精品解析：江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研数学试题

2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研 高三数学 2024.10.22 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则“”是“”（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由集合间的包含关系即可判断. 【详解】 所以, 所以“”是“” 的充分不必要条件. 故选：C 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定复数，再求复数的模. 【详解】， 所以，所以. 故选：C 3. 甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，再根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 丙丁两人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种. 故选：A 4. 已知等比数列满足，则的最小值为（ ） A. 48 B. 32 C. 24 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到，，然后利用基本不等式即可得到结论． 【详解】由，得，解得， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B. 5. 已知函数在R上单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的概念求参数的取值范围. 【详解】设，则在上单调递减. 因为，由在上恒成立，得： 若，则，所以； 若，则，所以. 设，则在上单调递减. 由在上恒成立，所以，，所以. 且. 综上可知：. 故选：D 6. 已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 7. 已知函数，存在常数，使为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，由题意确定的值，进而可得为奇函数，即可得出的最小值. 【详解】因为， 所以， 因为存在常数，为偶函数，则， 此时为奇函数， 所以，即， 因为， 所以的最小值为. 故选：B 8. 已知， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，通过其单调性可得答案. 【详解】因，则. 构造函数，，则. 令，，则. 则在上单调递增，得， 则在上单调递增. 又注意到，则. 故选：D 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 某射击运动员在一次训练中次射击成绩单位：环如下：，，，，，，，，，，这组数据的百分位数为 C. 若随机变量，且，则 D. 若变量y关于变量x的线性回归方程为，且，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项利用二项分布求期望与方差的公式代入即可求解；B选项，先将数据排序，再利用求百分位数的方法求解即可；C选项，先根据题意确定，再利用正态分布曲线的对称性即可求概率；D选项，利用回归直线过样本中心即可求解. 【详解】对于A，因为，所以，所以， 所以，A正确； 对于B，这组数从小到大排列为：，，，，，，，，，， 因为，所以这组数的百分位数为第八个数，即为，B错误； 对于C，因为随机变量，所以正态曲线关于对称， 由，得出， 所以，C正确； 对于D，因为，，，根据回归直线过样本中心， 有点在直线上，即，解得，D错误. 故选：AC 10. 已知棱长为4的正方体，球O是该正方体的内切球，E，F，P分别是棱，，的中点，M是正方形的中心，则（ ） A. 球O与该正方体的表面积之比为 B. 直线与所成的角的正切值为 C. 直线被球O截得的线段的长度为 D. 球O的球面与平面的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据正方体和球的表面积公式，计算判断；对B，取的中点，连接，，可得就是直线与所成角，求解；对C，连接，，取的中点，得到，求得，结合圆的弦长公式，可判定C正确；对D，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量，结合距离公式，得到平面恰好过球的球心，可求解判定. 【详解】对于A，因为球是正方体的内切球，所以球的半径， 正方体的表面积为，球的表面积为， 所以球与正方体的表面积之比为，故A正确； 对于B，因为是正方形的中心，所以，取的中点， 连接，，则，则就是直线与所成角， 平面，平面，又平面， ，，，则， 所以直线与所成角的正切值为，故B错误； 对于C，连接，，取的中点，连接，可得， 在中，， 又，可得， 所以直线被球截得的线段的长度为.故C正确； 对于D，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，得， ， 所以点到平面的距离为， 所以平面恰好过球的球心， 所以球的球面与平面的交线长为.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离为0，得到平面恰好过球的球心，由此得解. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，过点可作3条直线与函数的图象相切 B. 对任意实数m，函数的图象都关于对称 C. 若存在极值点，当且，则 D. 若有唯一正方形使其4个顶点都在函数的图象上，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用过一点的切线的求解方法来研究点解的个数就可以得到切线的条数，即可作出选项A的判断；利用中心对称恒等式思想来判断B选项；利用求导思想和反证法来证明即可判断C选项；利用中心对称性先确定正方形的中心就是三次函数的中心，其次从中心在原点出发去研究交点情况，从而易求出交点坐标及距离关系，再通过存在唯一性，可得唯一解，来确定参数的取值即可判断D选项. 【详解】当时，，则，设切点横坐标为， 则在点处的切线方程为：， 由切线过点，则有：， 整理得：， 构造函数，求导得：， 当时，，所以在上单调递减； 当或时，，所以在和单调递增； 又因为， 所以函数有三个零点，即方程有三个根， 则存在三条切线，故A正确； 由，可得函数的图象都关于对称，故B正确； 由函数，求导得， 由函数存在极值点，则有解，所以， 即解得极值点满足，且， 假设，则， 由 ， 故不成立，所以假设不成立，故C错误； 先研究函数往下移一个单位，使其对称中心在原点，则， 设函数图象上存在四点围成一个正方形，根据对称性可知，正方形的中心就是三次函数的对称中心，此时就是原点，所以可设直线方程为：, 与三次函数消元得：，所以， 利用正方形的对角线相互垂直可设直线方程为：， 再与三次函数消元得：，所以， 由正方形可知：，所以， 整理得：， 两边同除以得：， 令，则上式化为：， 由于在时是递增函数，且值域为，所以要使存在一个正方形使其4个顶点都在函数的图象上的充要条件就是存在唯一值， 从而可得，解得， 当时，，解得，因为，所以， 此时不满足，所以舍去； 当时，，解得，因为，所以， 此时满足，，所以； 故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：过某点切线条数的研究转化为切点解的个数研究即可；三次函数图象上存在四点围成正方形的唯一性研究，也是先引入正方形对角线的斜率，再找到相等关系，最后转化为斜率有唯一解的研究，从而得到参数的取值. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 可得：， 所以， 所以. 故答案为： 13. 某个软件公司对软件进行升级，将序列升级为新序列，中的第项为，若的所有项都是3，且，，则____________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用中的第项和为表示出，利用的所有项都是3逐步计算出，，. 【详解】由题意得，，， ， 的所有项都是3， ，，， 由得，解得， 由得，解得， 由得，解得. 故答案为：8. 14. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l在第一象限与C交于A，B两点，且为的平分线，则直线l的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直线的斜率分别为，由倾斜角得出，由题意设直线的方程为，，，，由直线方程与抛物线方程联立可得出，并解出，利用，，，代入得出关于的方程，解之可得． 【详解】由题意设直线的方程为，，，， 焦点为， 直线的倾斜角为，，直线的倾斜角为，， 是的角平分线，则，即， 所以，即， 由得，，， ，， 又，，，， 代入得． ， 由得 ，， 由得，， 所以，化简得， 解得（舍去负值）， 所以直线的方程为，即， 故答案为：． 【点睛】难点点睛：解答此题的难点在于复杂的计算，并且计算过程基本都是字母参数的运算，因此需要在明确解题思路的前提下，计算要分外小心. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，， （1）求证：平面⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:因为平面平面，且平面平面， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，且，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，由线面垂直可得，再由线线垂直可得平面，由面面垂直的判定定理即可求解； （2）取中点为，连接，，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取中点为，连接，， 又因为，所以，则， 因为，所以，则， 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，，所以， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值为. 16. 已知的角A，B，C对的边分别为a，b，c， （1）求B； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再用三角恒等变化由值求角即可； （2）由三角方程求角，结合条件（1）可知三个内角，再利用向量关系和已知的长度去求边，即可得到面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理边化角，所以 即 在中，，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 由，得， ， ， 因为，所以，所以，所以 所以且 在中，，所以 ， 解得， 所以的面积. 17. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； （2）设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 【答案】（1）分布列： X 1 2 3 4 P 数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题知X的所有取值为1，2，3，4，求出对应的概率，可得其分布列与数学期望； （2）利用全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合条件代入可得关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 由题可知X的所有取值为1，2，3，4， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则． 【小问2详解】 记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C， 由已知得，，，，，， 所以由全概率公式得， 解得． 18. 已知 （1）设，求的极值． （2）若在上恒成立，求的取值范围． （3）若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数．如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；都是在上有上界的函数．若，则是否在上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明． 【答案】（1）极小值，没有极大值 （2） （3）没有，证明：由（2）可知，在上恒成立， 令，则， 所以， 将上述式子相加得 由于没有上界，故也没有上界. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的极值. （2）构造函数，利用导数以及不等式恒成立的知识求得的取值范围. （3）根据（1）的结论，利用放缩法、综合法证得没有上界. 【小问1详解】 ， 令，解得. 所以在上单调递减； 在上，单调递增； 所以函数有极小值，没有极大值． 【小问2详解】 依题意，在上恒成立， 设，， 当时，单调递增，，不符合题意. 当时，， 令，解得， 即使，在上，单调递增； 在上，单调递减，不符合题意； 当时，单调递减，，符合题意； 综上：. 【小问3详解】 略 【点睛】本题涵盖了导数应用、单调性分析、不等式恒成立及放缩法等知识点，能够有效考查学生的综合能力. 通过不等式在区间上的恒成立条件，构造辅助函数，再利用单调性分析得出适合的取值范围. 19. 已知椭圆，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且． （1）求C的方程； （2）若M，N是C上任意两点 ①若点，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设和的面积分别为，，若，求线段MN的长度； ②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆， 求证：线段的长度不大于． 【答案】（1） （2）①3； ②证明：设直线， ，则 联立可得， 所以，， ，得． 所以中点H的坐标为，所以， 故直线OH：. 由P，Q，M，N四点共圆，则， 由; 联立可得，，所以， 所以， 所以得， 所有，得 即. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率及弦长计算求出即可得出椭圆方程； （2）①应用图形特征结合已知，再联立方程得出即可求出弦长； ②先设方程再联立方程得出H的坐标为，再由P，Q，M，N四点共圆，则，计算得出. 【小问1详解】 由离心率为，得， 由得在椭圆上，可得， 解得， 所以故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）可得， 连接，因为， ， 所以，得; 所以，所以直线ON的方程为， ， 由得（舍去）. 所以. ②略 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由P，Q，M，N四点共圆，则，进而结合弦长公式即可得出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研 高三数学 2024.10.22 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则“”是“”（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 4. 已知等比数列满足，则的最小值为（ ） A. 48 B. 32 C. 24 D. 8 5. 已知函数在R上单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知函数，存在常数，使为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知， ，，则（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 某射击运动员在一次训练中次射击成绩单位：环如下：，，，，，，，，，，这组数据的百分位数为 C. 若随机变量，且，则 D. 若变量y关于变量x的线性回归方程为，且，，则 10. 已知棱长为4的正方体，球O是该正方体的内切球，E，F，P分别是棱，，的中点，M是正方形的中心，则（ ） A. 球O与该正方体的表面积之比为 B. 直线与所成的角的正切值为 C. 直线被球O截得的线段的长度为 D. 球O的球面与平面的交线长为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，过点可作3条直线与函数的图象相切 B. 对任意实数m，函数的图象都关于对称 C. 若存在极值点，当且，则 D. 若有唯一正方形使其4个顶点都在函数的图象上，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则_______． 13. 某个软件公司对软件进行升级，将序列升级为新序列，中的第项为，若的所有项都是3，且，，则____________. 14. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l在第一象限与C交于A，B两点，且为的平分线，则直线l的方程为_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，， （1）求证：平面⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知的角A，B，C对的边分别为a，b，c， （1）求B； （2）若，，求的面积． 17. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； （2）设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 18. 已知 （1）设，求的极值． （2）若在上恒成立，求的取值范围． （3）若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数．如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；都是在上有上界的函数．若，则是否在上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明． 19. 已知椭圆，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且． （1）求C的方程； （2）若M，N是C上任意两点 ①若点，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设和的面积分别为，，若，求线段MN的长度； ②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆， 求证：线段的长度不大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $