第8讲： 一次函数及其应用题型 讲义-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第8讲 一次函数及其应用 一、知识链接 1.形如(）的函数， 称y是x的一次函数. 特别地，当时，称y是x的正比例函数. 2.一次函数的图象是一条直线, k反映了直线对于x轴正方向的倾斜程度，故称k为直线的斜率。 b是直线和y轴交点的纵坐标，称为直线的截距。 若（）是直线上的两点，则. 2. 直线与直线（）的位置关系． ①相交，其交点坐标是方程组的解。 特别地⊥。 ②平行,且之间的距离是：。 ③重合。 3.一次函数式的确定：一次函数的确定需要两个独立的条件,根据条件的不同，选择不同的形式确定函数表达式. 直线方程 说明 名称 y=kx+b k为斜率 b为纵截距 斜截式 y-y0=k（x-x0） (x0，y0)—直线上已知点，k-斜率 点斜式 = (x1，y1），(x2,y2）是直线上两个已知点（) 两点式 +=1 a—直线的横截距 ；b—直线的纵截距 截距式 二、经典例题 【例1】 设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。 【例2】 如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD—DC—CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是（ ） 【例3】 有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为 。 重量（千克） 1 1.5 2 2.5 3 3.5 长度（厘米） 4.5 5 5.5 6 6.5 7 【例4】 在同一直角坐标系中，解析式为y=kx+b（k≠0，其中k，b为实数）的直线有无数条，在这些直线中不论怎样抽取，至少要取 条直线才能保证其中有两条直线经过完全相同的象限。 【例5】 已知直线经过(2，0)和(0，4），把直线沿轴的反方向向左平移2个单位，得到直线，则直线的解析式为 。 【例6】 已知：为三个非负实数,且满足,设，则的最大值是（ ） （A） （B） （C） （D） 【例7】 已知一次函数的图像与轴的正半轴交于E 点，与轴的正半轴交于F点，与一次函数的图像相交于A （m，2），且A点为EF的中点。 （1）求一次函数的表达式； （2）若一次函数的图像与轴相交于P点，求三角形APE的面积。 【例8】 如图，A（0，1），M（3，2)，N（4，4）。动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝-x+b也随之移动，设移动时间为t秒. （1）当t＝3时，求l的解析式； （2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； （3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上. 【例9】 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过点A分别作坐标轴的垂线，垂足分别为B、C。 （1）若矩形ABOC的面积为4，求点A的坐标. （2）若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值. 【例10】 已知一次函数的图象与x轴、y轴的交点是为坐标原点，设的面积是Sk，求的值。 【例11】 如图,在直角坐标系中，A、B是某个一次函数图像上的两点，满足是直角，且，若AO与y轴的夹角是。这个一次函数的解析式是 。 【例12】 已知一次函数的图象经过求的值。 【例13】 在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。设k为整数，当直线与的交点为整点时，k的值可以取（ ） A．4个 B.5个 C.6个 D。7个 【例14】 如图,在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b=________。 【例15】 已知实数满足，并且,则直线一定通过 ( ）。 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【例16】 问：是否不论实数k为何值，直线 在平面直角坐标系xOy中恒过定点？答：_________ (若不是，填“否"；若是，填上该定点的坐标）。 【例17】 如图，直线与轴交于点，与直线相交于点． （1）求点的坐标． （2）请判断的形状并说明理由． （3）动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着 →→的路线向点匀速运动（与点、重合），过点分别作轴于，轴于．设运动秒时，矩形与重叠部分的面积为．求： ①与之间的函数关系式． ②当为何值时，最大，并求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$