2024年辽宁省大连市中考模拟考试数学试卷-【中考风向标】2025年中考必备辽宁中考真题汇编数学

- 25 - - 26 - 2024 年辽宁省大连市中考模拟考试 数学试卷 (满分:120 分　 考试时间:120 分钟) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1. 随着商业的发展和技术的进步,手机支付已经成为常见的支付方式. 若手机钱包收入 100 元记作 +100 元,则-15 元表示 ( 　 ) A. 支出 15 元 B. 收入 15 元 C. 支出 115 元 D. 收入 115 元 2. 如图放置在水平桌面上的四个几何体中,主视图是圆的是 ( 　 ) A B C D 3. 如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD 的顶点 A,B,C 的坐标分别为(0,2),( -1,0), (3,0),则点 D 的坐标是 ( 　 ) A. (2,4) B. (3,4) C. (4,2) D. (4,3) 4. 下列计算正确的是 ( 　 ) A. 2 × 3 = 5 B. 2 ( 2 -1)= 2- 2 C. 6 + 7 = 13 D. ( 2 -1) 2 = 3- 2 5. 关于一元二次方程 x2 -6x+3 = 0 根的情况,下列说法正确的是 ( 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 6. 若反比例函数 y=a -1 x 的图象在每个象限内,y 随 x 的增大而减小,则 a 的值可为 ( 　 ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 如图,数轴上点 M,N 表示两个连续整数,点 A 表示的数是 13 ,则点 N 表示的数是 ( 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 8. 光线在镜面上反射时,经过入射点与镜面垂直的直线是法线,反射光线与法线的夹角等于入射光线 与法线的夹角. 如图,两束光线 l1,l2 分别从不同方向射向镜面 m,入射点为 A,B,n1,n2 是法线,l1,l2 的反射光线相交于点 C. 若∠1 = 30°,∠2 = 50°,则∠ACB 的度数是 ( 　 ) A. 30° B. 50° C. 80° D. 90° 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,以点 B 为圆心,适当长为半径画弧,交 BC 于点 M,交 AB 于点 N. 分别以 点 M,N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧在∠ABC 的内部相交于点 P,射线 BP 与 AC 相交于 点 D. 若∠A= 40°,则∠BDC 的度数是 ( 　 ) A. 75° B. 80° C. 105° D. 110° 10. 汽车在公路上行驶时,油箱中剩余油量 y(单位:L)是行驶里程 x(单位:km)的函数. 小丽记录了一 次远行时汽车行驶里程及油箱中剩余的油量,数据如下表: 行驶里程 x / km 0 100 200 300 剩余油量 y / L 50 40 30 20 该函数的表达式是 ( 　 ) A. y= 0. 4x B. y= -0. 1x+50 C. y= 4 000 x D. y= 1 250 x2 +50 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. “对顶角相等”的逆命题是　 　 　 (填“真”或“假”)命题. 12. 某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下: 射击次数 20 40 100 200 400 1 000 “射中 9 环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中 9 环以上” 的频率 0. 75 0. 825 0. 78 0. 79 0. 803 0. 801 由上表估计这名运动员射击一次时,“射中 9 环以上”的概率为　 　 　 　 (保留小数点后一位) . - 27 - - 28 - 13. 如图,AC 是菱形 ABCD 的对角线,∠DAB= 70°,则∠ACB 的度数是　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 如图,在平面直角坐标系中,A,B 两点的坐标分别为( -3,-1),( -1,-2) . 以原点 O 为位似中心,把 线段 AB 放大,得到线段 A′B′,点 A 的对应点 A′的坐标是(6,2),则点 B′的坐标是　 　 　 　 　 　 . 15. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= - 1 2 x2 + 3 2 x+2 与 x 轴相交于点 A,B,与 y 轴相交于点 C,点 D 在线段 OC 上,坐标为(0,m),点 E 的坐标为(2m,0),过点 E 作 x 轴的垂线 l,点 D 关于直线 l 的对 称点为 D′,连接 DE,D′E. 若 D′E 与抛物线有一个公共点,则 m 的取值范围是　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. (10 分)计算: (1)3×( -2) -22 + | -4 | - 1 3( ) 0 ; (2) 1- 2 x( ) · x+1 x2 -2x . 17. (8 分)为了减轻百姓医疗负担,某制药厂将一种药剂价格逐年降低. 2022 年这种药剂价格为 200 元,2024 年该药剂价格为 98 元. (1)求 2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率; (2)该制药厂计划 2025 年对此药剂继续降价,并要求此种药剂的价格不低于 73. 5 元,则此次价格 的下降率最多是多少? 18. (8 分) 2024 年某市体育与健康评价考试执行新标准. 男生体育基础体能考试分为必考项目 (1 000 米)和选考项目(5 选 2)两部分. 其中 5 项选考项目分别为:①投掷实心球;②引体向上;③立 定跳远;④1 分钟跳绳;⑤50 米跑. 对于选考项目(5 选 2),小明同学决定先选择 1 分钟跳绳作为第 一项,再从立定跳远和 50 米跑中选择一项,作为第二项. 为了选择体育基础体能考试的最佳选考项目,小明记录下最近连续 10 次立定跳远和 50 米跑的试 测成绩,进行整理、描述和分析,部分信息如下. 【数据收集与整理】 信息一:50 米跑试测成绩(单位:分)依次是 85,80,95,85,95,90,95,95,95,100. 信息二:立定跳远试测成绩中,80 分与 85 分的次数相同,90 分共 4 次. 【数据描述】 　 - 29 - - 30 - 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 50 米跑成绩 91. 5 95 a 35. 25 立定跳远成绩 91. 5 b 90 35. 25 根据以上信息,解答下列问题: (1)填空:m= 　 　 　 　 ,a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ; (2)为了在体育考试中取得更好的成绩,你认为小明应该如何选择? 请说明理由. 19. (8 分)平板电脑借助磁吸背板支架(AC-CD)放置在水平桌面上(如图 1),其侧面示意图如图 2 所 示,AB= 300 mm,AC=BC=CD,支架张开角为∠ACD,其范围是 120°≤∠ACD≤160°. 求点 A 到桌面 距离的范围(结果精确到 0. 1 mm) . (参考数据: 3 ≈1. 732,sin 80°≈0. 984,cos 80°≈0. 173,tan 80°≈5. 671) 图 1 　 图 2 20. (8 分)如图,某人在两部手机电量为 50%时开始充电,甲手机电量 y1(%)与充电所需时间 x(min) 的函数图象是线段 AF. 乙手机电量 y2(%)与充电所需时间 x(min)的函数图象是折线 A-B-C-D. (1)当甲手机电量充至 100%时,所需时间为多少? (2)求甲、乙两部手机电量充至 80%时所需时间的差. - 31 - - 32 - 21. (8 分) 如图 1,AB 是☉O 的弦,AO 的延长线与☉O 相交于点 C,与过点 B 的切线相交于点 D, BA=BD. (1)求∠D 的度数; (2)如图 2,点 E 在☉O 上,AB ( =BE ( ,连接 AE,BE. 若 AE= 2,求 BC ( 的长. 22. (12 分)【问题情境】 (1)某数学活动小组在研究“平方差公式的几何意义”时,提供了如下思路: 如图 1,在△ABC 中,∠ACB= 90°,D 为 AB 的中点,CE⊥AB,垂足为 E. 设 AD= a,DE = b,根据勾股定 理,在 Rt△CDE 中用含 a,b 的式子表示 CE2;借助△ACE∽△CBE,用含 a,b 的式子再次表示 CE2, 建立等式,得到(a+b)(a-b)= a2 -b2 . 请根据上述思路,完成平方差公式的推理过程. 【拓展迁移】 (2)如图 2,在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,AD⊥AC,延长 DA 到点 E,使 DE =AC,过点 E 作 EF⊥BC, 垂足为 F,延长 FE 到点 G,使∠DGF= ∠CBA. ①求证:AB=DG; ②如图 3,若 AB+AC= 10,BC= 8,求AB -AC GE 的值. 　 　 　 　 23. (13 分)在平面直角坐标系中,抛物线 y = ax2 -6ax 经过点 2, 32 9( ) ,抛物线上点 A,B 的坐标分别为 (m,y1),(9-m,y2) . (1)求抛物线的表达式; (2)当 y1·y2 <0 时,求 m 的取值范围; (3)过点 A 作 x 轴的垂线 l1,过点 B 作 y 轴的垂线 l2,直线 l1,l2 的交点为 C,以 AC,BC 为边作矩形 ACBD. ①求 tan∠ABC 的值; ②线段 AB 与 x 轴相交于点 E,以 BE 为边作矩形 BEFG,使矩形 BEFG 在 x 轴同侧,且 EF>AB. 当矩 形 ACBD 与矩形 BEFG 重合部分图形的面积是矩形 ACBD 面积的 3 8 时,求 m 的值. - 105 - - 106 - ∵ AB= 6,AC= 8,∴ OA= 8-r. 在 Rt△AOB 中,AO2 =AB2 +OB2, 即(8-r) 2 = 62 +r2,解得 r= 7 4 , ∴ ☉O 的半径的长为 7 4 . 22.解:(1)若选方法①. ∵ AB=BC,AD=DE,∠ADE= ∠ABC= 90°, ∴ AB AD =BC DE , ∴ △ABC∽△ADE, ∴ AB AC =AD AE ,∠BAC= ∠DAE, ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC, 即∠BAD= ∠CAE, ∴ △ABD∽△ACE, ∴ ∠ACE= ∠ABC= 90°. ∵ AB=BC, ∴ ∠ACB= ∠BAC= 1 2 ×(180°-90°)= 45°, ∴ ∠DCE= ∠ACE+∠ACB= 90°+45° = 135°. (2)∵ AB=BC,AD=DE,∠ABC= ∠ADE, ∴ AB AD =BC DE , ∴ △ABC∽△ADE, ∴ AB AC =AD AE ,∠BAC= ∠DAE, ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC, 即∠BAD= ∠CAE, ∴ △ABD∽△ACE,∴ ∠ACE= ∠ABD=α, ∴ ∠BAC= ∠BCA= 1 2 (180°-α)= 90°- 1 2 α. ∵ AB∥CF,∴ ∠FCA= ∠BAC= 90°- 1 2 α, ∴ ∠ECF= ∠ACE-∠FCA=α- 90°- 1 2 α( ) = 32 α-90°. (3)由(2)知当 α= 120°时,∠ECF= 3 2 ×120°-90° = 90°. 如图,过点 A 作 AM⊥CF 交 CF 延长线于点 M,过点 B 作 BN⊥CF 于点 N, 则 ∠AMF = ∠BNC = 90°, ∴ AM ∥BN. ∵ AB∥CF,∴ 四边形 ABNM 是平 行四边形, ∴ MN=AB= 3 3 ,AM=BN. ∵ AB∥CF, ∴ ∠ABC+∠FCB=180°, ∴ ∠FCB= 180°-∠ABC= 180°-120° = 60°. 在 Rt△BCN 中, BN=BCsin ∠BCN= 3 3 ·sin 60° = 9 2 , CN=BCcos ∠BCN= 3 3 ·cos 60° = 3 3 2 . ∴ AM=BN= 9 2 , ∴ MF=MN+CN-CF= 3 3 + 3 3 2 -2 = 5 3 2 . 在 Rt△AMF 中,tan ∠AFM = AM MF = 9 2 5 3 2 = 3 3 5 . ∵ ∠CFE = ∠AFM, ∴ tan∠CFE= 3 3 5 . 在 Rt△CFE 中,CE =CFtan ∠CFE = 2 3 × 3 3 5 = 18 5 . 23.解:(1)设 S 关于 x 的函数表达式为 S= a(x-2) 2 +2,将 (0,0)代入,得 0 = 4a+2,∴ a= - 1 2 , ∴ S= - 1 2 (x-2) 2 +2 = - 1 2 x2 +2x. (2)∵ 等边△EFG 的周长为 3 10 ,∴ EF= 10 . 结合题图 2 可知,正方形 ABCD 的边长为 4,∴ AF = AD- DF= 4-x. 在 Rt△AEF 中,AE2 +AF2 =EF2, ∴ x2 +(4-x) 2 = 10,解得 x1 = 1,x2 = 3, ∴ AE 的长是 1 或 3. (3)①1. 7. ②如图,过点 G 作 GQ⊥AB 于点 Q,取 EF 中点 P,过点 P 作 MN⊥AD 于点 M, 交 GQ 于点 N, ∵ AE=DF= x, ∴ AF=BE= 4-x. ∵ GB=GE, ∴ EQ= 1 2 BE= 1 2 (4-x), ∴ AQ= x+ 1 2 (4-x)= 2+ 1 2 x. ∵ PM∥AB,∴ △FMP∽△FAE, ∴ MF AF =MP AE =FP FE = 1 2 , ∴ MF= 1 2 AF= 1 2 (4-x),MP= 1 2 AE= 1 2 x. ∵ ∠A= ∠AQN= ∠AMN= 90°, ∴ 四边形 AMNQ 是矩形, ∴ MN=AQ= 2+ 1 2 x,∠MNQ= 90°, ∴ PN=MN-MP= 2+ 1 2 x- 1 2 x= 2. ∵ GE=GF,P 为 EF 中点,∴ GP⊥EF, ∴ ∠MPF+∠NPG= 90°. ∵ ∠MPF+∠MFP= 90°,∴ ∠NPG= ∠MFP. ∵ ∠FMP= ∠PNG= 90°,∴ △MFP∽△NPG, ∴ MF PN =PF GP . 在 Rt△PFG 中, GP PF = tan∠EFG= tan 60° = 3 , ∴ PN MF = 3 ,∴ 3 MF = PN, ∴ 3 2 ( 4 - x) = 2,解得 x = 4 -4 3 3 , ∴ AE 长度的准确值为 4- 4 3 3 . 2024 年辽宁省大连市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B A D B C A B 一、选择题 1. A　 解析:用正数和负数表示具有相反意义的量. 收入 100 元记作+100 元,则-15 元表示支出 15 元. 故选 A. 2. D　 解析:A. 三棱柱的主视图是 ;B. 圆锥的主视图是 ;C. 圆柱的主视图是 ;D. 球的主视图是 . 故选 D. 3. C　 解析:在▱ABCD 中,AD = BC = 3-( -1)= 4,点 D 到 x 轴的距离等于 AO 的长为 2,故点 D 的坐标是(4,2) . 故 选 C. 4. B 　 解 析: A. 2 × 3 = 2×3 = 6 , 故 A 错 误; B. 2 ( 2 -1)= 2- 2 ,故 B 正确;C. 6 与 7 不是同类二 次根式,不能合并,故 C 错误;D. ( 2 -1) 2 = ( 2 ) 2 -2 2 + 1 = 2-2 2 +1 = 3-2 2 ,故 D 错误. 故选 B. 5. A　 解析:Δ= b2 -4ac= (-6) 2 -4×1×3 = 36-12 = 24>0,所以 方程有两个不相等的实数根. 故选 A. 6. D　 解析:因为在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小,所 以该图象位于第一、三象限,故 a-1>0,得 a>1. 故选 D. 7. B　 解析:∵ 9<13<16,∴ 3< 13 <4,∴ 点 N 表示的数是 4. 故选 B. 8. C　 解析:由题意知 ∠CAB = 180°-2∠1 2 = 60°,∠ABC = 180°-2∠2 2 = 40°,∴ ∠ACB = 180° -∠CAB-∠ABC = 180° - 60°-40° = 80°. 故选 C. 9. A 　 解析: ∵ AB = AC, ∠A = 40°, ∴ ∠ABC = ∠ACB = 180°-∠A 2 = 180° -40° 2 = 70°. 由作图可知 BP 为∠ABC 的平 分线,∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABC = 35°. ∵ ∠BDC 为△ABD 的一 个外角,∴ ∠BDC= ∠A+∠ABD= 40°+35° = 75°. 故选 A. 10. B　 解析:∵ 100-0 = 200-100 = 300-200,40-50 = 30-40 = 20-30, ∴ y 是 x 的一次函数. 设此一次函数的解析式为 y= kx+b, 将(0,50),(100,40)代入,得 b= 50, 100k+b= 40,{ 解得 k= -0. 1, b= 50,{ ∴ 解析式为 y= -0. 1x+50. 故选 B. 二、填空题 11. 假　 解析:“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶 角”,是假命题. 12. 0. 8　 解析:根据表格数据可知频率稳定在 0. 8 附近,故 概率为 0. 8. 13. 35°　 解析:在菱形 ABCD 中,∠DCB = ∠DAB = 70°,∴ ∠ACB= 1 2 ∠DCB= 1 2 ×70° = 35°. 14. (2,4)　 解析:∵ 以原点 O 为位似中心,把线段 AB 放大, 得到线段 A′B′,A(-3,-1),A′(6,2),∴ 相似比为 k= 6 -3 = -2. ∵ B(-1,-2) . ∴ B′(2,4) . 15. 5+ 89 16 ≤m≤2 解析:对于 y= - 1 2 x2 + 3 2 x+2,令 x= 0 得 y= 2, ∴ C(0,2) . ∵ 点 D 在线段 OC 上, ∴ 0≤m≤2. ∵ D(0,m),且点 D′是点 D 关于直线 x = 2m 的对称点, ∴ D′(4m,m) . 又 ∵ D′ E 与 抛 物 线 有 一 个 公 共 点, ∴ - 1 2 (2m) 2 + 3 2 ×2m+2≥0,① - 1 2 (4m) 2 + 3 2 ×4m+2≤m,② ì î í ï ï ï ï 解①得- 1 2 ≤m≤2, 解②得 m≤ 5- 89 16 或 m≥ 5+ 89 16 , ∴ 不等式组的解集为 - 1 2 ≤m≤ 5- 89 16 或 5+ 89 16 ≤m - 107 - - 108 - ≤2. 又∵ 0≤m≤2, ∴ 5+ 89 16 ≤m≤2. 三、解答题 16.解:(1)原式= -6-4+4-1 = -7. (2)原式= x-2 x · x+1 x(x-2) = x +1 x2 . 17.解:(1)设 2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下 降率为 x. 根据题意,得 200(1-x) 2 = 98, 解得 x1 =0. 3=30%,x2 =1. 7(不符合题意,舍去). 答:2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率 为 30% . (2)设此次价格的下降率是 y. 根据题意,得 98(1-y)≥73. 5,解得 y≤0. 25, ∴ y 的最大值是 0. 25,即 25% . 答:此次价格的下降率最多是 25% . 18.解:(1)10;95;90. (2)从平均数和方差看,立定跳远和 50 米跑成绩都一 样,从中位数和众数来看, 50 米跑成绩高于立定跳远成 绩,在平均成绩和波动大小相同的情况下,选择中位数 和众数高的,故小明应选择 50 米跑. 19.解:如图,过点 A 作 AF⊥BD,垂足为 F. ∵ AC = CD,AC = BC,∴ 易证得点 D 与点 F 重合. 分两种情况. 当∠ACD= 120°时, ∠BCD= 180°-∠ACD= 60°. ∵ BC=CD, ∴ △BCD 是等边三角形, ∴ ∠ABD= 60°. 在 Rt△ABF 中,AB= 300 mm, ∴ AF=AB. sin 60°≈300×0. 866 = 259. 8(mm) . 若∠ACD= 160°时, ∠BCD= 180°-∠ACD= 20°,∴ ∠CBD= 80°, 在 Rt△ABF 中,AB= 300 mm, ∴ AF=AB·sin 80°≈300×0. 984 = 295. 2(mm) . 综上所述,点 A 到桌面距离的范围约为 259 . 8 mm ~ 295. 2 mm. 20.解:(1)设甲手机电量 y1(%)与充电所需时间 x(min)的 函数关系式为 y1 = kx+50,根据题意,得 30k+50 = 95, 解得 k= 3 2 , ∴ y1 = 3 2 x+50, 当 y1 = 100 时, 3 2 x+50 = 100,解得 x= 100 3 . 答:当甲手机电量充至 100%时,所需时间为 100 3 分钟. (2)设线段 BC 所在直线的函数关系式为 y2 =mx+n(30≤x≤60), 根据题意,得 30m+n= 65, 60m+n= 95,{ 解得 m= 1, n= 35,{ ∴ 线段 BC 所在直线的函数关系式为 y2 = x+35. 当 y2 = 80 时,x+35 = 80,解得 x= 45; 当 y1 = 80 时, 3 2 x+50 = 80,解得 x= 20, 45-20 = 25(分钟) . 答:甲、乙两部手机电量充至 80% 时,甲比乙少用 25 分钟. 21.解:(1)如图,连接 OB. ∵ OA=OB,BA=BD, ∴ ∠OBA= ∠OAB= ∠D. 又∵ ∠BOD= ∠OBA+ ∠OAB, ∴ ∠BOD= 2∠D. ∵ BD 是☉O 的切线, ∴ ∠OBD= 90°, ∴ ∠BOD+∠D= 90°, ∴ 3∠D= 90°, ∴ ∠D= 30°. (2)∵ AB ( =BE ( , ∴ BA=BE. ∵ ∠D= 30°,AB=BD, ∴ ∠BAD= ∠D= 30°, ∴ ∠BOD= 60°, ∴ ∠AOB= 120°, ∴ ∠E= 1 2 ∠AOB= 60°, ∴ △ABE 是等边三角形, ∴ AB=AE= 2, ∴ BD=AB= 2, ∴ OB= 3 3 BD= 2 3 3 , ∴ BC ( 的长为 60π× 2 3 3 180 = 2 3 π 9 . 22. (1)解:∵ ∠ACB= 90°,D 为 AB 的中点, ∴ CD=AD=BD= a. ∵ DE= b, ∴ BE=DB-DE= a-b, AE=AD+DE= a+b. ∵ CE⊥AB, ∴ ∠CEB= ∠CEA= 90°, ∴ ∠ECB+∠B= 90°. ∵ ∠A+∠B= 90°, ∴ ∠ECB= ∠A, ∴ △ACE∽△CBE, ∴ CE BE = AE CE , ∴ CE2 =AE·BE= (a+b)(a-b) . 在 Rt△CDE 中,∠CED= 90°, ∴ CE2 =CD2 -DE2 = a2 -b2, ∴ (a+b)(a-b)= a2 -b2 . (2)①证明:如图,作 AM⊥BC,垂足为 M, ∴ ∠AMB= ∠AMC= 90°. ∵ AD⊥AC, ∴ ∠DAC= 90°, ∴ ∠EDC+∠C= 90°. ∵ EF⊥BC, ∴ ∠DFE= 90°, ∴ ∠EDC+∠DEF= 90°, ∴ ∠C= ∠DEF. ∵ ∠AMC= ∠DFE= 90°,AC=DE, ∴ △AMC≌△DFE(AAS), ∴ AM=DF. ∵ ∠AMB= ∠DFG= 90°,∠ABC= ∠DGF, ∴ △ABM≌△DGF(AAS), ∴ AB=DG. ②解:如图,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M. 在 Rt△ABM 中,∠AMB= 90°, ∴ AB2 =AM2 +BM2 . 在 Rt△ACM 中,∠AMC= 90°, ∴ AC2 =AM2 +CM2, ∴ AB2 -AC2 =BM2 -CM2, ∴ (AB+AC)(AB-AC)= (BM+CM)(BM-CM) . ∵ BM+CM=BC= 8,AB+AC= 10, ∴ 10(AB-AC)= 8(BM-CM) . 由①知△ABM≌△DGF,△AMC≌△DFE, ∴ BM=GF,CM=EF, ∴ BM-CM=GF-EF=GE, ∴ 10(AB-AC)= 8GE, ∴ AB-AC GE = 4 5 . 23.解:(1)将点 2, 32 9( ) 代入 y= ax 2 -6ax 中, 得 4a-12a= 32 9 , 解得 a= - 4 9 , ∴ 抛物线的解析式为 y= - 4 9 x2 + 8 3 x. (2)当 y= 0 时,- 4 9 x2 + 8 3 x= 0, 解得 x= 0 或 x= 6, ∴ 抛物线与 x 轴的交点为(0,0),(6,0) . 当 0<m<3 时,A 点在 x 轴上方,B 点在 x 轴下方,则 y1 · y2 <0; 当 6<m<9 时,A 点在 x 轴下方,B 点在 x 轴上方,则 y1 · y2 <0. 综上所述,0<m<3 或 6<m<9. (3)①由抛物线的表达式,得 A m,- 4 9 m2+ 8 3 m( ) , B 9-m,- 4 9 m2 + 16 3 m-12( ) . ∵ 四边形 ACBD 是矩形, ∴ C m,- 4 9 m2 + 16 3 m-12( ) , ∴ AC = - 4 9 m2 + 8 3 m+ 4 9 m2 - 16 3 m+12 = 8 3 m-12 ,BC = | 9-2m | , ∴ tan∠ABC= AC BC = 4 3 . ②如图,设矩形 BEFG 与 AC 边 的交点为 K,AC 与 x 轴的交点 为 Q. ∵ AE⊥EK, AC⊥BC, ∴ ∠AEK= ∠ACB= 90°. ∵ ∠EAK= ∠CAB, ∴ △AEK∽△ACB. ∵ 矩形 ACBD 与矩形 BEFG 重 合部 分 图 形 的 面 积 是 矩 形 ACBD 面积的 3 8 , ∴ AC= 2AE. 设 AC= 4x,则 BC= 3x,AB= 5x, ∴ AE= 2x. ∵ tan∠AEQ= tan∠ABC= 4 3 , ∴ AQ EQ = 4 3 , ∴ EQ= 6 5 x, ∴ EQ AE = 3 5 . ∵ AC= 8 3 m-12 , - 109 - - 110 - ∴ 4x= 8 3 m-12 , 解得 x= 2 3 m-3 , ∴ EQ= 6 5 x= 4 5 m- 18 5 . 设直线 AB 的解析式为 y= kx+b, ∴ mk+b= - 4 9 m2 + 8 3 m, (9-m)m+b= - 4 9 m2 + 16 3 m-12, ì î í ï ï ï ï 解得 k= - 4 3 , b= - 4 9 m2 +4m, ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AB 的解析式为 y= - 4 3 x- 4 9 m2 +4m, ∴ E - 1 3 m2 +3m,0( ) , ∴ EQ= - 1 3 m2 +3m-m = - 1 3 m2 +2m , ∴ - 1 3 m2 +2m = 4 5 m- 18 5 , 解得 m= 21±3 19 5 或 m= 9±3 39 5 (不符合题意,舍去) . 故 m 的值为 21±3 19 5 . 2024 年辽宁省鞍山市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A A D B C C A 一、选择题 1. C　 解析:A,B,D 均为中心对称图形,C 既是轴对称图形 又是中心对称图形. 故选 C. 2. B　 解析:用科学记数法把一个数表示为 N = a×10n 的形 式,其中 1≤ | a | <10,n 为整数,当 |N | ≥10 时,n 为正整数 且等于原数整数位数减 1,故 384 000 = 3. 84×105 . 故选 B. 3. D　 解析:A. x2·x3 = x2+3 = x5,故 A 错误;B. 5x-2x = 3x,故 B 错误;C. (-2x2) 3 = (-2) 3(x2) 3 = -8x6,故 C 错误;D. x6 ÷ x2 = x6-2 = x4,故 D 正确,故选 D. 4. A 　 解析:∵ a∥b,∴ ∠2 + ∠DCB = ∠1,∴ ∠2 = ∠1 - ∠DCB= 118°-90° = 28°. 故选 A. 5. A　 解析:∵ 一元二次方程 x2 -3x+m = 0 没有实数根,∴ Δ = b2 -4ac<0,即(-3) 2 -4m<0,∴ m> 9 4 . 故选 A. 6. D　 解析:∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,又∵ AD DB = 1 2 ,∴ AD AB = 1 3 ,∴ △ADE 与△ABC 的周长之比为 1 ∶ 3. 故选 D. 7. B　 解析:由图形可知阴影部分面积等于 4 个小正方形的 面积,故飞镖落在阴影区域的概率为 P= 4 9 . 故选 B. 8. C　 解析:如图,连接 BC. ∵ AB 为直 径,∴ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ECB = ∠ACB - ∠ACD = 20°. ∵ ∠B= ∠ADC= 40°, ∴ ∠BEC= 180°-∠B-∠ECB = 180°- 40°-20° = 120°,∴ ∠AED= ∠BEC= 120°. 故选 C. 9. C　 解析:∵ AB=AB′, ∴ ∠B= ∠AB′B. ∵ AB′=CB′, ∴ ∠C= ∠CAB′. ∵ ∠AB′B 是△AB′C 的一个外角, ∴ ∠AB′B= ∠C+∠CAB′= 2∠C, ∴ ∠B= 2∠C. ∵ ∠BAC= 117°, ∴ ∠B+∠C= 180°-∠BAC= 63°, ∴ 3∠C= 63°,∴ ∠C= 21°. 故选 C. 10. A　 解析:因为“夜骑”爱好者匀速骑行,由 h= vt 知 h 为 t 的一次函数. 故选 A. 二、填空题 11. x(y+1) 2 　 解析:xy2 +2xy+x= x(y2 +2y+1)= x(y+1) 2 . 12. 40 x = 30 35-x 　 解析:由甲每小时包 x 个粽子,得乙每小时包 (35-x)个粽子,由甲包 40 个粽子所用时间与乙包 30 个 粽子所用时间相等,得 40 x = 30 35-x . 13. 2 7 　 解析:由作图知 EF 是 CD 的垂直平分线. ∵ 菱形 ABCD 的周长为 16, ∴ AD=AB=CD=BC= 4. ∵ EF 垂直平分 CD, ∴ DM= 1 2 CD= 2,∠AMD= 90°. 在 Rt△AMD 中,AM= AD2 -DM2 = 2 3 . ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAM= 90°. 在 Rt△ABM 中,BM= AB2 +AM2 = 2 7 . 14. 36 5 　 解析:设点 A m, k m( ) (m>0) . ∵ AC⊥x 轴于点 C, AD CD = 5 4 ,则 CD AC = 4 9 , AD AC = 5 9 , ∴ C(m,0),D m, 4k 9m( ) ,AD= 5k 9m . 设直线 OD 的表达式为 y= ax,则 4k 9m = am,解得 a= 4k 9m2 , ∴ 直线 OD 的表达式为 y= 4k 9m2 x, 联立 y= 4k 9m2 x, y= k x , ì î í ï ï ï ï 解得 x= 3 2 m, y= 2k 3m , ì î í ï ï ï ï (负值舍去) ∴ B 3 2 m, 2k 3m( ) , ∴ S△ABD = 1 2 AD·(xB-xD)= 1 2 × 5k 9m × 3 2 m-m( ) = 5k36 = 1, ∴ k= 36 5 . 15. 289　 解析:如图,延长 BH 交 EF 于点 G. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∠DAB= ∠C, ∴ ∠DAC= ∠AEB. ∵ AE 平分∠DAB, ∴ ∠DAE= ∠EAB, ∴ ∠EAB= ∠AEB, ∴ ∠C= ∠DAB= 2∠AEB,AB=BE. ∵ BH 平分∠EBF, ∴ ∠EBF= 2∠GBE= 2∠FBG. ∵ BF⊥CD, ∴ ∠BFC= 90°, ∴ 2∠GBE+2∠AEB= 90°, ∴ ∠GHE= ∠GBE+∠AEB= 45°. ∵ ∠AEF= 45°, ∴ ∠HGE= 180°-45°-45° = 90°, ∴ BG⊥EF. ∵ BH 平分∠FBE, ∴ EG=FG= 1 2 EF= 7 2 2 . ∵ BH= 8 2 , ∴ BG=BH+GH=BH+GE= 8 2 + 7 2 2 = 23 2 2 , ∴ BE= BG2+GE2 = 23 2 2( ) 2 + 7 2 2( ) 2 =17, ∴ AB= 17,BF= 17, ∴ 平行四边形 ABCD 的面积= 17×17 = 289. 三、解答题 16.解:(1)原式= -9+6+ 3 2 = - 3 2 . (2)∵ Δ= b2 -4ac= ( -5) 2 -4×3 = 13>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根, ∴ x1 = 5+ 13 2 ,x2 = 5- 13 2 . 17.解:设大盒装 x 瓶,小盒装 y 瓶. 由题意,得 3x+4y= 108, 2x+3y= 76,{ 解得 x= 20, y= 12.{ 答:大盒装 20 瓶,小盒装 12 瓶. 18.解:(1)9;<. (2)选择甲快递公司,理由如下. 从配送速度得分看,在平均数、中位数相同的前提下,甲 的众数高于乙; 从服务质量得分看,在平均数相同的前提下,甲的方差更 小,更稳定. 19.解:∵ MN⊥BH,CH⊥BH,MN⊥NC, ∴ ∠HBN= ∠CHB= ∠BNC= 90°, ∴ BN∥CH,四边形 BNCH 为矩形, ∴ ∠BGH= ∠ABM= 53°,BN=CH,CN=BH= 2 m. 在 Rt△BGH 中,BH= 2 m, tan∠BGH= BH GH , GH= BH tan 53° ≈ 2 1. 33 ≈1. 50(m) . ∵ sin∠ABM sin∠CBN = 1. 33, ∴ sin∠CBN= sin∠ABM 1. 33 ≈ 0. 798 1. 33 = 0. 6. 在 Rt△CBN 中,CN= 2 m, sin∠CBN= CN CB = 3 5 . 设 CN= 3x m,CB= 5x m,则 BN= CB2 -CN2 = (5x) 2 -(3x) 2 = 4x(m) . ∵ CN= 2 m,∴ 3x= 2, ∴ x= 2 3 , ∴ BN= 4× 2 3 = 8 3 (m), ∴ BN=CH= 8 3 m, ∴ CG=CH-GH= 8 3 -1. 50≈1. 2(m) . 答:鹅卵石的像点 G 到其实际位置点 C 之间的距离约为 1. 2 m. 20.解:(1)点( -1,1)在函数 y = mx+b(x>0), nx+b(x≤0){ 的图象上,理 由如下. ∵ m+n= 0,n-m= 2, ∴ m= -1,n= 1. 又∵ b= 2, ∴ y= -x+2(x>0), x+2(x≤0) .{