ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④任何一个非负数的平方根都不大于这个数；⑤平方根等于它本身的数是0 A．①② B．③⑤ C．②④ D．①⑤ 14．下列各组数中，互为相反数的组是（　　） A．﹣2与 B．﹣2和 C．﹣与2 D．|﹣2|和2 15．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a+b＞0 D．ab＞0 16．估算﹣2的值应在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 17．若a，b都是无理数，且a与b的和是有理数，则a＝ 　 　，b＝ 　 　.（写出一组即可） 18．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数且，则n的值是 　　． 19．已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分． （1）求a+b+c的值； （2）若x是的小数部分，求的平方根． 题组C 培优拔尖练 20．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　） A．﹣1 B．+1 C．﹣+1 D． 21．如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上﹣1这个点重合． （1）若圆从﹣1点沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与点B重合，设点B对应的实数是b，则b＝　 　．（结果保留π） （2）求的算术平方根．（结果保留π） （3）若圆从数轴上A点开始滚动，向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：+2，﹣4，+3，﹣2．当圆结束运动时，点A运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？（结果保留π） 22．【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 （1）的整数部分是 　　，小数部分是 　　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13课 从有理数到实数 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解无理数、实数的概念，了解实数的分类. 3. 知道实数与数轴上的点对应. 4. 理解实数的相反数、绝对值、数的大小比较法则. ( 知识精讲 ) 知识点01 实数的概念 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 2.实数：有理数和无理数统称实数. 知识点02 实数的分类 按实数的定义分类： 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数 知识点03 实数的相反数、绝对值 　　1.相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是0． 若a，b互为相反数，则a＋b＝0 ． 2.绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． |a|＝ |a|是一个非负数，即|a|≥0． 知识点03 实数的大小比较及估算 1.实数与数轴上的点一一对应： 2.实数的大小比较 （1） 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数， （2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大． （3）差值比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0⇔a>b； a－b<0⇔a<b； a－b＝0⇔a＝b． ( 能力拓展 )考点01 实数的概念及分类 【典例1】将下列各数填入相应的集合内． ﹣7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001… ①有理数集合{　﹣7，0.32，，0，　…} ②无理数集合{　，，π，0.1010010001　…} ③负实数集合{　﹣7　…}． 【思路点拨】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空． 【解析】解：①有理数集合{﹣7，0.32，，0，} ②无理数集合{ ，，π，0.1010010001…} ③负实数集合{﹣7}． 故答案为：﹣7，0.32，，0，；，，π，0.1010010001；﹣7． 【点睛】本题考查了实数的分类，关键是掌握实数的范围以及分类方法．注意0既不是正实数，也不是负实数． 【即学即练1】把下列各数填入相应的数集内． ﹣16，0.1515515551...，0，﹣|﹣|，|﹣1|，0.，﹣（﹣10），﹣5.6，﹣ 正数集合：{ 　0.1515515551…，|﹣1|，0.，﹣（﹣10）　…}； 无理数集合：{ 　0.1515515551…，﹣　…}； 分数集合：{ 　﹣|﹣|，0.，﹣5.6　…}； 非负整数集合：{ 　0，|﹣1|，﹣（﹣10）　…}． 【思路点拨】有理数与无理数统称实数，实数分为正实数，0，负实数，整数与分数统称有理数，0与正整数是非负整数，根据概念逐一填入即可． 【解析】解：∵，﹣（﹣10）＝10，|﹣1|＝1， 正数集合：{0.1515515551…，|﹣1|，0.，﹣（﹣10）…}； 无理数集合：{0.1515515551…，﹣…}； 分数集合：{﹣|﹣|，0.，﹣5.6…}； 非负整数集合：{0，|﹣1|，﹣（﹣10）…} 故答案为：0.1515515551…，|﹣1|，0.，﹣（﹣10）；0.1515515551…，﹣；﹣|﹣|，0.，﹣5.6；0，|﹣1|，﹣（﹣10）． 【点睛】本题主要考查实数的分类与概念，解决问题的关键是正确理解实数的概念． 考点02 实数的相反数、绝对值 【典例2】的相反数是 　　，的倒数是 　π　，＝　　． 【思路点拨】根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与π的大小，然后化简绝对值即可． 【解析】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是π， ∵， ∴＝． 故答案为：，π，． 【点睛】本题考查了实数的性质，掌握无理数的估算是解题的关键． 【即学即练2】的绝对值是　2﹣　，的相反数是　2﹣　． 【思路点拨】根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【解析】解：的绝对值是， 的相反数是， 故答案为：2﹣，2﹣． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，关键是实数性质的熟练掌握． 考点03 实数的大小比较及估算 【典例3】下列四个实数中，最小的数是（　　） A．0 B． C．﹣1 D． 【思路点拨】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解析】解：∵＜﹣1＜0＜， ∴最小的数是：． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 【即学即练3】设a＝2，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【思路点拨】三个数都是二次根式的形式，要得到它们的大小关系，可运用平方法求解，给三个数分别平方得到a2＝14、b2＝17、c2＝＝15.5，三个数都是正数，比较平方后的数，根据平方后的数越大则原数越大进行比较即可． 【解析】解：对题中三个数同时平方，得 a2＝14，b2＝17，c2＝＝15.5， 因为14＜15.5＜17，a、b、c均为正数， 所以a＜c＜b． 故选：B． 【点睛】本题考查实数大小的比较，正确将各数据进行变形是本题解题关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C．﹣1.414 D． 【思路点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解析】解：A、是无理数，符合题意； B、，是整数，属于有理数，不符合题意； C、﹣1.414是有限小数，属于有理数，不符合题意； D、是分数，属于有理数，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数． 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据相反数的定义直接得到的相反数是﹣． 【解析】解：的相反数是﹣． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是明确相反数的意义：a的相反数为﹣a． 3．数，0，﹣2.5，﹣3中最小的是（　　） A． B．0 C．﹣2.5 D．﹣3 【思路点拨】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解析】解：∵﹣3＜﹣2.5＜0＜， ∴最小的数是：﹣3． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 4．下列实数3.1415，π，，﹣0.020020002，0.10110111011110⋯（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据有理数的定义解答即可． 【解析】解：3.1415，，﹣0.020020002是有理数，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查的是实数，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键． 5．在﹣2，，，，01010010001…（两个1之间0的个数逐渐增加1个）这5个数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】本题考查了无理数的识别，解答此题的关键是掌握常见的无理数的三种形式：开方开不尽的数、无限不循环小数、含有π的某些数．根据无理数的三种形式进行辨别，即可解答． 【解析】解：，2是整数，属于有理数； ﹣2是整数，属于有理数； 在﹣2，，，，01010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这5个数中，无理数有：，，01010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个），共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根以及无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 6.下列无理数中，大小与4最接近的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用估算无理数的大小方法得出最接近4的无理数． 【解析】解：∵， ∴与4最接近的无理数是：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近4的无理数是解题关键． 7．实数a在数轴上的位置如图所示，若|a|＞2，则下列说法不正确的是（　　） A．a的相反数大于2 B．﹣a＜2 C．|a﹣2|＝2﹣a D．a＜﹣2 【思路点拨】由图得a＜0，且|a|＞2，可知a＜﹣2，然后逐项判断． 【解析】解：由图得a＜0，且|a|＞2， ∴a＜﹣2，D正确，不符合题意； ∴a的相反数大于2，故A正确，不符合题意； a的相反数大于2即是﹣a＞2，故B不正确，符合题意； ∵a＜2， ∴|a﹣2|＝2﹣a，故C正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是数形结合，得到a＜﹣2． 8．写一个小于﹣3的无理数　﹣π　． 【思路点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此写出小于﹣3的无理数． 【解析】解：本题答案不唯一，如：﹣π等． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 9．＝　±9　；|2﹣|＝　　；（π﹣3.14）的相反数是 　3.14﹣π　． 【思路点拨】根据平方根的定义、绝对值的性质和互为相反数的定义进行计算即可． 【解析】解：，，π﹣3.14的相反数是﹣（π﹣3.14）＝3.14﹣π， 故答案为：±9，． 【点睛】本题主要考查了实数的性质和平方根的定义，解题关键是熟练掌握平方根定义、绝对值性质和互为相反数的定义． 10．比较大小：3　＞　；　＞　（填写“＜”或“＞”） 【思路点拨】根据两个正数相比较平方大的这个数就大进行比较即可，第二问先估算，然后进行加减运算，再比较即可． 【解析】解：∵32＝9，，9＞7， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：＞；＞． 【点睛】此题考查无理数大小的比较，第一问先将两个数进行平方，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 11．把下列各数按要求填入相应的大括号里： ﹣（+10），4.5，，0，﹣（﹣3），+16，，﹣1.5． 正整数集合：{ 　﹣（﹣3），+16　…}； 负分数集合：{ 　，﹣1.5　…}； 无理数集合：{ 　　…}． 【思路点拨】直接根据有理数与无理数的含义分类即可． 【解析】解：正整数集合：{﹣（﹣3），+16，…}； 负分数集合：{，﹣1.5…}； 无理数集合：{…}． 故答案为：﹣（﹣3），+16；，﹣1.5；． 【点睛】本题考查的是有理数的分类，无理数的含义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．把下列各数填入相应的集合： ﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、﹣、0.． （1）有理数集合{ 　﹣1、﹣3.14、、0.　…}； （2）无理数集合{ 　、π、、﹣　…}； （3）正实数集合{ 　、π、、、0.　…}； （4）负实数集合{ 　﹣1、﹣3.14、﹣　…}． 【思路点拨】根据实数的定义及其分类求解可得． 【解析】解：（1）有理数集合{﹣1、﹣3.14、、0....}； （2）无理数集合{ 、π、、﹣...}； （3）正实数集合{ 、π、、、0....}； （4）负实数集合{﹣1、﹣3.14、﹣...}． 故答案为：（1）﹣1、﹣3.14、、0.；（2）、π、、﹣；（3）、π、、、0.；（4）﹣1、﹣3.14、﹣． 【点睛】本题主要考查实数，解题的关键是熟练掌握实数的定义及其分类． 题组B 能力提升练 13．下列说法正确的是（　　） ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④任何一个非负数的平方根都不大于这个数；⑤平方根等于它本身的数是0 A．①② B．③⑤ C．②④ D．①⑤ 【思路点拨】根据平方根的定义和立方根的定义即可求解． 【解析】解：①负数没有平方根，正确； ②一个实数的立方根是正数，0或负数，错误； ③负数没有平方根，故原说法错误； ④任何一个非负数的平方根有可能大于这个数，例如，的平方根是，而，错误； ⑤平方根等于它本身的数是0，正确． 综上，正确的说法是①⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．下列各组数中，互为相反数的组是（　　） A．﹣2与 B．﹣2和 C．﹣与2 D．|﹣2|和2 【思路点拨】根据相反数的概念及性质逐项分析得出答案即可． 【解析】解：A、﹣2与＝2，符合相反数的定义，故选项正确； B、﹣2与＝﹣2不互为相反数，故选项错误； C、﹣与2不互为相反数，故选项错误； D、|﹣2|＝2，2与2不互为相反数，故选项错误． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，在本题中要注意理解求|﹣2|的相反数就是求2的相反数，不要受绝对值中的符号的影响． 15．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a+b＞0 D．ab＞0 【思路点拨】由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，进一步得出|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，即可作出判断． 【解析】解：由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3， ∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质、绝对值、有理数的加法、有理数的乘法法则是解题的关键． 16．估算﹣2的值应在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【思路点拨】先估算出的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出﹣2的取值范围即可． 【解析】解：∵49＜62＜64， ∴7＜＜8， ∴7﹣2＜﹣2＜8﹣2， ∴5＜﹣2＜6． 故选：A． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键． 17．若a，b都是无理数，且a与b的和是有理数，则a＝ 　（答案不唯一）　，b＝ 　（答案不唯一）　.（写出一组即可） 【思路点拨】根据互为相反数的两个数相加得0及无理数的定义取a、b的值即可． 【解析】解：a＝，b＝， ∴a+b＝， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义及无理数的加法法则是解题的关键． 18．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数且，则n的值是 　44　． 【思路点拨】结合题意运用算术平方根知识进行估算、求解． 【解析】解：∵442＝1936，452＝2025， ∴44＜＜45， 即44＜＜44+1， 故答案为：44． 【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根的知识． 19．已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分． （1）求a+b+c的值； （2）若x是的小数部分，求的平方根． 【思路点拨】（1）根据平方根和立方根的定义及无理数的估算方法分别求出a、b、c的值并求和即可； （2）x＝﹣的整数部分，将x的值代入并计算，然后求其平方根即可． 【解析】解：（1）∵a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分， ∴a＝（±2）2＝4，b＝＝3，c＝3， ∴a+b+c＝4+3+3＝10． （2）∵x是的小数部分，的整数部分是3， ∴x＝﹣3， ∴＝﹣3﹣+19＝16， ∴±＝±4， ∴的平方根是±4． 【点睛】本题考查估算无理数的大小、平方根，掌握平方根和立方根的定义及无理数的估算方法是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 20．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　） A．﹣1 B．+1 C．﹣+1 D． 【思路点拨】先求出张方形的边长AD，再根据向右动就用加法计算求解． 【解析】解：正方形ABCD的边长为：， ∴点E所表示的数为：﹣1+， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，正方形是面积公式是解题的关键． 21．如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上﹣1这个点重合． （1）若圆从﹣1点沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与点B重合，设点B对应的实数是b，则b＝　﹣1+2π　．（结果保留π） （2）求的算术平方根．（结果保留π） （3）若圆从数轴上A点开始滚动，向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：+2，﹣4，+3，﹣2．当圆结束运动时，点A运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？（结果保留π） 【思路点拨】（1）根据题意得，向右滚动一周，即向右滚动2π个单位长度，即可求解； （2）先把b＝﹣1+2π代入求值，即可求解； （3）根据正负数的意义求解即可． 【解析】解：（1）∵半径为1个单位长度的圆的周长为2π， ∴向右滚动一周，即向右滚动2π个单位长度， ∵点A从﹣1向右滚动一周与B重合， ∴b＝﹣1+2π， 故答案为：﹣1+2π； （2）由（1）可得，b＝﹣1+2π， ∴， ∴4﹣π的算术平方根为； （3）由题意得，点A运动路程为|+2|+|﹣4|+|+3|+|﹣2|＝11（周）， 即11×2π＝22π个单位长度， ∵+2﹣4+3﹣2＝﹣1， ∴点A向左滚动一周，即2π的单位长度， ∴此时，点A表示的数为﹣1﹣2π． 【点睛】本题考查数轴、实数、算术平方根，掌握正负数的意义、算术平方根的定义是解题的关键． 22．【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 （1）的整数部分是 　5　，小数部分是 　　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【思路点拨】（1）先估算的大小，从而确定其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，利用估算分别得到，b＝6，再代入计算即可； （3）先估算的大小，从而估算的大小，利用估算方法得到10＜2x+y＜11，确定的整数部分和小数部分，从而求出x，y，再代入x﹣y进行计算，进而求出答案即可． 【解析】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； （2）∵， 即， ∴的小数部分， ∵， 即， ∴的整数部分b＝6， ∴ ＝ ＝ ＝1； （3）∵， ∴， 即10＜2x+y＜11， ∴的整数部分是10，小数部分是， ∵x是整数，且0＜y＜1， ∴， ∴， ∴x﹣y的相反数是． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$