专题1.10 勾股定理（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.10 勾股定理（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 【知识点二】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 【知识点三】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】应用勾股定理求线段长 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，过点作于点，的平分线交于点，交于点，过点作于点，． (1)求的长； (2)求证：． 【变式1】（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式2】（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【题型2】应用勾股定理求最值 【例2】（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路、，且，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．   (1)找到堆放点P的位置； (2)求的最小值． 【变式1】（21-22八年级下·四川绵阳·期末）如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线的同一侧，于点，于点，，．点是直线上的一个动点，的最小值为，的最大值为，则的值为 ．        【题型3】结合“赵爽弦图”求面积 【例3】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 【变式1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）受赵爽弦图证明勾股定理的启发，王刚同学利用两个相同的小正方形和两组分别全等的直角三角形拼成了如图所示的矩形，若，则该矩形的面积为（    ） A．12 B．20 C．24 D．48 【变式2】（2023·四川德阳·二模）如图，“赵爽弦图”曾作为国际数学大会会标，它是由4个全等的直角三角形所围成，，若图中大正方形的面积为36，小正方形的面积为9，则的值为 ． 【题型4】应用勾股定理逆定理判断直角三角形 【例4】（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）的三边分别为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）已知为的三边，且满足，则为 三角形． 【题型5】勾股数 【例5】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，， B．2，3，4 C．，， D．3，4，5 【变式2】（2024·山东淄博·二模）观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 【题型6】勾股定理实际应用 【例6】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 【变式1】（福建省厦门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 【题型7】勾股定理与作图问题综合 【例7】（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧，交线段于点，以A为圆心，为半径画弧，交线段于点．   (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，．   (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例2】（2022·四川资阳·中考真题）如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计，结果保留根号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.10 勾股定理（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 【知识点二】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 【知识点三】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】应用勾股定理求线段长 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，过点作于点，的平分线交于点，交于点，过点作于点，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理求出，再由，求出，即可得出答案； （2）由证得，得出，，则，设，则，，再由勾股定理得，求出，即可得出结论． （1）解：在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ． 【点拨】本题考查了勾股定理、角平分线定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理以及圆的性质，根据勾股定理求出，再根据半径相等可得出，最后利用线段的和差关系即可得出答案． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点． ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型2】应用勾股定理求最值 【例2】（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路、，且，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．   (1)找到堆放点P的位置； (2)求的最小值． 【答案】(1)作点A的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求 (2)的最小值为． 【分析】（1）作点A的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求； （2）由（1）知，点P即为堆放P的位置，此时，的最小值，过作交的延长线于H，则，，然后利用勾股定理求解即可． 解：（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，过作交的延长线于H，      ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴的最小值为． 【变式1】（21-22八年级下·四川绵阳·期末）如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可． 解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大， 此时， 而， ∴， ∴长度的最小值为． 故选：A． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的最大值是解题的关键． 【变式2】（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线的同一侧，于点，于点，，．点是直线上的一个动点，的最小值为，的最大值为，则的值为 ．        【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求点，过点作的延长线于点，则的长即为的最小值，利用勾股定理即可求出的长即的值，延长交于点，当移动到点时，值最大，过点作，利用勾股定理即可求出的长即的值，最后求出结果即可． 解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，    则点即为所求点， 过点作的延长线于点，则的长即为的最小值为， ，， ， ， 的最小值为， 如图，延长交于点，   ，， 当移动到点时，值最大， ，， 过点作，则，， ， ， 的最大值为， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键． 【题型3】结合“赵爽弦图”求面积 【例3】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方式的应用： （1）根据面积公式证明勾股定理即可；（2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 解：（1）证明：大正方形的面积为，一个直角三角形的面积为，小正方形的面积为， ； （2）解：正方形面积为49，正方形的面积为25， ，， 一个直角三角形的面积为：， ， ， ． 【变式1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）受赵爽弦图证明勾股定理的启发，王刚同学利用两个相同的小正方形和两组分别全等的直角三角形拼成了如图所示的矩形，若，则该矩形的面积为（    ） A．12 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，弄清图形中各量之间的关系是解题的关键．设小正方形的边长为x，用x表示出矩形两邻边，利用矩形两边和对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程可求出x，进而可求出矩形的面积． 解：设小正方形的边长为x，则由整个矩形的两边和对角线组成的直角三角形的三边为：， 由勾股定理，得， 整理，得， ∴该矩形的面积为， 故选：C． 【变式2】（2023·四川德阳·二模）如图，“赵爽弦图”曾作为国际数学大会会标，它是由4个全等的直角三角形所围成，，若图中大正方形的面积为36，小正方形的面积为9，则的值为 ． 【答案】63 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，根据图形表示出小正方形的边长为，则，再由勾股定理得到，进而求出 ，然后利用完全平方公式即可得解． 解：由图可知，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63 【题型4】应用勾股定理逆定理判断直角三角形 【例4】（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 【答案】①在锐角三角形中，．②在钝角三角形中，；证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理，作出高转化到直角三角形中去，利用勾股定理得出结论．根据题意要分锐角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股定理作出证明． 解：①当三角形是锐角三角形时， 证明：如图，作垂足是，设的长为， 根据勾股定理得： 整理得： ②当三角形为钝角三角形时 证明：如图，过点作的垂线交于点，设的长为， 在直角三角形中， 在直角三角形中，， 整理得： ，． 所以：①在锐角三角形中，． ②在钝角三角形中，． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）的三边分别为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 解：A、，能判定为直角三角形，不符合题意； B、，不能判定为直角三角形，符合题意； C、，得到，能判定为直角三角形，不符合题意； D、，能判定为直角三角形，不符合题意； 故选B． 【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）已知为的三边，且满足，则为 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，先把所给等式因式分解得到，进而得到，据此利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 故答案为：直角． 【题型5】勾股数 【例5】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析；(2)能；35，12，37 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； （1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点拨】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，， B．2，3，4 C．，， D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查勾股数．根据股勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，进行判断即可． 解：A、不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； B、不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； D、，3，4，5是勾股数，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024·山东淄博·二模）观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数组数，第二个数组数组数，第三个数组数组数，再把代入，整理即可得到答案． 解：第一组：，，； 第二组：，，； …， 第四组为：，，. …， 则第组第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：． ∴第八组：，， 故答案为：，，． 【题型6】勾股定理实际应用 【例6】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用（1）利用勾股定理求得的值，再利用求解即可； （2）根据勾股定理求得的值，再利用求解即可． （1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：风筝的垂直高度为； （2）解：由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 答：他应该往回收线． 【变式1】（福建省厦门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 解：设绳索长为尺，则， 根据题意得：， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径．展开成平面，连接，则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出的长，根据勾股定理，即可求解， 解：展开成平面，连接， 则长为蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【题型7】勾股定理与作图问题综合 【例7】（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧，交线段于点，以A为圆心，为半径画弧，交线段于点．   (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)9cm 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可； （2）根据线段的和差关系分别用表示出，再利用勾股定理建立方程求解即可． （1）解：， ． ， ． ； （2）解：， ， ， 由勾股定理得：，即， 解得：cm． 【点拨】本题考查的是勾股定理，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握种基本作图的方法．根据作图可得平分，根据角平分线的性质得到，再证明得到，根据勾股定理得到，则，利用面积法求出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 解：由作图法得平分， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论． 解： 由作图可知平分， 设则有 ∴ 故答案为：5． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，．   (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 解：（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【例2】（2022·四川资阳·中考真题）如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，可以得到，即可用SAS证明得出结论； （2）根据全等三角形的性质，可以得到，设，则，因为在中，，而在中，，即可列出方程求出三角形的面积． 解：（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴； （2）由（1）， ∴， 设，∵，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ∴，， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可． 解：过F作于D，连接，    ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴．    由可得：， ∴， ∵，即，且，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计，结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 解：如图： 将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当时点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度， 由题意可得：， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$