精品解析： 浙江省绍兴市柯桥区秋瑾中学2024—2025学年上学期八年级数学10月检测卷

2024学年第一学期八年级数学学科课堂作业（一） 试题卷 时间：120分钟　满分：100分 一、选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，则△ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 8. 如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图所示，平分，点M，N分别在边，上，如果添加一个条件，即可推出，那么下面条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 11. 将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为_________________． 12. 如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 13. 如图，在等腰ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB＝DE，此时恰有∠ACB＝2∠ADE，则∠B的度数是_____． 14. 如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为，则的周长为_______cm． 15. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 16. 一副三角板如图所示摆放，则∠与∠的数量关系为________． 17. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 18. 如图，直线，交于点，点是直线上的点，在直线上寻找一点，使是等腰三角形，这样的点有_____个． 19. 在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时，______． 20. 如图，中，垂直平分，分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是______ 三、解答题（本大题有7小题，第21～25小题每小题6分，第26、27小题每小题10分，共50分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 21. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 22. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=25°，求∠A 的度数． 23. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 25. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O． （1）求证：△ABC≌△EDF． （2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数． 26. 如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F． 【问题引入】（1）若，求证：． 【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． 【拓展应用】（3）若，，求的长． 27. 阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点， 平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级数学学科课堂作业（一） 试题卷 时间：120分钟　满分：100分 一、选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数，解题的关键是掌握并应用三角形的三边关系． 【详解】解：根据三角形三边关系，可知： A：，能组成三角形，符合题意； B：，不能组成三角形，不符合题意； C：，不能组成三角形，不符合题意； D：，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A 2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高． 故选：D 3. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，则△ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可设∠A= x°, 则∠B=,∠C=, 再结合∠A+∠B+∠C=180°，列出方程x+4x+5x=180;解方程即可求得x的值, 继而可得出∠A、∠B、∠C的度数. 【详解】解：设∠A=x°, 则∠B=4x°,∠C=5 x°， 则x+4x+5x=180，18°， , 故△ABC为直角三角形. 故选C. 【点睛】根据三角形的内角和定理可求得∠A、∠B、∠C的大小，进而判断△ABC的形状. 4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果．找准对应角是解题的关键． 【详解】解：由图可知，为边长为的对角， ∵两个三角形全等， ∴； 故选D． 5. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定理或定理即可得． 【详解】解：在和中，已有， 要使，只需增加一组对应边相等或对应角即可， 即需增加的条件是， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选择：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 6. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，再根据三角形内角和定理求出，最后由邻补角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 8. 如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接, ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 9. 如图所示，平分，点M，N分别在边，上，如果添加一个条件，即可推出，那么下面条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据选项和题意结合全等三角形的判定方法，判断与是否全等，来判断是否能推出AM=AN，再逐项判断即可． 【详解】AP平分，所以． A．PM=PN，不能证明出，所以不能推出AM=AN，故A符合题意． B．∵，AM=AN，， ∴， ∴AM=AN． 所以能推出AM=AN，故B不符合题意． C．∵， ∴， 又∵AM=AN，， ∴， ∴AM=AN． 所以能推出AM=AN，故C不符合题意． D．∵，，AM=AN， ∴， ∴AM=AN． 所以能推出AM=AN，故D不符合题意． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，熟练利用三角形全等的判定方法是解答本题的关键． 10. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵若， 又， ∴与满足“”的关系，无法证明全等， 因此无法得出，故A是假命题， ∵若， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故B是真命题； 若，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故C是真命题； 若，则在和中， ， ∴， ∴，故D是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 11. 将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为_________________． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等. 【解析】 【分析】每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可. 【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等. 12. 如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 13. 如图，在等腰ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB＝DE，此时恰有∠ACB＝2∠ADE，则∠B的度数是_____． 【答案】20° 【解析】 【分析】设∠B=x，先由DB=DE，根据等边对等角得出∠DEB=∠B=x，根据三角形外角的性质得出∠ADE=∠DEB+∠B=2x，由∠ACB=2∠ADE得出∠ACB=4x．再由AB=BC，得出∠ACB=∠A=4x，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理列出方程4x+x+4x=180°，解方程即可求出∠B的度数． 【详解】解：设∠B=x． ∵DB=DE， ∴∠DEB=∠B=x， ∴∠ADE=∠DEB+∠B=2x， ∴∠ACB=2∠ADE=4x． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠A=4x． 在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴4x+x+4x=180°， ∴x=20°． 故∠B的度数是20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． 14. 如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为，则的周长为_______cm． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 15. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7， 解得AC=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 16. 一副三角板如图所示摆放，则∠与∠的数量关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形内角和等于得到，再根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：在四边形中，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是四边形内角和、对顶角的性质，熟记四边形内角和等于360°是解题的关键． 17. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 【答案】 或 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果． 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 【详解】解：①如图1， 等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为． ②如图2， 等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 18. 如图，直线 ，交于点，点是直线 上的点，在直线上寻找一点，使是等腰三角形，这样的点有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由条件确定出点的位置是解题的关键，注意分类讨论． 分别以、、为顶角进行讨论即可求得答案． 【详解】解：∵为等腰三角形， ∴分三种情况： （1）当以为顶角时，则有，即点在线段的垂直平分线上，可知满足点在直线上只有一个点； （2）当以为顶角时，则有，由两直线夹角为，可知此时点在直线的上，一个在直线 的上方，一个点在直线 的下方，一共有两个点； （3）当以为顶角时，则有，此时点在直线的上，有一两个点． 综上可知满足条件的点有4个． 故答案为：4． 19. 在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时，______． 【答案】##0.73 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可． 【详解】解：根据题意可得，当时，， 则当时，， 故答案为：． 20. 如图，中，垂直平分，分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是______ 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，求三角形的面积，先根据垂线段最短确定最小值，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 过点A作，交于点G， 根据垂线段最短，可知， ∴的最小值为． ∵， 解得， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题有7小题，第21～25小题每小题6分，第26、27小题每小题10分，共50分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 21. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） ， . 在与中， （2） 【解析】 【分析】（1）由SAS证，即可解答． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到，由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据邻补角的定义解答． 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则. ，， . . . 22. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=25°，求∠A 的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）80° 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE； （2）由（1）可得出∠ECD=∠EDC=25°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=50°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数． 【详解】（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD=∠ECD． ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠BCD， ∴∠EDC=∠ECD， ∴DE=CE （2）解：∵∠ECD=∠EDC=25°，∴∠ACB=2∠ECD=50°． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=50°， ∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80° 【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质以及角平分线，解题的关键是根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC=∠ECD. 23. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：在与中， ， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 24. 如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 【答案】可得到4个命题，其中真命题有2个；①②④为条件，③为结论，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形判定定理，进行分析证明即可，注意：不能判定两个三角形全等． 【详解】解：可得到4个命题， ②③④为条件，①为结论，为假命题， ①③④为条件，②为结论，为真命题， ①②④为条件，③为结论，为真命题， ①②③为条件，④为结论，为假命题． 所以，其中真命题有2个． 选择以下一个真命题进行证明： ①②④为条件，③为结论． ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故本命题为真命题． 25. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O． （1）求证：△ABC≌△EDF． （2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数． 【答案】（1）见解析；（2）70° 【解析】 【分析】（1）由可求得，利用可证得：； （2）由邻补角可求得，结合（1）可求，利用三角形的内角和可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是对全等三角形的判定条件的掌握与应用． 26. 如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F． 【问题引入】（1）若，求证：． 【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． 【拓展应用】（3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2 【解析】 【分析】（1）作于M，由，可得出，由角平分线的性质定理了得出，即可得出． （2）方法一：过点P作于G，交于H，则，，由（1）得：，证明，由全等三角形的性质即可得出．方法二：延长交于点M，由平行线的性质得出，，利用角平分线的定义可推出， 再利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再证明即可得出． （3）由方法二（2）可得出，再根据即可得出答案． 【详解】证明：（1）作于M，如图． ∵，， ∴， ∵和分别平分和，， ∴， ∴． （2）成立， 方法一：过点P作于G，交于H，如图． 则， ∵， 则， ∴， 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴． 方法二：延长交于点M， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，角平分线的定义以及性质，等腰三角形三角形合一的性质以及平行线的性质等知识， 掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 27. 阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点， 平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长． 【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12 【解析】 【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案； 任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； 应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论． 【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 任务二：…… ， ， ； 应用：延长、交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $