精品解析：四川省达州市开江县讲治镇宝石初级中学 2024-2025学年 八年级上学期数学试题（一 ）

2024年秋宝石初中八年级数学单元测试题一 本卷满分150分，考试时间：120分钟 A卷（满分100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分．每小题有且只有一个正确答案，请正确答案的序号填入题后的括号内） 1. 如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（ ） A. 25 B. 1 C. 12 D. 5 3. 如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的柳树，两棵树水平距离，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为（ ） A. 103寸 B. 102寸 C. 101寸 D. 100寸 7. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D，E分别在边及其延长线上，，F为外一点，且，，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①② 二、填空题（本大题共5小题， 每小题4分， 共20分) 9. 观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数：_____________． 10. 已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为__________ ． 11. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点O，若，，则______． 12. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______（滑轮上方的部分忽略不计）． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则______． 三．解答题（本题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 14. 如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形中，，，，，，试问这块空地的面积？ 15. 如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长． 16. 如图，在中，，，，垂足为点，点是边上一点，连接，若，，求的长． 17. 如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度之比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距50海里． （1）求两船速度分别是多少？ （2）求客船航行方向． 18. 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接． （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：______． （2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，请直接写出线段AF的长． B卷（满分50分） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 19. 如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则________． 20. 如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为________． 21. 如图，中，，角平分线BD、CE交于点I，交CA于F，下列结论：①；②；③若，，则．其中正确的有___________． 22. 如图，在中，，点D，E，F分别在边上，连接，已知点B和点F关于直线对称．若D为中点，求_________，_________． 23. 在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，则______． 二．解答题（本题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24. 现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题： （1）证明：； （2）若拼成的大正方形面积为169，小正方形的面积为49，求的值． 25. 勾股定理的证明与计算 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程． （2）它体现的数学思想是（ ） A． 统计思想 B． 分类思想 C． 数形结合思想 D． 函数思想 （3）如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：． 证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程： 26. 阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： （1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； （2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； （3）请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋宝石初中八年级数学单元测试题一 本卷满分150分，考试时间：120分钟 A卷（满分100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分．每小题有且只有一个正确答案，请正确答案的序号填入题后的括号内） 1. 如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，由勾股定理可得，据此即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， 由题意可得，， 故选：． 2. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（ ） A. 25 B. 1 C. 12 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积求解即可． 【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积， ∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144， ∴另一条直角边的平方为， ∴最小正方形A的面积是25，边长为5； 故选：D 3. 如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的柳树，两棵树水平距离，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，根据，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∵，， ∴（负值舍去） ∴ ∴小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了8米 故选：C． 4. 如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 5. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 6. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为（ ） A. 103寸 B. 102寸 C. 101寸 D. 100寸 【答案】C 【解析】 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设OA=OB=AD=BC=r，过D作DE⊥AB于E， 则DE=10，OE= CD=1，AE=r-1． 在Rt△ADE中， AE2+DE2=AD2，即（r-1）2+102=r2， 解得2r=101． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，BE，根据勾股定理逆定理可得，，从而得到∠ACD=∠CAD=45°，∠BCE=90°，即可求解． 【详解】解：如图，连接AD，BE， 根据题意得：， ， ∴AD=CD，，， ∴∠ADC=90°，∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠CAD=45°， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 8. 如图，在中，，，点D，E分别在边及其延长线上，，F为外一点，且，，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，证明和全等，即可得到；连接如图见解析，证明和全等，即可得到；延长交于如图见解析，利用等腰直角三线合一的性质，，，可知，，，即可判断③；在和中，利用勾股定理以及等式的性质，即可判断④． 【详解】解：， 即 在和中 ，故①正确； 连接，如图： 在中， ， ，故②正确； 延长交于，如图： ， ， ，故③正确； 在中， ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识． 二、填空题（本大题共5小题， 每小题4分， 共20分) 9. 观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数：_____________． 【答案】17，144，145 【解析】 【分析】观察得出规律：第组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，即可解决问题．本题考查了勾股数的运用以及数字规律． 【详解】解：①；；． ②；；． ③；；． ④；；． 则第组勾股数的第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第8组勾股数为：17，144，145， 故答案为：17，144，145． 10. 已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为__________ ． 【答案】24 【解析】 【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积． 【详解】∵62+82=102， ∴此三角形为直角三角形， ∴此三角形的面积为：． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理证明此三角形是直角三角形． 11. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点O，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．根据“垂美”四边形，得到，由勾股定理得，由此求出答案． 【详解】解：∵是“垂美”四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______（滑轮上方的部分忽略不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为，过点C作于B， 则 在中， 即， 解得：，即旗杆的高度为17米． 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则______． 【答案】86 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式得到，，，，再由勾股定理推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接． 由题意，得，，，． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ． ， 故答案为：． 三．解答题（本题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 14. 如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形中，，，，，，试问这块空地的面积？ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，先在中，利用勾股定理可求，在中，再利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，分别利用三角形的面积公式求出、的面积，两者相加即是四边形的面积，解题的关键是作出辅助线求出及证得是直角三角形． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ， 是直角三角形， ，， ， 答：这块空地的面积是． 15. 如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长． 【答案】6.5 【解析】 【分析】如图，延长AE交BC于F，构造全等三角形△AED≌△FEC（AAS），则对应边AE=FE，AD=FC．在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求得线段AF的长度． 【详解】解：如图，延长AE交BC于F． ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC ∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE， 又∵点E是CD的中点， ∴DE=CE． ∵在△AED与△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（AAS）， ∴AE=FE，AD=FC． ∵AD=5，BC=10． ∴BF=5 在Rt△ABF中，AF＝， ∴AE=AF=6.5． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．注意，本题辅助线的作法． 16. 如图，在中，，，，垂足为点，点是边上一点，连接，若，，求的长． 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理．根据勾股定理得逆定理得出是直角三角形，且，进而得到，由可得，设，则，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：，， ． 是直角三角形，且． ． ， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 的长为． 17. 如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度之比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距50海里． （1）求两船速度分别是多少？ （2）求客船航行方向． 【答案】（1）客船与货船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时 （2）客船航行的方向为北偏东10°方向 【解析】 【分析】（1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，根据客船每小时比货船多走5海里，再列方程求解即可； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，再根据方向角的含义可得答案． 【小问1详解】 设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，依题意得， ． 解得， ∴，， ∴客船与货船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时； 【小问2详解】 由题可得，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵货船沿南偏东方向航行， ∴客船航行的方向为北偏东方向． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，勾股定理的逆定理的应用，方向角的含义，证明是解本题的关键． 18. 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接． （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：______． （2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，请直接写出线段AF的长． 【答案】（1）（1） （2） 结论：． 理由：如图 2中，过点作交的延长线于，连接． ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （3）的长为或1 【解析】 【分析】（1）结论：．利用线段的垂直平分线的性质证明即可． （2）结论：如图2中，过点作交的延长线于，连接．证明，推出，，再证明，可得结论． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：结论：． 理由：如图1中， ，， 垂直平分， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图中，当点在线段上时，设，则． ，， ， ， ， ， ． 如图中，当点在线段的延长线上时，设，则． ，， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． B卷（满分50分） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 19. 如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．连接，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据，可得，再由勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴． 故答案为： 20. 如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用．利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 21. 如图，中，，角平分线BD、CE交于点I，交CA于F，下列结论：①；②；③若，，则．其中正确的有___________． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质等知识．如图延长交于，作于，于．利用角平分线的性质定理，全等三角形的性质一一判断即可； 【详解】解：如图延长交于，作于，于． ，角平分线、交于点， ， ， ， ， ，故①正确， ，，， ， ，，， ， ， ，故②正确， ，，平分， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误． 故答案为：①②． 22. 如图，在中，，点D，E，F分别在边上，连接，已知点B和点F关于直线对称．若D为中点，求_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，首先根据轴对称的性质和三角形内角和定理得到，然后利用等角对等边得到，进而得到；然后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】如图，连接， ∵点B和点F关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， 设， 则， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，等边等对角，三角形内角和定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质． 23. 在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答． 【详解】解：观察发现， ，， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， 同理． 则． 故答案为：． 二．解答题（本题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24. 现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题： （1）证明：； （2）若拼成的大正方形面积为169，小正方形的面积为49，求的值． 【答案】（1） 证明：大正方形的面积表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，完全平方公式变形求值； （1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． （2）根据完全平方公式的变形解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵大正方形的面积为， ∴ ∵小正方形的面积为， ∴ ∵大正方形的面积， ∴， ∴， ∴． 25. 勾股定理的证明与计算 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程． （2）它体现的数学思想是（ ） A． 统计思想 B． 分类思想 C． 数形结合思想 D． 函数思想 （3）如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：． 证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程： 【答案】 （1）如图1所示，大正方形的边长为，则其面积为， 又由大正方形面积为四个全等的直角三角形的面积加上一个边长为c的正方形面积，即大正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，同理根据面积相等可得， ∴， ∴； （2）C； （3）如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明： （1）分别表示出两幅图中大正方形的面积，根据面积相等建立等式证明即可； （2）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （3）根据进行证明即可． 【详解】解：（1）略 （2）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C； （3）略 26. 阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： （1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； （2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； （3）请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 【答案】（1）勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；（答案不唯一） （2），； （3） 证明： ， 即是勾股数组． 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的概念，整式的混合运算，熟记勾股数的概念是解题关键． （1）根据勾股数组的特点解答即可； （2）根据已知表格，先求出勾股数组的和，进而得到勾股数组的和与最小数的差，再求出股和弦即可； （3）根据正数的混合运算法则计算即可证明． 【小问1详解】 解：上述勾股数组的一个特点：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； 故答案为：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； 【小问2详解】 解：为最小的勾股数， 勾股数组的和为， 勾股数组的和与最小数的差为， 股为，弦为， 勾股数组可以表示为， 故答案为：，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $