精品解析：河南省郑州市郑东新区玉溪初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

2023--2024学年下学期第一次月考 八年级 数学 （时间：90分钟 分值：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，真假命题的判断，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一判断即可解答； 【详解】解：A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意； B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意； C、若，当时，，原说法不正确，假命题，故选项符合题意； D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 2. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 3. 不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是(　 　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】2x-6＞0， 移项得：2x＞6， 把x的系数化为1：x＞3， 故选A． 4. 如图，在中，过点作若则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AD∥BC，∠1=70°， ∴∠C=∠1=70°， ∴∠B=70°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠B=∠C． 5. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对道题，则他答错或不答的题数为．根据题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 10x−5(20−x)>120， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 6. 如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 7. 下列说法中，正确的结论有（ ）个 ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法判断即可． 【详解】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确； ②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，说法正确； ③“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，则这两个角为对顶角，此命题为假命题，本小题说法错误； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于，说法正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 8. 学完直角三角形的性质后，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸公园B之间的距离，在学校附近选一点C，测量出，利用测量仪器测得，则学校与公园之间的直线距离等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解三角形，根据题意得出，再利用勾股定理求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：， ∴， 故选：C 9. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 10. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD=∠BAE，求出∠CAF+∠ACD=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，判定②正确；求出∠ADF＞60°，∠FAD＜60°，∠AFD=60°，判定△ADF不是等腰三角形；求出∠AFG=60°，再求出∠FAG=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得FG=AF，然后判断④． 【详解】解：在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AE=CD，故①正确； ∵∠ACD=∠BAE， ∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°， 在△ACF中，∠AFC=180°﹣（∠CAF+∠ACD）=180°﹣60°=120°，故②正确； ∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC=∠B=60°， ∴∠ADF＞60°，∠FAD＜60°，∠AFD=60°， ∴△ADF不是等腰三角形，故③错误； ∵∠AFG=180°﹣∠AFC=180°﹣120°=60°，AG⊥CD， ∴∠FAG=90°﹣60°=30°， ∴FG=AF， ∴，故④错误， 综上所述，正确的有①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集中所有非负整数的和为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，解题的关键是熟练掌握非负整数包含和正整数．先解不等式，然后根据非负整数的定义，即可求解． 【详解】解：， 解得：， 等式的非负整数解为，，，， ∴不等式的解集中所有非负整数的和为 故答案为：6． 12. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________． 【答案】对应角相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形． 故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形． 【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13. 若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据解不等式，可得不等式3m﹣2x＜5的解集，根据不等式的解集，可得关于m的方程，根据解方程，可得m=． 14. 如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA于点C，延长CP交OB于点D，以点P为圆心PD为半径作圆弧交OB于点E，连接PE，若PC＝6，PD＝10，则DE的长为 _____． 【答案】16 【解析】 【分析】过点P作PF⊥OB，由角平分线的性质求得PF的长，在直角三角形中，由直角三角形的性质得出EF的长，进而解答即可． 【详解】解：过点P作PF⊥OB， ∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PF⊥OB， ∴PC=PF=6， ∵PE=PD=10， ∴在Rt△PEF中， ∴ED=2EF=16， 故答案为：16 【点睛】本题主要考查角平分线，勾股定理和等腰三角形的判定及计算技巧．借助于角平分线和直角三角形求解边长从而求得最后结果． 15. 如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．当点运动到边时，t为______秒时，为等腰三角形． 【答案】5秒或4.75秒或5.3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并注意等腰三角形的定义分类讨论是解题关键．先根据勾股定理求出．再分，，三种情况分类讨论，结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，∵， ∴． ①如图1，当时，为等腰三角形， ， 秒； ②如图2，当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 秒； ③如图3，当时，作于， 则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ， ， ∴秒． 综上所述，为5秒或4.75秒或5.3秒时，为等腰三角形． 故答案为：5或4.75或5.3． 三、解答题（本大题共6个小题，共75分） 16. 解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为1，得， 在数轴上表示解集如图： 【解析】 【分析】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得，在数轴上表示解集即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次不等式，解集为“”时要用实心点表示． 17. 如图，，，与交于点，． （1）求证：； （2）已知：，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用定理得出； （2）即可得出，再利用含30度角的直角三角形得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出是解题关键． 18. 如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点E，与边交于点D． （1）求的度数； （2）求证：为等腰三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角性质求出； （2）求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 19. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． 20. 对于任意实数，定义关于的一种运算如下：，例如，． （1）比较与的大小，并说明理由． （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数比较大小、解一元一次不等式等知识，理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算分别计算与的值，比较即可获得答案； （2）根据新定义运算可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解： ，理由如下， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴不等式可转化为， ∴． 21. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元． （1）求每副象棋和围棋的价格； （2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？ 【答案】（1）每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元 （2）最多能购买40副围棋 【解析】 【分析】（1）设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买副围棋，则购买副象棋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元． 依题意得， 解得． 答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元． 【小问2详解】 设购买副围棋，则购买副象棋． 依题意得：， 解得． 答：最多能购买40副围棋． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键． 22. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）30海里 （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【解析】 【分析】（1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得； （2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由已知条件可得：，，， ， ， ， B处到灯塔C的距离为30海里； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键． 23. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】（1） （2） ①∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）①根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；②点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023--2024学年下学期第一次月考 八年级 数学 （时间：90分钟 分值：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 3. 不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是(　 　) A. B. C. D. 4. 如图，在中，过点作若则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对道题，则他答错或不答的题数为．根据题意得（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的结论有（ ）个 ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 学完直角三角形的性质后，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸公园B之间的距离，在学校附近选一点C，测量出，利用测量仪器测得，则学校与公园之间的直线距离等于（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集中所有非负整数的和为_______． 12. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________． 13. 若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为_____． 14. 如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA于点C，延长CP交OB于点D，以点P为圆心PD为半径作圆弧交OB于点E，连接PE，若PC＝6，PD＝10，则DE的长为 _____． 15. 如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．当点运动到边时，t为______秒时，为等腰三角形． 三、解答题（本大题共6个小题，共75分） 16. 解不等式，并在数轴上表示解集． 17. 如图，，，与交于点，． （1）求证：； （2）已知：，求证：． 18. 如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点E，与边交于点D． （1）求的度数； （2）求证：为等腰三角形． 19. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 20. 对于任意实数，定义关于的一种运算如下：，例如，． （1）比较与的大小，并说明理由． （2）若，求的取值范围． 21. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元． （1）求每副象棋和围棋的价格； （2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？ 22. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 23. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $