精品解析：海南省乐东县华东师范大学第二附属中学乐东黄流中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

华二黄中2024-2025学年第一学期第一次月考 高二年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 4. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正三棱锥的高为2，，E，F分别为MB，MC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 10. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 若，则一定是等边三角形 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 11. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为 _________ . 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 14. 已知空间向量，，若，，可以构成空间向量的一个基底，则实数x的取值范围为_____________. 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 18. 某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. （1）若，求这两人中奖的概率； （2）若，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华二黄中2024-2025学年第一学期第一次月考 高二年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 2. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】由题可得. 注意到， 则. 故选：A 3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 4. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角. 【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 6. 已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量基本定理易求得的值. 【详解】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得. 故选：B. 7. 已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出的坐标，计算，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点是否在平面内. 【详解】对于选项A，，所以， 根据线面垂直的性质可知,故在平面内； 对于选项B，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项C，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项D，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 故选：A 8. 如图，正三棱锥的高为2，，E，F分别为MB，MC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：作出辅助线，得到是异面直线AE与BF所成角或其补角，由余弦定理求出，进而得到，，利用余弦定理求出答案；解法二：作出辅助线，得到平面ABC，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【详解】解法一：如图，设N是MF的中点，O是的中心， 连接AO并延长，交BC于点D，连接AN，EN，MO，MD， ∵E为MB的中点，∴，， ∴是异面直线AE与BF所成角或其补角， 由题可知，平面ABC，为正三角形，， ∴，，， ∴， ∴在中，． 在中，， ∴． 在中，． 易得， 所以在中，， 故异面直线AE与BF所成角的余弦值为. 解法二：如图，设O是的中心，连接AO并延长，交BC于点D，连接MO， ∵三棱锥为正三棱锥，， ∴平面ABC，，． 以D为坐标原点，OD所在直线为x轴、DC所在直线为y轴、过点D且与OM平行的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，∴，． ∴， 故异面直线AE与BF所成角的余弦值为. 故选：D． 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 10. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 若，则一定是等边三角形 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，由正弦定理及条件，得到，即可求解；选项B，化边为角，再利用倍角公式可得或，即可求解；选项C，利用正弦定理边角转化及正弦的和角公式，即可求解； 由余弦定理及锐角三角形的定义判断D． 【详解】对于选项A，由正弦定理，若，则， 又为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，所以选项A正确， 对于选项B，若，由正弦定理得，即， ，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以选项B错误， 对于选项C，由正弦定理得，得到， 所以，得到，所以一定是等腰三角形，故选项C正确， 对于选项D，当时，由余弦定理可得，即为锐角， 但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，所以选项D错． 故选：AC． 11. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为1计算判断A；利用频率分布直方图结合第p百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答. 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，成绩在内对应的频率为， 成绩在内对应的频率为， 因此第60百分位数位于区间内，， 所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确； 对于C，平均数约为，C正确； 对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为，则应选取成绩在内的学生人数为，D正确. 故选：BCD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为 _________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直的向量表示直接可得解. 【详解】由，，，则， 又在直线上， 所以，， 则， 又， 则，解得， 则， 即， 故答案为：. 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可. 【详解】由投影向量的定义可知， ， 故答案为： 14. 已知空间向量，，若，，可以构成空间向量的一个基底，则实数x的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先假设，，共面，计算出x，再由，，可以构成空间向量基底的条件得到x的范围. 【详解】假设，，共面则有，， 则， 则，得， 要使，，可以构成空间向量的一个基底，则，，不共面，即， 故答案为：. 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以， 故． 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合特殊角的三角函数值求解即可； （2）分类讨论，根据余弦定理求得，然后代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理知：. 因为为三角形内角，则，所以. 因为为三角形内角，则或. 【小问2详解】 若，由余弦定理得，， 则，即， 即，因为，则， 所以的面积； 若，则，即，因为，则， 所以的面积. 17. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【小问1详解】 ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. 【小问2详解】 由题意得， 故， 故 . 18. 某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. （1）若，求这两人中奖的概率； （2）若，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先列举样本点，再应用古典概型公式计算即可. （2）应用相互独立事件的概率是概率乘积公式计算. 【小问1详解】 记1个红球为个白球分别为. 则从箱子中随机摸出两球，样本点有：，共10个样本点 其中含有红球的为：，共4个样本点， 所以在一次摸奖中，中奖概率为. 当时，甲､乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为. 【小问2详解】 当时，他们可以摸奖4次. 记事件第次由甲摸奖为，记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件， 则， 所以 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $