2025年辽宁省中考仿真预测卷(三)数学试卷-【中考风向标】2025年中考必备辽宁中考真题汇编数学

- 89 - - 90 - 2025 年辽宁省中考仿真预测卷(三) 数学试卷 (满分:120 分　 考试时间:120 分钟) 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 2024 年 2 月 17 日,全球首架 C919 大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展. 商飞 C919 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机. 下图是 C919 大型客机的实物图,其俯视图是 (　 　 ) A B C 　 D 2. 2024 年 5 月 3 日,嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射,将嫦 娥六号探测器直接送入近地点高度约 200 千米,远地点高度约 380 000 千米的预定地月转移轨道. 将 380 000 用科学记数法表示为 ( 　 ) A. 0. 38×106 B. 3. 8×105 C. 3. 8×106 D. 38×104 3. 红团是福建莆仙地区的特色小吃,在以下红团图案中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是 (　 　 ) A B C D 4. 实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是 (　 　 ) A. a>-2 B. b< 5 C. b>a D. a<-b 5. 下列计算结果等于 x3 的是 (　 　 ) A. x+x2 B. x4 -x C. x·x2 D. x6 ÷x2 6. 将一块含 30°角的直角三角板 ABC 按如图方式放置在 A4 纸片上,其中点 A,B 分别落在纸片边上. 若∠1 = 105°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 15° B. 60° C. 65° D. 75° 第 6 题图 　 　 　 　 图 1 　 　 　 　 图 2 第 7 题图 7. 用一张正方形纸板制成一副七巧板,如图 1. 在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案,如图 2. 若在矩 形区域内随机取点,则这个点落在“火箭”图案部分的概率为 (　 　 ) A. 1 2 B. 2 2 C. 4 7 D. 3 8 8. 某超市一月份的营业额为 200 万元,已知第一季度的总营业额是 700 万元,设第一季度平均每月增 长率为 x,根据题意可列方程为 (　 　 ) A. 200(1+x) 2 = 700 B. 200+200×2x= 700 C. 200+200×3x= 700 D. 200[1+(1+x) +(1+x) 2] = 700 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠B= 60°,求作∠ACB 的三等分线. 阅读以下作图步骤: (1)分别以点 A,C 为圆心,大于 1 2 AC 的长为半径画弧,两弧分别交于点 D,E,作直线 DE 交 AB 于点 F,交 AC 于点 H,画射线 CF; (2)以点 C 为圆心,适当的长为半径画弧,交 BC 于点 M,交 CF 于点 N; (3)分别以点 M,N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧在∠BCF 的内部交于点 G,画射线 CG, 则射线 CF,CG 即为所求. 下列说法不正确的是 (　 　 ) A. AF=CF B. FH= 1 2 CH C. CG⊥AB D. △BCF 为等边三角形 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,B,C 是半径为 6 的半圆 O 上的两个点,AD 是直径,BC∥AD,若 BC ( 的长度为 8 3 π,则图中阴影 部分的面积为 (　 　 ) A. 8π B. 6π C. 5π D. 8 3 π - 91 - - 92 - 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 计算:3 8 = 　 　 　 　 . 12. 如图,在正六边形 ABCDEF 中,连接 AC,BD 相交于点 G,则∠AGD= 　 　 　 . 13. 花生油的沸点温度远高于水的沸点温度,小丽想用刻度不超过 100 ℃的温度计推算出花生油沸点 的温度. 在老师的指导下,她在锅中倒入一些花生油均匀加热,并每隔 10 s 测量一次锅中油温. 经老 师介绍,在花生油达到沸点前,锅中油温 y(单位:℃ )是加热时间 t(单位:s)的一次函数,得到的数 据记录如下: 时间 t / s 0 10 20 30 40 油温 y / ℃ 10 30 50 70 90 当加热 160 s 时,油沸腾了,请推算沸点的温度为　 　 　 ℃ . 14. 如图,过原点的直线与反比例函数 y = 4 x 和 y = k x 的图象在第一象限内分别交于点 A,B. 过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC,交 CA 的延长线于点 D. 若△ABD 的面积为 1 2 ,则 k= 　 　 　 . 15. 已知抛物线 y=mx2 -4mx-3 过不在 x 轴上的四个点 A( -3,a),B( -1,b),C(1,c),D(3,d) . 若 A,B, C,D 四个点中有且只有一个点在 x 轴上方,则 m 的取值范围为　 　 　 　 　 . 三、解答题(本题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. (10 分)计算: (1)( -3) 0 + 4 + | 1- 3 | ; (2) (1- 2x+3 ) ÷ x2 -1 2x+6 . 17. (8 分)实施乡村振兴战略,是新时代做好“三农”工作的总抓手. 为了发展特色产业,红旗村计划集 中采购 A,B 两种树苗,已知 B 种树苗单价(每棵树苗的价格)比 A 种树苗多 3 元,用 360 元购买 A 种树苗和用 540 元购买 B 种树苗的棵数相同. (1)求 A,B 两种树苗的单价分别是多少; (2)红旗村决定购买这两种树苗共 1 000 棵,若预算总费用不超过 7 000 元,问至多可以购买 B 种树苗 多少棵. 18. (8 分)某校“综合与实践”小组为了了解全校 3 600 名学生周末参加体育运动的情况,随机抽取 部分(同一批)学生进行问卷调查,形成了如下不完整的调查报告: 数据的收集与整理 问题 1:您平均每周末参加体育运动时间是(每项含最小值,不含最大值) A. 0~ 1 小时; B. 1~ 2 小时; C. 2~ 3 小时; D. 3 小时及以上. 问题 2:您每周末参加体育运动的主要方式是 E. 打篮球; F. 打羽毛球; G. 跑步; H. 其他. 平均每周参加体育运动时间的调查统计图 每周末选择的运动方式调查统计表 运动方式 E F G H 人数 108 93 m 66 请根据以上调查报告,解答下列问题: (1)求 m 的值; (2)估计该校 3 600 名学生中,平均每周末参加体育运动时间在“3 小时及以上”的人数. - 93 - - 94 - 19. (8 分)某公司根据市场需求代理 A,B 两种型号的空气净化器,每台 A 型净化器比每台 B 型净化器 进价多 200 元,用 5 万元购进 A 型净化器与用 4. 5 万元购进 B 型净化器的数量相等. (1)求每台 A 型,B 型净化器的进价各是多少元. (2)公司计划购进 A,B 两种型号的净化器共 50 台进行试销,其中 A 型净化器为 m 台,购买资金不 超过 9. 8 万元,试销时 A 型净化器每台售价 2 500 元,B 型净化器每台售价 2 180 元. 公司决定从销 售 A 型净化器的利润中按每台捐献 75 元作为公司帮扶贫困居民的资金,设公司售完 50 台净化器 并捐献扶贫资金后获得的利润为 W,求 W 的最大值. 20. (8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 BC 为直径的☉O 交边 AC 于点 D,过点 D 作☉O 的切线交 AB 于点 E. (1)若∠A= 54°,求∠ADE 的度数; (2)若 CD= 2,AD= 3,求 tan ∠ADE 的值. 21. (8 分)根据以下素材,探索完成任务. 如何设计遮阳棚 问 题 背 景 为使冬天温暖的阳光射入室内,又能遮挡夏天炎热的阳光,请你为餐馆的窗户设计一个遮阳棚. 实 验 操 作 图 1 综合实践小组设计直角形遮阳棚 BCD,∠C = 90°,如图 1,窗户 AB 的高度记为 h( m) . 一年中的正午时刻,太阳光线 AD 与地平面的最大夹角为 α,太阳光线 BD 与地平面的 最小夹角为 β. 其中 CD∥BE∥AF,经计算得 CD= h tan α-tan β ①. 方 案 改 进 图 2 为防止雨水聚积遮阳棚,综合实践小组又把直角形遮阳棚进行升级改造成圆弧形遮阳棚,如 图 2. 反 思 优 化 图 3 综合实践小组考虑到当餐馆没有顾客时,能够收缩遮阳棚让更多阳光照进来. 经改造设计 成以点 B 为圆心,BD 长为半径的伸缩圆弧形遮阳棚 BCD,如图 3. 任 务 一 如图 1,请你完成式子①的证明; 任 务 二 如图 3,在圆弧形遮阳棚点 M 处牵引绳子(其中点 M 是 CD ( 的中点),绳子由图中 MN 和 AN 两部分组成,MN⊥ AC. 其中 α= 60°,β= 30°,h= 2 m. 综合实践小组已经购买 5 米长的绳子,问绳长是否足够? 请说明理由. - 95 - - 96 - 22. (12 分)已知矩形纸片 ABCD. 第 1 步:先将矩形纸片 ABCD 对折,使点 A 和点 B 重合,然后展开铺平,确定 AB 的中点 E; 第 2 步:将 BC 边沿 CE 翻折到 CF 的位置,点 B 的对应点为 F; 第 3 步:连接 EF 并延长,交 AD 边于点 G. (1)若四边形 ABCD 为正方形,如图 1. ①用尺规作出点 F,G(不写作法,保留作图痕迹); ②求证:DG= 1 3 DA. (2)如图 2,连接 CF 并延长,交 AD 于点 H,当 H 恰为 AD 的中点时,求AB AD 的值. 图 1 　 图 2 23. (13 分)如图 1,抛物线 y=ax2 -3ax-4a 与 x 轴交于点 A 和点 B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,CO=BO,点 D 为抛物线上的一个动点(点 D 与 A,B 均不重合) . (1)求抛物线的解析式; (2)若∠BCD 与∠ACB 互余,求点 D 的坐标; (3)如图 2,直线 AD,BD 分别与 y 轴交于点 E,F,求证:CF= 4CE. 图 1 　 图 2 - 135 - - 136 - ∴ ∠OCF= 90°. ∵ OC 是☉O 的半径, ∴ CF 是☉O 的切线. (2)解:∵ AB 是直径,CD 是弦,且 AB⊥CD, ∴ CE= 1 2 CD= 6. ∵ AB= 20, ∴ OC= 10, ∴ OE= OC2 -CE2 = 8. ∵ ∠OCF= ∠OEC= 90°,∠COE= ∠FOC, ∴ △OCE∽△OFC, ∴ OC OF =OE OC , ∴ 10 OF = 8 10 , ∴ OF= 25 2 , ∴ EF=OF-OE= 25 2 -8 = 9 2 . 21.解:(1)在 Rt△ABC 中,∠A= 45°, ∴ ∠ABC= 45°, ∴ BC=AC= 20 cm. (2)由题可知 ON=EC= 1 2 AC= 10 cm, ∴ NB=ON= 10 cm. 又∵ ∠DON= 32°, ∴ DN= ON·tan∠DON = 10 · tan 32° ≈10 × 0. 62 = 6. 2 (cm), ∴ BD=BN-DN≈10-6. 2 = 3. 8(cm) . 答:B、D 之间的距离约为 3. 8 cm. 22.证明:(1)①∵ 四边形 ABCD 是矩形,DM⊥MN, ∴ ∠A= ∠DMN= 90°. ∵ AB= 6,AD= 4,MN= 3 2 DM, ∴ AD AB =DM MN = 2 3 , ∴ △ABD∽△MND. ②∵ 四边形 ABCD 是矩形,DM⊥MN, ∴ ∠ABC= ∠DMN= 90°, ∴ ∠ABD+∠CBD= 90°. 由①,得△ABD∽△MND, ∴ ∠ABD= ∠DNM. 又∵ ∠MEB= ∠DEN,∴ △MBE∽△DNE, ∴ ME DE =BE NE ,∴ ME BE =DE NE . 又∵ ∠MED= ∠BEN,∴ △DME∽△NBE, ∴ ∠NBE= ∠DME= 90°, ∴ ∠CBN+∠CBD= 90°. 又∵ ∠ABD+∠CBD= 90°,∠ABD= ∠DNM, ∴ ∠CBN= ∠DNM. (2)如图,延长 AB 至 F,过点 N 作 NF⊥AB 于点 F,连接 AC,AN,则∠NFA= 90°. 图 2 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,AD= 4,AB= 6. ∴ ∠DAB= ∠ABC= 90°,BC=AD= 4, ∴ BC AB = 2 3 ,∠ADM+∠AMD= 90°. ∵ AM= 4BM,AB= 6,∴ AM= 4 5 AB= 24 5 . 又∵ DM⊥MN,∴ ∠AMD+∠FMN= 90°, ∴ ∠ADM= ∠FMN, ∴ △ADM∽△FMN,∴ AD FM =AM FN =DM MN . 又∵ MN= 3 2 DM,∴ 4 MF = 24 5 FN =DM MN = 2 3 , ∴ MF= 6,FN= 36 5 ,∴ AF=AM+MF= 24 5 +6 = 54 5 , ∴ NF AF = 2 3 ,∴ NF AF =BC AB . ∵ ∠ABC= ∠AFN= 90°,∴ △ABC∽△AFN, ∴ ∠BAC= ∠FAN, ∴ A,C,N 三点在同一条直线上. 23. (1)解:由题意得,OC= 3,OA= 1,∴ A( -1,0) . 把 A( -1,0)代入 y= ax2 -2ax+3,解得 a= -1. (2)①命题一:(i)→(ii)或(i)→(iii) . 证明:过点 D 作 DF∥y 轴交 BC 于点 F,过点 F 作 FG⊥ y 轴. ∵ ∠DCB= ∠CAO,∠AOC= ∠CED= 90°, ∴ △ACO∽△CDE. ∵ OC= 3,OA= 1,∴ OC OA =DE CE = 3. 由题意,得△DEF 和△CFG 都是等腰直角三角形, 设 DE=EF= 3k,CE= k, ∴ FG= 2 2 k,DF= 3 2 k, ∴ FG DF = 2 3 . ∵ C(0,3),B(3,0), ∴ 直线 BC 的解析式为 y= -x+3. 设 D(x,-x2 +2x+3),F(x,-x+3), ∴ FG DF = x -x2 +2x+3-( -x+3) = 2 3 , 解得 x= 3 2 或 x= 0(舍去), ∴ D ( 32 , 15 4 ) , ∴ DE= DF 2 = -x2 +3x 2 = - ( x- 32 ) 2 + 9 4 2 , ∴ 当 D ( 32 , 15 4 )时,DE 取得最大值. 即当∠DCB= ∠CAO 时,DE 取得最大值. [结论 ii 得证] ∵ 点 F 在直线 BC 上,∴ F ( 32 , 3 2 ) . ∵ B(3,0),C(0,3),∴ F 为 BC 的中点. ∵ EF= 3k,CE= k,∴ BF= 4k, ∴ CE BE = k 7k = 1 7 ,即 BE= 7CE. [结论(iii)得证] 命题二:(ii)→(i)或(ii)→(iii); 命题三: ( iii ) → ( i ) 或 ( iii ) - ( ii ) . ( 证明过程参照 命题一) ②解:如图,过点 B 作 BQ⊥BC,取 BQ =CE,连接 MQ,∴ ∠OCB= ∠OBC= ∠MBQ= 45°. ∵ OM=ON,OB=OC,∴ BM=CN, ∴ △CEN≌△BQM(SAS), ∴ NE=MQ, ∴ 当 E,M,Q 三点共线时,EM+MQ 取最小值. ∵ ∠DCB= ∠CAO, 由①得 CE BE = 1 7 ,CE=BQ= 3 2 8 ,∴ E ( 38 , 21 8 ) . 过点 Q 作 QR⊥x 轴. QR= 3 8 ,OR= 21 8 ,∴ Q ( 218 ,- 3 8 ) , ∴ 直线 EQ 的解析式为 y= - 4 3 x+ 25 8 , ∴ 直线 EQ 与 x 轴交于点 M′ ( 7532,0 ) , ∴ 当 EM+EN 取最小值时,t 的值是 75 32 . 2025 年辽宁省中考仿真预测卷(三) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C C D A D B C 一、选择题 1. A　 解析:俯视图是视线由上向下观察物体所得到的视 图. 故选 A. 2. B　 解析:380 000 = 3. 8×105 . 故选 B. 3. D　 解析:轴对称图形是指将一个图形沿一条直线折叠 后,直线两旁的部分能够完全重合的图形;中心对称图形 指将一个图形绕某个点旋转 180°后,能够与原来的图形 完全重合的图形. 由此可知 A 既不是中心对称图形,也不 是轴对称图形;B 是中心对称图形,但不是轴对称图形;C 是轴对称图形,但不是中心对称图形;D 既是轴对称图形 又是中心对称图形. 故选 D. 4. C　 解析:因为数轴上的数从左到右按从小到大的顺序排 列,故 a<-2,A 错误,C 正确;因为 2< 5 <3,故 5 位于 2 与 3 之间,B 错误;因为 3<b<4,故-4<-b<-3,所以 a>-b,D 错误. 故选 C. 5. C　 解析:A. x+x2 不是同类项,不能合并,故错误;B. x4 -x 不是同类项,不能合并,故错误;C. x·x2 = x1+2 = x3,故正 确;D. x6 ÷x2 = x6-2 = x4,故错误. 故选 C. 6. D　 解析:如图,∠ABD = 180° -∠1 -∠ABC = 180° - 105° - 30° = 45°,∠DAB = 90° -∠ABD = 45°,∠2 = 180° -∠DAB- ∠BAC= 180°-45°-60° = 75°. 故选 D. 7. A　 解析:如图,设正方形纸板的边长为 a,则矩形宽为 a. - 137 - - 138 - 　 　 　 矩形的长为 1 4 a+a+ 1 2 a+ 1 4 a= 2a,则矩形的面积为 a·2a = 2a2,正方形的面积为 a2,则“火箭”图案部分的面积为 a2,故这个点落在“火箭”图案部分的概率为 a2 2a2 = 1 2 . 故 选 A. 8. D　 解析:因为一月份营业额为 200 万元,平均每月增长 率为 x,所以二月份营业额为 200(1+x)万元,三月份营业 额为 200(1+x) 2 万元,所以 200+200(1+x) +200(1+x) 2 = 700,即 200[1+(1+x)+(1+x) 2] = 700. 故选 D. 9. B　 解析:由步骤(1)知 DE 垂直平分 AC,则 AF=CF. 故 A 正确; ∵ ∠ACB = 90°,∠B = 60°,∴ ∠A = 30°,∴ FH = 1 2 AF,而 CH=AH≠AF,∴ FH≠ 1 2 CH,故 B 错误; ∵ AF=CF,∴ ∠ACF= ∠A= 30°,∴ ∠BCF= ∠ACB-∠ACF = 90°-30° = 60°. 由步骤(2),(3)可知 CG 是∠BCF 的平 分线, ∴ ∠BCG = ∠FCG= 1 2 ∠BCF = 30°. ∵ ∠BFC 是 △ACF 的一个外角,∴ ∠BFC = ∠A+∠ACF = 30° + 30° = 60°,∴ ∠FGC = 180° - ∠BFC- ∠FCG = 180° - 60° - 30° = 90°,∴ CG⊥AB,故 C 正确; ∵ ∠BCF= ∠BFC= 60°,∴ △BCF 为等边三角形,故 D 正 确. 故选 B. 10. C　 解析:如图,连接 OC. ∵ OB=OC,∴ ∠CBO= ∠OCB. ∵ BC∥AD, ∴ ∠AOB= ∠OBC,∠COD= ∠OCB, ∴ ∠AOB= ∠COD. ∵ OA=OB=OC=OD, ∴ △AOB≌△COD(SAS), ∴ S△AOB = S△COD,∴ S阴影 = S扇形COD . 设∠BOC= n°,∵ BC ( 的长度= nπ×6 180 = 8 3 π, ∴ n = 80,∴ ∠COD = ∠AOB = 180°-∠BOC 2 = 180° -80° 2 = 50°, ∴ S阴影 = S扇形COD = 50π×62 360 = 5π. 故选 C. 二、填空题 11. 2　 解析:∵ 23 = 8,∴ 3 8 = 2. 12. 120°　 解析:在正六边形 ABCDEF 中,∠ABC=∠DCB=120°. ∵ AB=BC=CD, ∴ ∠DBC= 180°-∠BCD 2 = 30°, ∠ACB= 180°-∠ABC 2 = 30°, ∴ ∠BGC= 180°-∠ACB-∠DBC= 120°, ∴ ∠AGD= ∠BGC= 120°. 13. 330　 解析:∵ y 是 t 的一次函数,∴ 设函数关系式为 y = kt+b(k≠0) . 将(0,10),(10,30)代入,得 b= 10, 10k+b= 30,{ 解得 k= 2, b= 10,{ ∴ y= 2t+10. 将 t= 160 代入,得 y= 2×160+10 = 330. 14. 9　 解析:如图,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E. ∵ 点 A 在 y= 4 x 的图象上,AC⊥x 轴于点 C, ∴ S△AOC = 1 2 ×4 = 2. ∵ BD⊥AC,AC⊥x 轴,∴ BD∥x 轴, ∴ △ABD∽△AOC,∴ S△ABD S△AOC = ( ABOA ) 2 , ∴ ( ABOA ) 2 = 1 2 2 = 1 4 ,∴ AB OA = 1 2 ,∴ OA OB = 2 3 . ∵ CD∥BE,∴ △AOC∽△BOE, ∴ S△AOC S△BOE = ( OAOB ) 2 = 4 9 ,∴ S△BOE = 9 2 , 即 1 2 | k | = 9 2 ,∴ k= ±9. ∵ 图象位于第一象限,∴ k= 9. 15. 1 7 <m< 3 5 　 解析:∵ y=mx2 -4mx-3 =m(x-2) 2 -4m-3, ∴ 对称轴为直线 x= 2. ∵ 抛物线过不在 x 轴上的四个点 A(-3,a),B(-1,b), C(1,c),D(3,d), ∴ A,B,C 三点在对称轴的左侧,点 D 在对称轴的右侧, 且 C 与 D 关于对称轴对称. 若 A,B,C,D 四个点中有且只有一个点在 x 轴上方,则不 可能是点 C 与点 D,只能是点 A, ∴ 抛物线在 x<2 时是下降的,即开口向上, ∴ m>0,a>b>c= d, 即 9m+12m-3>0, m+4m-3<0,{ 解得 1 7 <m< 3 5 . 三、解答题 16. (1)解:原式= 1+2+ 3 -1 = 2+ 3 . (2)解:原式= x+3-2 x+3 ÷(x +1)(x-1) 2(x+3) = x +1 x+3 · 2(x+3) (x+1)(x-1) = 2 x-1 . 17.解:(1)设 A 种树苗的单价每棵 x 元,则 B 种树苗的单价 每棵(x+3)元. 依题意,得 360 x = 540 x+3 , 解得 x= 6. 经检验,x= 6 是原分式方程的解. x+3 = 6+3 = 9. 答:A 种树苗的单价是 6 元,B 种树苗的单价是 9 元. (2)设红旗村可以购买 B 种树苗 m 棵,则购买 A 种树苗 (1 000-m)棵. 依题意,得 6(1 000-m) +9m≤7 000, 解得 m≤ 1 000 3 = 333 1 3 . ∵ m 是整数,∴ m≤333. 答:红旗村最多可以购买 B 种树苗 333 棵. 18.解:(1)依题意,得 48÷16% = 300, m= 300-(108+93+66)= 33. (2)平均每周末参加体育运动的时间在“3 小时及以上” 的人数为 3 600× 33 300 = 396. 19. 解:(1)设每台 B 型净化器的进价是 x 元,则每台 A 型净 化器的进价是(x+200)元. 依题意,得 50 000 x+200 = 45 000 x ,解得 x= 1 800, 经检验,x= 1 800 是原方程的解,且符合题意, ∴ x+200 = 2 000(元) . 答:每台 A 型净化器的进价是 2 000 元,每台 B 型净化 器的进价是 1 800 元. (2)∵ 购进 A 型净化器 m 台, ∴ 购进 B 型净化器(50-m)台. 又∵ 购买资金不超过 9. 8 万元, ∴ 2 000m+1 800(50-m)≤98 000,∴ m≤40. 依题意,获得的利润 W = (2 500-2 000-75)m+(2 180- 1 800)(50-m)= 45m+19 000(m≤40) . ∵ 45>0,∴ W 随 m 的增大而增大, 当 m= 40 时,W 取得最大值, 最大值= 45×40+19 000 = 20 800(元) . 答:W 的最大值为 20 800 元. 20.解:(1)如图,连接 OD. ∵ ∠A= 54°,AB=AC, ∴ ∠C= 180°-∠A 2 = 63°. ∵ OC=OD,∴ ∠ODC= ∠C= 63°. ∵ DE 是☉O 的切线,∴ ∠ODE= 90°, ∴ ∠ADE= 90°-∠ODC= 27°. (2)如图,连接 BD. ∵ BC 为☉O 的直径, ∴ ∠BDC= ∠BDA= 90°, ∴ ∠ADE+∠BDE= 90°. ∵ ∠ODE= 90°, ∴ ∠ODB+∠BDE= 90°, ∴ ∠ADE= ∠ODB. ∵ OB=OD, ∴ ∠OBD= ∠ODB= ∠ADE. 在 Rt△ABD 中,AD= 3,AB=AC= 5, ∴ BD= AB2 -AD2 = 4, ∴ tan ∠ADE= tan ∠CBD= 1 2 . 21. (1)证明:∵ 在 Rt△ACD 中,tan α= tan ∠ADC= AC CD , 在 Rt△BCD 中,tan β= tan ∠BDC= BC CD , ∴ tan α-tan β= AC-BC CD = AB CD = h CD , 即 CD= h tan α-tan β . (2)解:如图,连接 BM. - 139 - - 140 - ∵ α= 60°,β= 30°, ∴ ∠CAD= 30°,∠ABD= 120°, ∴ ∠ADB= 30°,BD= h= 2. ∵ 点 M 为 CD ( 的中点,∴ ∠CBM= 30°. ∵ 在 Rt△BNM 中,BM=BD= 2, ∴ MN= 1,BN= 3 . ∵ AB= 2,∴ MN+AN= 1+ 3 +2 = 3+ 3 <5, ∴ 绳长足够. 22. (1)①解:如图所示,点 F,G 即为所求. 方法一 　 方法二 方法三 ②证明:如图,连接 CG. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠A= ∠B= ∠D= 90°,AB=BC=CD=DA. 由折叠可得△CBE≌△CFE, ∴ BC=CF,∠B= ∠EFC= ∠GFC= 90°, EB=EF, ∴ CF=CD,∠D= ∠GFC= 90°. ∵ CG=CG, ∴ Rt△GDC≌Rt△GFC, ∴ DG=GF. 设 AB=DA= 2a,DG=GF= b. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ AE=EB= a, ∴ AG= 2a-b,GE= a+b, 根据勾股定理,得 a2 +(2a-b) 2 = (a+b) 2 解得 a= 3 2 b, ∴ AG= 2a-b= 3b-b= 2b, ∴ AD= 3b, ∴ DG= 1 3 DA. (2)解:如图, ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ADC = ∠B = ∠BAD = 90°, AB=CD,BC=DA, 由折叠可得△CBE≌△CFE, BC=CF,∠B= ∠EFC= ∠EFH= 90°, ∴ ∠EFA+∠AFH= ∠EAF+∠FAH= 90°. ∵ E 为 AB 的中点,H 为 AD 的中点, ∴ AE=BE=EF,AH=HD, ∴ ∠EFA= ∠EAF, ∴ ∠AFH= ∠FAH,即 AH=HF=HD. 设 AE=BE=EF= a,HF=HD=AH= b, ∴ HC= 3b,DC= 2a, 根据勾股定理,得 b2 +(2a) 2 = (3b) 2, 解得 a= 2 b,∴ AB AD = 2a 2b = 2 . 23. (1)解:因为抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 点 C, 所以 A( -1,0),B(4,0),C(0,-4a) . 因为 CO=BO,所以 C(0,-4),即 a= 1, 所以抛物线的解析式为 y= x2 -3x-4. (2)解:如答图 1 过点 C 作 x 轴的平行线 MN,分别过点 A,D 作 MN 的垂线,垂足分别为 M,N. 依题意,得∠ACM+∠DCN= 90°,∠ACM+∠CAM= 90°, ∴ ∠DCN= ∠CAM, ∴ △ACM∽△CDN, ∴ AM CN =CM DN . ∵ 点 D 是抛物线上的一个动点,设 D(m,m2 -3m-4), ∴ 4 m = 1 4+m2 -3m-4 , 解得 m= 13 4 ,∴ D ( 134 ,- 51 16 ) . 如答图 2,作点 A 关于 y 轴的对称点 H,延长 CH 交抛物 线于点 D, ∴ H(1,0), 答图 1 　 答图 2 ∴ 直线 CH 的解析式为 y= 4x-4. 联立方程 y= 4x-4, y= x2 -3x-4,{ 解得 x1 = 7,x2 = 0,所以 D(7,24) . 综上所述,点 D 的坐标为 ( 134 ,- 51 16 )或(7,24) . (3)证明:由(1)可知 A(-1,0),B(4,0),C(0,-4) . 因为点 D 是抛物线上的一个动点, 所以 D(m,m2 -3m-4) . 设直线 AD 的解析式为 y= kx+b -k+b= 0, km+b=m2 -3m-4,{ 解得 k=m-4, b=m-4.{ 因为点 E 在 y 轴上,所以 E(0,m-4) . 设直线 BD 的解析式为 y= px+q, 4p+q= 0, pm+q=m2 -3m-4,{ 解得 p=m+1, q= -4m-4.{ 因为点 F 在 y 轴上,所以 F(0,-4m-4), 所以 CF= 4 |m | ,CE= |m | , 所以 CF= 4CE.