专题7.1 期中押题重难点检测卷（考试范围：第1～3章）-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）

期中押题重难点检测卷（考试范围：第1~3章） 【苏科版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，还需要添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（       ）． A． ， B． ， C． ， D．， 2．（3分）（2024·广东·三模）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）（23-24八年级·全国·期中）如图，在四边形中，，点M 是上一点，且满足，，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D．6 4．（3分）（23-24八年级·浙江·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　）    A．20 B．25 C．30 D．35 5．（3分）（23-24八年级·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 6．（3分）（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 8．（3分）（23-24八年级·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 9．（3分）（23-24八年级·广东汕头·期末）中，，过B的直线将分成两个等腰三角形，则符合条件形状不同的有（　　）种． A．2 B．3 C．4 D．5 10．（3分）（23-24八年级·山东济南·期末）如图，已知等边，点D、E分别在边、上，、交于点F，，为的角平分线，点H在的延长线上，，连接、，①；②；③；④；其中说法正确的是（    ）    A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，点B在线段上，若，则的度数是 ．    12．（3分）（23-24八年级·全国·期末）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 13．（3分）（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，四边形纸片中，，，将四边形纸片沿直线折叠，点、分别对应点、，接着将折叠后的四边形沿着射线方向进行平移，点恰好与点重合后停止，得到四边形，若，，则 ． 14．（3分）（23-24八年级·贵州铜仁·期末）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 15．（3分）（23-24八年级·河北邯郸·期末）如图1，和是等边三角形，连接，交于点F． （1）的值为 ； （2）的度数为 . 16．（3分）（23-24八年级·四川成都·期末）如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（23-24八年级·山东烟台·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)在图中作出关于直线对称的； (2)若是直线上一点，则的最小值是__________； (3)图中若有格点满足，则这样的格点有__________个 18．（8分）（23-24八年级·重庆·期末）请在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式）： 如图，在中，于点D，E、F分别是上的一点，且，延长交于点G，若，求证：． 证明： （__________） 在和中， （__________） （__________） （_________） ∴________ ∴_________（___________） （__________） 19．（8分）（23-24八年级·吉林·开学考试）为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． (1)求公路 的长度； (2)若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 20．（8分）（23-24八年级·四川广安·期末）在4×4的网格图中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白网格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，请在备用图中画出三种不同的设计方案. 21．（8分）（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数． (2)当时，补全图2，并求证：． 22．（10分）（23-24八年级·全国·期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点、之间的距离． (1)小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达、的点，用绳子连接和，并利用绳子分别延长至、至，使用拉尺丈量、，确定、两个点后，最后用拉尺直接量出线段的长，则端点、之间的距离就是的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由． (2)你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图中画出简图，但不必说明理由）． 23．（10分）（23-24八年级·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 24．（12分）（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，，点M是射线上的一个定点，点N是射线上的一个动点，连结，把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图1，点在的内部，若，，则___°． (2)如图2，若，，折叠后点C在直线上方，与交于点E，且，求的度数及折痕的长． (3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点E，且，，直接写出此时的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（考试范围：第1~3章） 【苏科版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，还需要添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（       ）． A． ， B． ， C． ， D．， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法依次判定即可． 本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定方法有：、、和，注意没有和．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A. 已知，若添加，，则可根据得到，故A选项不符合题意； B. 已知，若添加，，则可根据得到，故B选项不符合题意； C. 已知，若添加，，则不能得到，因为没有，故C选项符合题意； D. 已知，若添加，，则可根据得到，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（3分）（2024·广东·三模）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用轴对称图形定义进行依次分析即可． 【详解】A.不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.是轴对称图形，故此选项符合题意； C.不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 3．（3分）（23-24八年级·全国·期中）如图，在四边形中，，点M 是上一点，且满足，，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和勾股定理． 过点M作交于点N，得到，则，，得到，用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：过点M作交于点N， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故选：C 4．（3分）（23-24八年级·浙江·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　）    A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明 ， ，求出和，根据和矩形的面积相等，进行求解． 【详解】解：点E为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证 ， ， ， ， 故选：C． 5．（3分）（23-24八年级·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，再证明即可求解． 【详解】在上截取，连接，如图 ∵为角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴，，即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 6．（3分）（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接，由勾股定理以及勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 由勾股定理得：，， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 7．（3分）（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 8．（3分）（23-24八年级·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查“赵爽弦图”相关计算，涉及勾股定理、完全平方公式、整式混合运算及正方形面积公式等知识，根据题意，设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，由勾股定理得到，再由正方形面积公式表示出，，，运用完全平方公式展开，由整式混合运算化简解方程即可得到答案，读懂题意，数形结合得到方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，则由勾股定理可得， ，，， ， ，即，解得， 的值是， 故选：B． 9．（3分）（23-24八年级·广东汕头·期末）中，，过B的直线将分成两个等腰三角形，则符合条件形状不同的有（　　）种． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】分是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，根据等腰三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：由题意知，符合条件形状不同的有4种： ①当是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，将分成两个等腰三角形；如图1， ②当是顶角为的等腰三角形，底角的平分线把它分成了两个等腰三角形；如图2； ③当是底角为的等腰三角形，时，将分成了两个等腰三角形，如图3； ④当中，时，可以使时构成两个等腰三角形，如图4． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 10．（3分）（23-24八年级·山东济南·期末）如图，已知等边，点D、E分别在边、上，、交于点F，，为的角平分线，点H在的延长线上，，连接、，①；②；③；④；其中说法正确的是（    ）    A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点．证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④． 【详解】解：①是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ②如图，作交的延长线于，作于， ，   ， ， 为的角平分线， ， ， 又，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 由①知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 是等边三角形， ，故②正确； ③由②知，， 若，则，从而，这与相矛盾，故③错误； ④，， ，即， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，点B在线段上，若，则的度数是 ．    【答案】/65度 【分析】根据得到，，结合，得到，代入计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴, 故答案为：65． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平角的意义，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质和直角三角形的性质是解题的关键． 12．（3分）（23-24八年级·全国·期末）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 13．（3分）（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，四边形纸片中，，，将四边形纸片沿直线折叠，点、分别对应点、，接着将折叠后的四边形沿着射线方向进行平移，点恰好与点重合后停止，得到四边形，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平移的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于找出角度之间的数量关系． 由折叠性质可得，，由平移得，进而求得，求出的度数，再根据，即可求解． 【详解】如图， 由折叠的性质可得，， 由平移的性质可得，， ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴，即 解得： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 14．（3分）（23-24八年级·贵州铜仁·期末）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题主要是考查了全等三角形的判定和性质，延长交于点，然后证得，得出，根据中点定义可得的面积为面积的2倍． 【详解】延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ． ∴， ， ，， ． 故答案为：4． 15．（3分）（23-24八年级·河北邯郸·期末）如图1，和是等边三角形，连接，交于点F． （1）的值为 ； （2）的度数为 . 【答案】 1 60 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得出，，，再由，得出，利用可证得，从而可得出结论； （2）由，可得，再根据，结合三角形内角和即可求解． 【详解】解：（1）∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 故答案为：1； （2）由，可得， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 60． 16．（3分）（23-24八年级·四川成都·期末）如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】延长至M，连接，作于N，作于P，证明是等腰直角三角形，求出， 证明，在中，用勾股定理求出． 【详解】解：延长至M，连接，作于N，作于P， 是等腰直角三角形，点F是的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 点、关于对称， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，于N， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及判定、全等三角形的判定及性质、轴对称的性质及勾股定理的运用，熟练运用相关性质定理，正确作出辅助线是正确解决本题的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（23-24八年级·山东烟台·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)在图中作出关于直线对称的； (2)若是直线上一点，则的最小值是__________； (3)图中若有格点满足，则这样的格点有__________个 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】本题考查了最短路线问题，作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出A，B，C关于直线l的对称点，，即可； （2）连接与直线交于点Q，根据两点之间线段最短可判断Q点满足条件； （3）利用格点作图，作出的垂直平分线，然后观察图形即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图， ∵C，关于直线对称， ∴， ∴， 当B、Q、三点共线时，取最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：； （3）解：如图，、、即为所求， ∴满足，这样的格点有3个， 故答案为：3． 18．（8分）（23-24八年级·重庆·期末）请在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式）： 如图，在中，于点D，E、F分别是上的一点，且，延长交于点G，若，求证：． 证明： （__________） 在和中， （__________） （__________） （_________） ∴________ ∴_________（___________） （__________） 【答案】垂直的定义；；全等三角形对应角相等；三角形内角和为；；或或；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理、平行线的判定和性质；先根据“”证明，然后再根据三角形的内角和以及平行线的判定和性质计算即可；熟练运用这些知识解决问题是关键 【详解】解：证明： （垂直的定义） 在和中， （） （全等三角形对应角相等） （三角形内角和为） ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 故答案为：垂直的定义；；全等三角形对应角相等；三角形内角和为；；或或；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等 19．（8分）（23-24八年级·吉林·开学考试）为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． (1)求公路 的长度； (2)若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 【答案】(1)千米，千米； (2)修建公路的费用为万元． 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）利用三角形的等面积方法即可求解； 本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：（千米）， ∴（千米）， 在中，由勾股定理得：（千米）； （2）解：∵， ∴， ∴（千米）， ∴修建公路的费用为（万元）， 答：修建公路的费用为万元． 20．（8分）（23-24八年级·四川广安·期末）在4×4的网格图中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白网格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，请在备用图中画出三种不同的设计方案. 【答案】详见解析 【分析】根据轴对称的性质画出图形即可． 【详解】答案不唯一 【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 21．（8分）（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数． (2)当时，补全图2，并求证：． 【答案】(1)①详见解析；② (2)详见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形中的翻折问题，熟练掌握翻折的性质以及全等三角形的判定是解题的关键． （1）①根据题意证明即可得到结论； ②根据全等三角形的性质以及翻折的性质证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）根据题意补全图形，根据题意证明即可得到结论． 【详解】（1）解：①证明：是的高，， ， 是的高， ， 在和中， ， ， ； ②解：如图： 由①知：， ， 将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上， ， ， 故是等腰直角三角形， ； （2）解：补全图形如下： ， ， 是的高， 是等腰直角三角形， ， 是的高， ， ， ， ， ， 将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上， ， ， ， ， ． 22．（10分）（23-24八年级·全国·期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点、之间的距离． (1)小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达、的点，用绳子连接和，并利用绳子分别延长至、至，使用拉尺丈量、，确定、两个点后，最后用拉尺直接量出线段的长，则端点、之间的距离就是的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由． (2)你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图中画出简图，但不必说明理由）． 【答案】(1)正确；理由见解析； (2)有，方案见解析． 【分析】（）利用“”证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：小明小组测量方案正确，理由如下： 连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴端点、之间的距离就是的长； （2）解：有其他方案，测量方案如下： 先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离，如图所示： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴端点、之间的距离就是的长． 23．（10分）（23-24八年级·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算； （1）求出，即可利用证明； （2）作交的延长线于点，求出，证明，可得，然后再证即可； （3）分情况讨论：当点在的延长线上时，作交的延长线于点，求出，证明，可得，，然后求出，再证，可得，设，表示出和，然后根据三角形的面积公式列式即可；当点在线段上时，同理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ，，， ， ， 在和中，， ； （2）； 理由：如图2，作交的延长线于点， ，，， ，， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ； （3）解：如图3，当点在的延长线上时，作交的延长线于点，则， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，当点在线段上时，设，则， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 24．（12分）（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，，点M是射线上的一个定点，点N是射线上的一个动点，连结，把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图1，点在的内部，若，，则___°． (2)如图2，若，，折叠后点C在直线上方，与交于点E，且，求的度数及折痕的长． (3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点E，且，，直接写出此时的长． 【答案】(1)40； (2)； (3)或． 【分析】（1）由对折的性质得：，由及，则可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）设，由折叠知，；由三角形外角的性质及等腰三角形性质得：，由三角形内角和即可求得的度数；过N点作于D，则易得；再由含30度直角三角形的性质得； （3）由勾股定理；分两种情况：①当点N在线段上时；②当点N在线段延长线上时；设，利用勾股定理建立方程求出x即可． 【详解】（1）解：由对折的性质得：， ，， 且，， ， ， 故答案为：40； （2）解：设， 由折叠知，； ，， ， ， ， 解得：， 即； 如图，过N点作于D， 则， ， 由勾股定理得：， ； ， ； （3）解：， ； ①当点N在线段上时，如图， 设，由折叠性质得：，， ，； ， ， 即， 解得：； 即； ②当点N在线段延长线上时，如图， 设，由折叠性质得：，， ，； ， ， 即， 解得：； 即； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$