2024年辽宁省锦州市中考模拟考试数学试卷-【中考风向标】2025年中考必备辽宁中考真题汇编数学

- 57 - - 58 - 2024 年辽宁省锦州市中考模拟考试 数学试卷 (满分:120 分　 考试时间:120 分钟) 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 标志是表明事物特征的识别符号,下列交通标志是中心对称图形的是 ( 　 ) A B C D 2. 2024 年 2 月 10 日是我国的农历春节,这一天锦州市的最高气温为 4 ℃ ,最低气温为-6 ℃ ,则这天的 温差是 ( 　 ) A. 2 ℃ B. 4 ℃ C. 6 ℃ D. 10 ℃ 3. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝,是中国书法的必备用具,下图是寓意“规矩方圆”的一方砚台, 它的俯视图是 ( 　 ) A B C D 4. 在平面直角坐标系中,点 P(2,-x2 -1)所在的象限是 ( 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若 2a+3b= 4,则整式-2a-3b+7 的值是 ( 　 ) A. -3 B. 3 C. 5 D. 11 6. 下图是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形,其中 1,2,3,5,7 号板是等腰直角三角形,4 号板是 正方形,6 号板是平行四边形. 如果随机向正方形上投掷一个米粒,那么米粒刚好停在 7 号板区域的 概率是 ( 　 ) A. 1 4 B. 1 7 C. 1 8 D. 1 16 7. 已知∠MAN= 40°,用圆规和没有刻度的直尺按如图所示的步骤作出△ABC,观察图中的作图痕迹,可 以得出∠ABC 的度数为 ( 　 ) A. 30° B. 25° C. 15° D. 10° 8. 由化学知识可知,用 pH 表示溶液酸碱性的强弱程度,当 pH>7 时溶液呈碱性,当 pH<7 时溶液呈酸 性. 若将给定的盐酸溶液加水稀释,那么在下列图象中,能大致反映盐酸溶液的 pH 与所加水的体积 V 之间对应关系的是 ( 　 ) A B C D 9. 中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题,下列一首古诗歌中就蕴含着方程的数量关系:“老头提 篮去赶集,一共花去七十七;满满装了一菜篮,十斤大肉三斤鱼;买好未曾问单价,只因回家心里急; 道旁行人告诉他,九斤肉钱五斤鱼. ”其意思是:老头用 77 元钱共买了 10 斤肉和 3 斤鱼,9 斤肉的钱 数等于 5 斤鱼的钱数,问每斤肉和鱼各是多少钱? 如果设每斤肉 x 元,每斤鱼 y 元,那么可列二元一 次方程组为 ( 　 ) A. 10x+3y= 77, 5x= 9y{ B. 10x+3y= 77, 9x= 5y{ C. 3x+10y= 77, 5x= 9y{ D. 3x+10y= 77, 9x= 5y{ 10. 如图,下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律,则根据此规律,可以得出图中 b 的 值为 ( 　 ) A. 143 B. 140 C. 123 D. 120 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 计算:3 8 × 9 = 　 　 　 　 . 12. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,∠ABO= 35°,则∠BCO 的度数 是　 　 　 　 . 13. 将一次函数 y= 2x+1 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后,所得新的一次函数图象与 x 轴的交点 坐标为　 　 　 　 . - 59 - - 60 - 14. 小海解分式方程 3 x-1 -1-2x x-1 = 1 的过程如图所示,若他从某一步开始出现了错误,则出现错误的原因 是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 解:方程两边同乘(x-1),得 3-(1-2x)= x-1. 第一步 去括号,得 3-1+2x= x-1. 第二步 移项、合并同类项,得 x= -3. 第三步 所以原分式方程的解为 x= -3. 第四步 15. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC = 2,BC = 4,D 为 AB 的中点,E 为 BC 边上的点,连 接 DE,将△BDE 沿 DE 折叠得到△FDE,连接 AF,AE 若以点 D,E,F,A 为顶点的四 边形为平行四边形,则 CE 的长为　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. (10 分)(1)解不等式组: 2x-7<x-4, 3x-1 2 ≤2x; ì î í ï ï ï ï (2)计算:x -1 x+1 + 4x x2 -1 . 17. (8 分)为了改善人民群众的居住环境,建设美丽城市,近年来国家投入大量资金改造老旧小区. 某 市 2021 年投入资金 5 000 万元,2023 年投入资金 9 800 万元. (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率; (2)已知 2023 年改造老旧小区 98 个,如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持 不变,那么 2024 年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个? 18. (8 分)2024 年 4 月 10 日辽宁省教育厅下发《关于面向 39 个产粮大县送教活动的通知》后,我市有 关部门积极落实文件要求,小亮的班主任李老师承担了向锦州市北镇市送教任务. 为了让学生了解 锦州市粮食的产量情况,增强节约粮食的意识,送教前李老师给同学们布置了一项调查活动,调查 锦州市历年粮食产量的相关情况,小亮同学查阅锦州市统计局公布的相关资料,了解了 2018—2023 年锦州市粮食总产量及其增长速度的情况,并将数据整理后绘制了如下条形统计图和不完整的折 线统计图: (注:增长速度=本年粮食总产量 -上一年粮食总产量 上一年粮食总产量 ×100%,统计图右边的纵轴表示本年粮食总产 - 61 - - 62 - 量比上一年粮食总产量的增长速度) . 根据统计图提供的信息,回答下列问题: (1)求 2018—2023 年全市粮食总产量的中位数; (2)求 2023 年全市粮食总产量比 2022 年全市粮食总产量多多少,并将粮食增长速度的折线统计图 补充完整; (3)小亮的同桌小红说:“在 2018—2023 年全市粮食总产量中,2019 年全市粮食总产量增长速度是 最快的,高达 21. 9%,因此可以推断这 6 年中,2019 年全市粮食总产量是最高的. ”小红的说法是否 正确? 请说明理由. 19. (8 分)王老师外出学习入住宾馆的房间后立即打开空调,将最高温度调至 26 ℃ ,入住一段时间后 关闭空调. 已知空调关闭后,室内的温度与时间近似于反比例关系. 下列图象反映了王老师入住房 间后一段时间内,室内的温度 y(℃ )与时间 t(min)的关系,请根据图象解答下列问题: (1)王老师入住多长时间关闭的空调? (2)分别求室内的温度上升和下降两个阶段 y 与 t 之间的函数表达式; (3)室内温度保持不低于 20 ℃的时间是多少分钟? 20. (8 分)小明新买了一台 LED 护眼台灯放置于桌面上(如图 1 所示),主体部分由灯头 AB(可以绕点 B 转动)、灯臂 BC(可以绕点 C 转动)、灯柱 CD 和灯座组成,其主视图如图 2 所示,已知灯柱 CD⊥ EH,AB= 24 cm,BC= 30 cm,CD= 20 cm,EF = 2 cm(BR,CK 为水平线) . 改变∠BCD 的大小,能改变 灯头照明的高度;改变∠ABC 的大小,能改变灯头的角度. 当∠BCD= ∠ABC= 140°时,小明感觉照明 效果最佳,此时台灯最高点 A 与桌面的距离是多少厘米? (计算结果精确到 0. 1 cm,参考数据: sin 50°≈0. 77,cos 50°≈0. 64,tan 50°≈1. 19,sin 10°≈0. 17,cos 10°≈0. 98,tan 10°≈0. 18) 　 21. (8 分)如图,A 是△CDE 外接圆☉O 上一点,且 AD ( =AE ( ,过点 A 的直径 AB 交 DE 于点 F,交 CE 于点 H,延长 DC 交 AB 的延长线于点 P,连接 DH. (1)求证:∠ADH= ∠AEH; (2)若 DH⊥EC,∠P= 15°,AB= 4,求 DC 的长. - 63 - - 64 - 22. (12 分)某机器工程师为某食品加工厂设计自动化清洗池,其部分平面设计图如图 1 所示,AB 为输 送带,清洗池 B-C-D 近似于抛物线型,DF 为清洗池的池盖,点 F 处有进水口向清洗池注水,清洗池 的最低点 C 处设有排水口,P 为输送带 AB 上固定的支点,设备的支架 PM,GH 垂直于地面,支架 PN 垂直于 PM(点 C 与点 G 重合,点 A,M,H 在同一直线上) . 如图 2,当 DF 张开最大角度时,点 F 恰好在点 B 的正上方,以 AH 所在的直线为 x 轴,BF 所在的直 线为 y 轴建立平面直角坐标系. 已知 AH= 3 m,GH= 1 m,AB 所对应的函数表达式为 y= 3 2 x+3. (1)求排水口 C 的坐标及抛物线型清洗池 B-C-D 所对应的函数表达式; (2)安装清洗池的固定支架 PM 与 PN 需要的材料是每米 2 400 元,求安装固定支架 PM+PN 的最低 成本; (3)如图 3,清洗池 B-C-D 可绕点 B(点 B 处安装轴承与轴杆)逆时针旋转到某个位置(DF 张开最 大角度不变),排水口 C 到直线 AB 的距离等于 BC 的长时,点 D 恰好落在 AB 的延长线上,此时进水 口 F 到清洗池口 BD 的距离是多少米(结果保留精确值)? 图 1 　 图 2 　 图 3 23. (13 分)【问题提出】 在复习备考的专题复习课上,王老师组织同学们对下列问题进行探究: 如图 1,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,F 为△ABC 内一点,连接 AF,将 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得到 DF,连接 BF 并延长到点 E,使 EF=BF,连接 BD,CD,DE. 求证:DE⊥CD,DE=CD. 【思路探究】 “神州小组”的解题思路:将线段 DE 借助平行线进行平移,如图 2,过点 B 作 BG 平行 DE 交 DF 的 延长线于点 G,这样可以将 DE 和 CD 的关系转化为 BG 和 CD 的关系; “智慧小组”的解题思路:结合 F 为 BE 的中点构造三角形的中位线,如图 3,过点 B 作 BH 平行 DF 交 ED 的延长线于点 H,从而借助三角形中位线的性质,将 DE 和 CD 的关系转化为 DH 和 CD 的 关系. (1)请你选择其中一个小组的思路,或者用你自己探究的思路写出证明过程; 【思维训练】 王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用,又提出了下列问题: (2)如图 4,在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠A= 30°,D 为 AB 上一点,将 CD 绕点 C 逆时针旋转 60°得到 CE,连接 BE,DE,O 为 DE 中点,连接 BO 并延长交 CD 的延长线于点 F,若∠EBO = 2∠BCE,探究 OF,OB,BE 之间的数量关系,并说明理由; 【能力提升】 (3)“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展:连接 CE,若 F 为平面内一 点,AD∥CE,CD= 2,AC= 3,其他条件不变,求 AF 的长. 图 1 　 图 2 图 3 图 4 备用图 1 备用图 2 - 121 - - 122 - ∵ 二次函数 y3 = x 2 + bx + c 与 Rt △ABC 的边有第三个 交点, ∴ 点 B 在 AC 上方,对称轴在点 A,C 之间, ∴ m>2, 1< m+1 2 <2,{ ∴ 2<m<3. ③ 由 y3 = x 2 - ( m + 1 ) x + 2m, 可 得 其 顶 点 坐 标 为 m+1 2 , -m2 +6m-1 4( ) . 第一种情况,点 B 在点 A 上方,即 m>2. ( ⅰ)当点 B 和点 A 在对称轴左侧,即 m+1 2 ≥2 时,解得 m ≥3, 此时 y3 随 x 的增大而减小,∴ ymax = yB =m,ymin = yA = 2, ∴ h= m-2 2 , ∴ 1 16 m2 = m-2 2 , 解得 m1 =m2 = 4. (ⅱ)当对称轴在点 A 和点 C 之间,即 2<m<3 时, yB 最大,顶点 y 值最小, ∴ h= m- -m2 +6m-1 4 2 , ∴ 1 16 m2 = m- -m2 +6m-1 4 2 , 解得 m1 = 2+ 2 ,m2 = 2- 2 . ∵ 2<m<3, ∴ m1,m2 都舍掉. 第二种情况,点 B 在点 A 下方,即 m<2. Ⅰ. 当点 B 和点 A 在对称轴右侧,即 m+1 2 ≤1 时,解得 m ≤1, 此时 y3 随 x 的增大而增大,∴ ymax = yA = 2,ymin = yB = m 最小, ∴ h= 2-m 2 , ∴ 1 16 m2 = 2-m 2 , 解得 m1 = -4+4 2 (舍去),m2 = -4-4 2 , ∴ m= -4-4 2 . Ⅱ. 当对称轴在点 A 和点 C 之间,即 1<m<2 时, yA 最大,顶点 y 值最小, ∴ h= 2- -m2 +6m-1 4 2 , ∴ 1 16 m2 = 2- -m2 +6m-1 4 2 , 解得 m1 = 6+3 2 (舍去),m2 = 6-3 2 , ∴ m2 = 6-3 2 . 综上所述,m 的值为 4 或-4-4 2或 6-3 2 . 2024 年辽宁省锦州市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B C C A B A 一、选择题 1. B　 解析:A 是轴对称图形但不是中心对称图形; B 是轴对称图形也是中心对称图形;C 既不是轴对称图形 也不是中心对称图形;D 是轴对称图形但不是中心对称 图形. 故选 B. 2. D　 解析:4-(-6)= 4+6 = 10. 故选 D. 3. C　 解析:俯视图是视线由上向下观察物体所得到的视 图. 故选 C. 4. D　 解析:∵ -x2 -1<0,∴ 点 P(2,-x2 -1)在第四象限. 故 选 D. 5. B　 解析:-2a-3b+7 = -(2a+3b)+7 = -4+7 = 3. 故选 B. 6. C　 解析:如图,∵ AB CD = 1 2 , ∴ S△BDF S△CDF = 1 4 , ∴ S△ABF S正方形CFDG = 1 8 , ∴ 米粒刚好停在 7 号板区域的概率是 1 8 . 故选 C. 7. C　 解析:∵ AC=AD,∠MAN= 40°, ∴ ∠ACD= 180°-∠MAN 2 = 70°, ∴ ∠DCM= 180°-∠ACD= 110°. ∵ CB 平分∠MCD, ∴ ∠MCB= 1 2 ∠DCM= 55°. ∵ ∠MCB 是△ABC 的一个外角, ∴ ∠ABC= ∠MCB-∠MAN= 55°-40° = 15°. 故选 C. 8. A　 解析:∵ 盐酸溶液呈酸性,∴ pH<7. ∵ 加水稀释酸性 减弱,∴ pH 接近于 7. 故选 A. 9. B　 解析:由 77 元买了 10 斤肉和 3 斤鱼,得 10x+3y = 77, 由 9 斤肉的钱数等于 5 斤鱼的钱数,得 9x= 5y. 故选 B. 10. A　 解析:由图形知,a = 22÷2 = 11,b = 11×(11+2)= 11× 13 = 143. 故选 A. 二、填空题 11. 6　 解析:3 8 × 9 = 2×3 = 6. 12. 55°　 解析:在矩形 ABCD 中,∠ABC = 90°,OB = OC. ∵ ∠ABO= 35°,∴ ∠OBC = ∠ABC-∠ABO= 90° -35° = 55°. ∵ OB=OC,∴ ∠BCO= ∠OBC= 55°. 13. - 3 2 ,0( ) 　 解析:一次函数 y = 2x+ 1 沿 y 轴向上平移 2 个单位长度得到 y = 2x+3. 令 y = 0,得 2x+3 = 0,解得 x = - 3 2 ,故与 x 轴的交点坐标为 - 3 2 ,0( ) . 14. 解没有代入原分式方程检验(只要合理即可) 解析:分式方程需要检验. 15. 1 或 4 - 5 　 解析:当顶点 F 在 AD 下方时,如图所示. ∵ ∠C= 90°,AC= 2, BC= 4, ∴ AB= AC2 +BC2 = 2 5 . ∵ D 为 AB 的中点, ∴ AD=BD= 5 . ∵ 四边形 ADEF 是平行四边形, ∴ EF=AD= 5 . ∵ 将△BDE 沿 DE 折叠得到△FDE, ∴ BE=EF= 5 , ∴ CE=BC-BE= 4- 5 . 当顶点 F 在 AD 上方时,如图所示. 同理,可得 AE=DF=BD= 5 , ∴ CE= AE2 -AC2 = 1. 综上,可得 CE 的长为 1 或 4- 5 . 三、解答题 16.解:(1) 2x-7<x-4,① 3x-1 2 ≤2x,②{ 解不等式①,得 x<3. 解不等式②,得 x≥-1. 在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图所示. 所以不等式组的解集是-1≤x<3. (2)原式 = x2 -2x+1 (x+1)(x-1) + 4x (x+1)(x-1) = x 2 +2x+1 (x+1)(x-1) = (x+1) 2 (x+1)(x-1) = x +1 x-1 . 17.解:(1)设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均 增长率为 x, 依题意,得 5 000(1+x) 2 = 9 800. 解得 x1 = 0. 4 = 40%,x2 = -2. 4(不合题意,舍去) . 答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 40% . (2)方法 1:因为 9 800÷98 = 100(万元 /个), 9 800×(1+40%) ÷100 = 137. 2≈137(个) . 答:2024 年计划投入的资金可以改造老旧小区 137 个. 方法 2:设 2024 年计划投入的资金可以改造老旧小区 m 个, 则 9 800÷98×m≤9 800×(1+40%),解得 m≤137. 2. ∵ m 为整数,∴ m= 137. 答:2024 年计划投入的资金可以改造老旧小区 137 个. 18.解:(1)将 2018—2023 年这 6 年全市粮食总产量由小到 大排列,最中间的两个数据是 253. 5,255. 4, 则中位数为 253. 5+255. 4 2 = 254. 45 (万吨) . (2)262. 3-253. 5 = 8. 8(万吨), 8. 8 253. 5 ×100%≈3. 5% . 补全折线统计图如图所示. (3)小红的说法不正确,理由如下. 增长速度最高,只能说明 2019 年粮食的总产量与 2018 年粮食的总产量差额与 2018 年粮食的总产量的比值,是 这 6 年中每年的粮食的总产量与前一年粮食的总产量差 额与前一年粮食的总产量的比值中最大的,2021 年, 2023 年粮食的总产量与 2019 年相比还在增长,即粮食产 量均超过 2019 年,所以小红的说法不正确. 19.解:(1)由图象可知,王老师入住 40 min 时关闭空调. (2)当 0≤t≤15 时,即温度上升阶段,设 y 与 t 之间的函 数关系式为 y= k1 t+b, 将点(0,16)和(15,26)的坐标分别代入 y = k1 t+b 中,得 b= 16, 15k1 +b= 26,{ 解得 k1 = 2 3 , b= 16. { ∴ y= 2 3 t+16. 当 t≥40 时,即温度下降阶段,设 y 与 t 之间的函数关系 - 123 - - 124 - 式为 y= k2 t , 将点(40,26)的坐标代入 y= k2 t ,得 k2 = 1 040, ∴ y= 1 040 t . (3)将 y= 20 代入 y= 2 3 t+16 中,得 t = 6. 将 y = 20 代入 y = 1 040 t 中,得 t= 52. ∵ 52-6 = 46(min), ∴ 室内温度保持不低于 20 ℃的时间是 46 min. 20.解:如图,作 AM⊥QL 于点 M,分别交 BR,CK 于点 P,N,作 BG⊥CK 于点 G, 则四边形 PNGB 是矩形, ∴ PN=BG,MN=CD+EF. ∵ CD= 20 cm,EF= 2 cm, ∴ MN= 20+2 = 22(cm) . ∵ ∠BCD= 140°,∠NCD= 90°, ∴ ∠BCN= 50°. ∵ ∠BCN+∠PBC= 180°, ∴ ∠PBC= 130°. ∵ ∠ABC= 140°, ∴ ∠ABP= 10°. 在 Rt△APB 中,∵ AB= 24 cm,∠APB= 90°, ∠ABP= 10°,sin∠ABP= AP AB , ∴ AP=ABsin 10°≈24×0. 17 = 4. 08(cm) . 在 Rt△BCG 中,∵ BC= 30 cm,∠BGC= 90°,∠BCG= 50°, sin∠BCG= BG BC , ∴ BG=BCsin 50°≈30×0. 77 = 23. 1(cm), ∴ PN=BG≈23. 1 cm, ∴ AM = AP +PN +MN≈4. 08 + 23. 1 + 22 = 49. 18 ≈ 49. 2 (cm) . 答:台灯最高点 A 与桌面的距离约为 49. 2 cm. 21. ( 1 ) 证明: 如 图, 连 接 OD,OE, ∴ OD=OE. ∵ AD ( =AE ( , ∴ AD=AE, ∴ AB 是 DE 的垂直平 分线, ∴ DH=EH. ∵ AH=AH, ∴ △ADH≌△AEH(SSS), ∴ ∠ADH= ∠AEH. (2)解:∵ △ADH≌△AEH, ∴ ∠DHF= ∠EHF. ∵ DH⊥EC, ∴ ∠DHF= ∠EHF= 45°, ∴ ∠CHP= ∠EHF= 45°. ∵ ∠P= 15°, ∴ ∠DCH= 60°. ∴ ∠DOE= 2∠DCH= 120°. ∵ DO=EO, ∴ ∠EDO= ∠DEO= 30°. 在 Rt△OEF 中, ∵ OE= 2,∠OFE= 90°,∠OEF= 30°, ∴ OF= 1 2 OE= 1, ∴ 由勾股定理,得 EF= OE2 -OF2 = 3 . 在 Rt△HEF 中,∠EHF= 45°, ∴ EH= 2EF= 6 , ∴ DH=EH= 6 . ∵ ∠FOE= 180°-∠EFO-∠DEO= 60°, ∴ ∠FOE= ∠DCH. ∵ ∠EFO= ∠DHC= 90°, ∴ △EFO∽△DHC, ∴ EF EO =DH DC ,即 3 2 = 6 DC , ∴ DC= 2 2 . 22.解:(1)由题意,得点 A 的坐标为( -2,0),点 B 的坐标为 (0,3),点 C 的坐标为(1,1), 设抛物线表达式为 y= a(x-1) 2 +1,将点 B 的坐标代入, 得 3 = a(0-1) 2 +1, ∴ a= 2, ∴ 抛物线表达式为 y= 2x2 -4x+3. (2)设点 N 的坐标为(a,2a2 -2a+3)(a>0),则点 P 的坐 标为 4 3 a2 - 8 3 a,2a2 -4a+3( ) , ∴ PM= 2a2 -4a+3,PN= 11 3 a- 4 3 a2, ∴ PM+PN= 2 3 a2 - 1 3 a+3 = 2 3 a- 1 4( ) 2 +71 24 . ∵ 2 3 >0, ∴ 当 a= 1 4 时,PM+PN 最小,最小值为 71 24 , ∴ 安装固定支架的最低成本为: 71 24 ×2 400 = 7 100(元) . (3)如图 1,由条件,得 BG⊥BD,分别过点 G,D 作 GE,DQ 垂直 y 轴于点 E,Q, 则 GE= 1,BE= 2. 易得△GEB∽△BQD, ∴ GE BQ = BE DQ ,即 1 BQ = 2 DQ , ∴ DQ= 2BQ. 设 BQ=m,则 DQ= 2m, 则点 D 的坐标为(2m,m+3) . 将点 D(2m,m+ 3) 代入 y = 2x2 - 4x+ 3,得 m= 9 8 , ∴ 点 D 的坐标为 9 4 , 33 8( ) . ∵ BD=FD, ∴ BF= 2m= 9 4 , ∴ S△DBF = 1 2 × 9 4 × 9 4 = 81 32 . 根据勾股定理,得 BD= 9 8 5 , 如图 2,过点 F 作 FK⊥BD 于点 KB, ∵ S△DBF = 1 2 FK·BD= 81 32 , ∴ FK= 9 10 5 , 即进水口 F 到清洗池口 BD 的距离是 9 10 5 m. 23.解:(1)“神州小组”的证法. 如图 1,连接 AG,延长 CD 交 BG 的延长线于点 H,交 AB 于点 O. ∵ BG∥DE, ∴ ∠BGF= ∠EDF,∠GBF= ∠DEF. ∵ EF=BF, ∴ △BGF≌△EDF(AAS), ∴ BG=ED,GF=DF. 由旋转可得 AF=DF,∠AFD= 90°, ∴ AG=AD,∠ADF= ∠DAF= 45°. ∵ ∠GAD= 2∠DAF= 90°,∠BAC= 90°, ∴ ∠BAC-∠BAD= ∠GAD-∠BAD, 即∠GAB= ∠DAC. ∵ AB=AC, ∴ △AGB≌△ADC(SAS), ∴ GB=DC=DE,∠GBA= ∠DCA. ∵ ∠BOH= ∠COA, ∴ ∠BHO= ∠CAO= 90°,即 DE⊥CD. “智慧小组”的证法 1. 如图 2,延长 AF 交 BH 于点 M. ∵ AB = AC,∠BAC = 90°,AF = DF,∠AFD =90°, ∴ ∠FAD = ∠ACB = ∠ABC = 45°,BC = 2AC,AD= 2DF. ∵ BH∥FD, ∴ DF= 1 2 BH,∠BMF= ∠AFD= 90°, ∴ AD BH = AC BC = 1 2 , ∴ ∠BAM+∠ABM= ∠BAM+∠FAC= 90°, ∴ ∠ABM= ∠FAC, ∴ 45°+∠HBC= 45°+∠DAC, ∴ ∠HBC= ∠DAC, ∴ △CBH∽△CAD, ∴ CD HC = AC BC ,∠BCH= ∠ACD, ∴ CD CA = HC BC ,∠BCH+∠BCD = ∠ACD+∠BCD,即∠DCH = ∠ACB= 45°, ∴ △DCH∽△ACB, ∴ ∠CAB= ∠CDH= 90°, ∴ DC=DH=DE, ∴ DE⊥CD,DE=DC. “智慧小组”的证法 2. 如图 3,延长 AD,BH 交于点 Q, 依题知,由旋转可得 AF = DF, ∠AFD = 90°, ∴ AD= 2DF. ∵ BH∥FD, ∴ DF= 1 2 BH,∠ADF= ∠AQB= 45°, EF BF =ED DH , ∴ AD BH = 1 2 . ∵ EF=BF, - 125 - - 126 - ∴ DE=DH. 在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 90°, ∴ ∠ACB= ∠ABC= 45°,BC= 2AC, ∴ AD BH = AC BC = 1 2 . ∵ ∠ACB= ∠Q= 45°,∠AOC= ∠BOQ, ∴ ∠CBH= ∠CAD, ∴ △CBH∽△CAD, ∴ CD HC = AC BC ,∠BCH= ∠ACD, ∴ CD CA =HC BC ,∠BCH+∠BCD = ∠ACD+∠BCD,即∠DCH = ∠ACB= 45°, ∴ △DCH∽△ACB, ∴ ∠CAB= ∠CDH= 90°, ∴ DC=DH=DE, ∴ DE⊥CD,DE=DC. (2) 如图 4,过点 D 作 DN∥BE 交 BF 于点 N, 取 AB 的中点 M, 连 接 CM, ∴ ∠NDO= ∠BEO, ∠EBO= ∠DNO,BM= 1 2 AB. ∵ ∠ACB= 90°,∠A= 30°, ∴ CM=BM=BC= 1 2 AB, ∴ ∠ABC= ∠BMC= ∠BCM= 60°. 由旋转,得∠DCE= 60°,CE=CD, ∴ ∠DCE-∠MCE= ∠BCM-∠MCE, 即∠BCE= ∠MCD, ∴ △BCE≌△MCD(SAS), ∴ ∠CBE= ∠CMD= 120°, ∴ ∠EBD= 60°. ∵ DN∥BE, ∴ ∠BDN= 180°-∠EBD= 120°, ∴ ∠BDN= ∠CMD, ∴ CM∥DN, ∴ ∠NDF= ∠MCD= ∠BCE. ∵ ∠EBO = 2 ∠BCE, ∠EBO = ∠DNO, ∠DNO = ∠F +∠NDF, ∴ ∠NDF= ∠F, ∴ ND=NF. ∵ OD=OE,∠NDO= ∠BEO,∠EBO= ∠DNO, ∴ △BEO≌△NDO(AAS), ∴ BE=ND,BO=NO. ∵ OF=ON+NF, ∴ OF=OB+BE. (3 ) 如 图 5, 当 点 F 在 △ABC 内 部时, ∵ AD∥CE, ∴ ∠ADE= ∠DEC= 45°. ∵ ∠ADF= 45°,∠EDC= 90°, ∴ ∠FDC= ∠ADF+∠ADE+∠EDC= 180°, ∴ F,D,C 三点共线. 在 Rt△AFC 中, ∠AFC= 90°, ∴ AF2 +CF2 =AC2, ∴ AF2 +(AF+2) 2 = 32,解得 AF= 14 -2 2 . 如图 6,当点 F 在△ABC 外部时, 同理,可得方程 AF2 +(AF- 2) 2 = 3,解得 AF= 14 +2 2 . 综上所述,AF= 14 +2 2 或 14 -2 2 . 2024 年辽宁省营口市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B B A C C A D 一、选择题 1. C　 解析:A,B,D 是轴对称图形但不是中心对称图形;C 既是轴对称图形又是中心对称图形. 故选 C. 2. D　 解析: | -0. 5 | < | +0. 8 | < | +1 | < | -1. 2 | ,故最接近标准 的是 D. 故选 D. 3. A　 解析:圆柱侧面展开图是长方形. 故选 A. 4. B　 解析:∵ 一元二次方程有实数根,∴ Δ = b2 -4ac≥0,即 (-4) 2 -4×2k≥0,即 k≤2. 故选 B. 5. B　 解析:画树状图如下: 共有 6 种等可能情况,其中两张花色相同的有 2 种,故概 率为 2 6 = 1 3 . 故选 B. 6. A　 解析:A. (a+ 2b) 2 = a2 + 2·a·2b+(2b) 2 = a2 + 4ab+ 4b2,故错误;B. a2 ·a3 = a2+3 = a5,故正确;C. ( a-1b2 ) 3 = (a-1) 3(b2) 3 = a-3b6,故正确;D. 3a-a= (3-1) a = 2a,故正 确. 故选 A. 7. C　 解析:A. 函数图象与 x 轴交于点 2 3 ,0( ) ,与 y 轴交于 点(0,2),故错误;B. 由 y = -3x+2,得 x= y-2 -3 ,当 x<0 时, y-2 -3 <0,得 y>2,故错误;C. ∵ k= -3,∴ y 随 x 的增大而减 小. ∵ x1 >x2,∴ y1 <y2,故正确;D. 函数图象过第一、二、四 象限,故错误. 故选 C. 8. C　 解析:设绫布有 x 尺,则罗布有(30-x)尺,则每尺绫布 896 x 文,每尺罗布 896 30-x 文,由方程 120 - 896 x = 896 30-x = 8% 30-x , 知每尺绫布和每尺罗布共需 120 文. 故选 C. 9. A　 解析:由作图可知∠AMN= ∠ABC, ∴ △AMN∽△ABC. ∵ AM AB = 2 5 ,∴ AN NC = 2 3 , MN BC = 2 5 . 故选 A. 10. D　 解析:当 x = 3 时,函数图象开始发生变化,此时,点 D 运动到点 C 处, ∴ AC= 3. 当 x= 7 时,点 D 的运动结束,总路程为 7, ∴ BC= 4. ∵ ∠C= 90°, ∴ AB= 5. ①当点 D 在 AC 上时, ∵ DE⊥AB, ∴ ∠AED= ∠BED= 90°. 由题意得 AD= x, ∴ DE=AD·sin A= 4 5 x, AE=AD·cos A= 3 5 x, ∴ BE= 5- 3 5 x, ∴ y= 1 2 DE·BE= 1 2 × 4 5 x× 5- 3 5 x( ) = - 6 25 x2 +2x. 当 x= 2. 5 时,a= - 3 2 +5 = 7 2 . ②当点 D 在 BC 上时,如图. 由题意得 BD= 7-x, ∴ DE=BD·sin B= (7-x)× 3 5 , BE=BD·cos B= (7-x)× 4 5 , ∴ y= 1 2 DE·BE= 6 25(7 -x) 2 . 当 x= 4. 5 时,b= 6 25 ×25 4 = 3 2 , ∴ a-b= 2. 故选 D. 二、填空题 11. (a+2b)(a-2b) 　 解析:a2 -4b2 = a2 -(2b) 2 = (a+2b) (a- 2b) . 12. -1<x<2　 解析: x+1>0,① 2x-1<3,②{ 解不等式①得 x>-1,解不等式②得 x<2,所以不等式组的解集为-1<x <2. 13. 2π　 解析:在正六边形 ABCDEF 中, AB=BC= 2,∠B= ∠FAB= 120°, ∴ ∠CAB= ∠ACB= 30°. 同理∠EAF= 30°, ∴ ∠EAC= 120°-30°-30° = 60°, 过点 B 作 BM⊥AC 于点 M,∴ BM= 1 2 AB= 1, ∴ AM= AB2 -BM2 = 3 ,∴ AC= 2AM= 2 3 , ∴ S阴影 = nπR2 360 = 60π ×(2 3 ) 2 360 = 2π. 14. 40　 解析:如图,建立平面直角坐标系,由 题意知 A(-40,-200),B(40,-200) . 设抛物线的解析式为 y= ax2, 将 B(40,-200)代入,得-200 = a×402,解得 a= - 1 8 , ∴ y= - 1 8 x2 . 将 y= -50 代入,得-50 = - 1 8 x2,解得 x= ±20, ∴ C(-20,-50),D(20,-50), ∴ CD= 40 米. 15. (1. 2,3. 6)　 解析:将 A(3,0), B(0,6)代入 y = kx+b 中,得 3k+b= 0, b= 6,{ 解