第2章轴对称图形章末检测卷-2024-2025学年数学八年级上册苏科版

第2章轴对称图形章末检测卷-2024-2025学年数学八年级上册苏科版 一、单选题 1．在中，平分，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，将沿折痕折叠，使点A恰好落在的延长线上的点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是真命题的是（    ） A．只有当时，才是完全平方式 B．有一个角等于的三角形是等边三角形 C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D．平行四边形相邻的两个角都相等 4．已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知射线．以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为D，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为     A． B． C． D． 7．如图，在中，，是边上的中线且，则的长是（　　） A．10 B．7.5 C．5 D．2.5 8．如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；② 为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 9．在中，，点在边上，点在边上，，，若为等腰三角形，则的度数为 ． 10．如图，把一张长方形纸片沿着折叠后，点落在点处，点落在点处，若，则图中 度． 11．如图，中，D是的中点，交于，则 ． 12．如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是 °． 13．如图，将四边形纸片的右下角向内折出，恰好使，，若，则 ．    14．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 15．如图，，，利用直尺和圆规按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交射线于点．②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线．③以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．则线段的长为 ． 16．如图，在中，厘米，厘米，若点P以2厘米/秒的速度由点运动，同时，点Q从点C出发，逆时针由运动（当点P到达点A时运动停止），当点Q的速度为 厘米/秒时，线段垂直平分线段．    三、解答题 17．如图，已知：在中，，． (1)在线段上找一点D，使得是等腰三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)过点D作于点E，求的度数． 18．如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．    (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？ 19．如图，在中，于F，于E，M为的中点． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 20．如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 21．如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形． 22．已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A D A A A 1．C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可． 【详解】解：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，，， 又， ， 而， ， ， ， ． 故选：． 2．D 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据折叠得到，利用三角形外角性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵折叠， ∴， ∴； 故选D． 3．C 【分析】本题考查真假命题的判断及完全平方公式，等边三角形的判定，全等三角形的判定及平行四边形性质，熟记相关定理和性质是本题的解题关键，根据完全平方公式，等边三角形的判定，全等三角形的判定及平行四边形性质分别进行判断即可． 【详解】解：A、当时，是完全平方式，故此选项是假命题； B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故此选项是假命题； C、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，说法正确，是真命题； D、平行四边形对角相等，故此选项是假命题； 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为，即可得出答案． 【详解】解：设一个底角度数为x，则另一个底角也为x， ∴， 解得． 故选A． 5．D 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图，等边三角形的性质与判定是解题的关键．根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键． 利用轴对称图形的性质得出，，进而利用，得出的长，即可得出的长． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，，， ，， ∴， 则线段的长为：． 故选：． 7．A 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，直接求解即可． 【详解】解：在中，，是边上的中线且， ， 故选：A． 8．A 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可判断②；过点作，在上截取，证明，，即可判断③；由三角形的面积的和差关系可判断④． 【详解】解：如图，连接， ∵，，为的中点， ∴，，， ∴是的中垂线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故结论②正确； 过点作，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故结论④正确， ∴其中正确的结论是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造等腰三角形、全等三角形和直角三角形是解题的关键． 9．40或20/20或40 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用， 先根据三角形外角性质，得出，则设，进而得到，，，最后根据为等腰三角形，进行分类讨论即可． 解决问题的关键是依据题意画出图形，并进行分类讨论． 【详解】解：如图所示，，， ， ， 可设，则，， 根据三角形内角和定理可得，， 分三种情况： ①当时，有， 解得； ②当时，有， 解得； ③当时，有，方程无解， 综上所述，的度数为或， 故答案为：20或40． 10． 【分析】本题考查了折叠的性质．三角形内角和定理，对顶角相等．熟练掌握折叠的性质．三角形内角和定理，对顶角相等是解题的关键． 如图，则，由折叠的性质可知，，，则，由，进而可求． 【详解】解：如图， ∴， ∵长方形， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长． 【详解】解：连接，过作于， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ， 解得， ， 故答案为：10． 12． 【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 由作图得：垂直平分，平分，再根据线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和求解． 【详解】解：由作图得：垂直平分，平分， ， ， ， ， ， 故答案为∶． 13． 【分析】本题考查了平行线的性质，补角性质，折叠的性质，三角形内角和定理，四边形内角和，利用平行线和补角性质可得，，进而得，由折叠的性质得，，可得，即可由三角形内角和定理得，最后根据四边形的内角和即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 又由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以为边作等边，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，则的最小值为，再直角三角形的性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴最小时，有最小值， ∵为直线上的动点，过点作于点， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查尺规作图，三线合一，勾股定理等； 过点A作，由作图可得：平分，，根据直角三角形中30度的角所对直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解． 【详解】过点A作，如图 由作图可得：平分， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 16．6或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，一元一次方程的应用．分情况求解是解题的关键． 设点Q的速度为厘米/秒，由，可知当为的中点，与重合时，线段垂直平分线段， 此时的运动时间为（秒），的运动路程为厘米，依题意得，计算求解即可；当与重合，为的中点时，线段垂直平分线段，此时的运动时间为（秒），的运动路程为厘米，依题意得，计算求解即可． 【详解】解：设点Q的速度为厘米/秒， ∵， ∴当为的中点，与重合时，线段垂直平分线段， ∴的运动时间为（秒），的运动路程为厘米， ∴， 解得，； 当与重合，为的中点时，线段垂直平分线段， ∴的运动时间为（秒），的运动路程为厘米， ∴， 解得，； 综上所述，点Q的速度为6厘米/秒或厘米/秒； 故答案为：6或． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）作的垂直平分线交于点，则，是等腰三角形，点即为所求作； （2）由（1）可知，的垂直平分线与的交点即为点，根据等边对等角的性质，得到，进而得到，再结合三线合一的性质，即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：由（1）可知，的垂直平分线与的交点即为点， ∴ 是等腰三角形，， ， ， ， ． 18．(1)海岛B到灯塔C的距离为30海里 (2)上午9时小船与灯塔C的距离最短 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，读懂题意并添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，故海里； （2）过点C作于点P，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离．根据三角形内角和定理，得．根据含30度角的直角三角形的性质，在中，，求出，从而解决此题． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）如图，过点C作于点P，    ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， ∴（小时）， 则（时）， 故上午9时小船与灯塔C的距离最短． 19．(1)的周长为14； (2)． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟练应用以上性质是解题的关键． （1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而得出的周长； （2）根据等腰三角形的性质，得，，再根据三角形的内角和定理求出，，进而求出的度数即可得出答案． 【详解】（1）于F，于E，M为的中点， ，， ，, 的周长； 故的周长为14． （2）， ，， ， ， ， 故的度数为． 20．(1)，； (2)t的值为或； (3)不会变化， 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形内角和定理及外角的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由等边三角形的性质可得厘米，设点P的运动时间为，则厘米，厘米，再表示出的长度即可； （2）由题意可知，厘米，厘米，厘米，当是直角三角形时，分两种情况讨论：和，根据30度角所对的直角边等于斜边一半列方程，求出t的值即可； （3）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米， 设点P的运动时间为， 由题意可知，厘米，厘米， 厘米， 故答案为：，； （2）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米，， 设点P的运动时间为， 则厘米，厘米，厘米， 当是直角三角形时， 若，则， ， ， 解得：； 若，则， ， ， 解得：， 综上可知，当是直角三角形时，t的值为或； （3）解：不会变化，理由如下： 是等边三角形， ，， 点P、Q分别从顶点A、B以相同速度同时出发，沿线段、运动， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的外角， ， 即不会变化，度数为． 21．见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形来那个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的定义等知识，首先根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质求得，根据等角对等边求得，从而求得是等腰三角形． 【详解】证明：在中，， ， 是边上的高， ， ， 是的角平分线， ， ，即， ， 是等腰三角形． 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明： 是等边三角形，， ，， 又， ， ； （2）， ， 又，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$