专题4.5 圆的计算与证明必考四大类型（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版）

专题4.5 圆的计算与证明必考四大类型 【浙教版】 【类型1 构造垂径图，利用勾股定理求解】 1 【类型2 垂径定理与共边双勾股】 3 【类型3 弧的中点与垂径定理】 5 【类型4 圆周角定理与垂径定理综合】 7 【类型1 构造垂径图，利用勾股定理求解】 1．（2024秋•上城区校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝16cm，CD＝6cm． （1）求AC的长； （2）若大圆半径为10cm，求小圆的半径． 2．（2024秋•沭阳县月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E． （1）若∠A＝35°，求的度数； （2）若BC＝6，AC＝8，求BD的长． 3．（2023•长安区二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）OM⊥CD，OM＝6，⊙O的半径为10，求弦CD的长； （2）过点A作AN⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF． 4．（2023•庐阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8． （1）求⊙O的半径长； （2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长． 5．（2024秋•阿荣旗期末）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2．求BF的长度． 6．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 7．（2023秋•江汉区校级月考）如图，⊙O的弦AB与CD相交于点E，已知AE＝BE，OE＝3CE，且AB＝8． （1）如图1，若CD过圆心O，求⊙O的半径； （2）如图2，若∠DEB＝60°，请直接写出点⊙O的半径． 【类型2 垂径定理与共边双勾股】 1．（2023秋•六安期中）如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，求CD的长． 2．（2023秋•江岸区期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，BD＝CD，DE⊥AB于点E，连接DO． （1）求证：AC∥DO； （2）若，，求AE的长． 3．（2023•武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （1）求证：∠AOB＝2∠BOC； （2）若AB＝4，，求⊙O的半径． 4．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q． （1）求证：BQ＝BC； （2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径． 5．（2023•天门一模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）判断△BDE的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长． 【类型3 弧的中点与垂径定理】 1．（2023秋•定海区期中）如图，AB是⊙O的弦，C点是优弧AB的中点，连CO，BC． （1）求证CO⊥AB； （2）若，AB＝8，求⊙O的半径长． 2．（2024•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接BC，CD，DA，OC． （1）证明：OC∥AD； （2）若AB＝10，，求AD长． 3．（2022•和县一模）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC．D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F． （1）求证：BC＝2DE； （2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长． 4．（2023秋•武昌区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点C为弧AF的中点，连接AF交CD于G，连接OG． （1）求证：AF＝2CE； （2）若AB＝10，，直接写出OG的长． 5．（2024•深圳模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点F，交AC于点G． （1）求证：GA＝GD； （2）若AC＝12，AF＝3，求圆的半径长． 6．（2023秋•拱墅区校级期末）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC． （1）求证：GE＝BE； （2）若OG＝1，CD＝8，求BC的长． 7．（2023秋•拱墅区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E．连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF． （1）求证：CF＝BD； （2）若AD＝10，EF＝15，求⊙O的半径及BE的长． 【类型4 圆周角定理与垂径定理综合】 1．（2024•马鞍山一模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若，OG＝2，求⊙O的半径． 2．（2023秋•黄梅县期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度． 3．（2024•安庆一模）如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，DB平分∠ADC，连接OC，且OC⊥BD． （1）求证：AB＝CD； （2）若CD＝5，BD＝8，求⊙O的半径． 4．（2024•安徽三模）如图，在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD，点E在⊙O上，∠BDC＝∠CDE，AE与BC的延长线交于点F． （1）求证：AB＝AF； （2）若AB＝10，BD＝4，求AE的长． 5．（2024•突泉县二模）已知：如图，AB为⊙O的直径，点E为OA上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C、D． （1）如图1，若AE＝2，OE＝3，求CD的长； （2）如图2，点P为上一点，连接DP交直径AB于点F，连接CF，若OC∥PB，求证：∠CFP＝∠B． 6．（2024•安徽一模）如图1，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，且B为弧CF的中点，CF交AB于点H，若CG＝2，CF＝8． （1）求BG的长； （2）如图2，连接OH，BC，求证：OH⊥BC． 7．（2024•宁波模拟）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：BD＝DE． （2）若AB＝10，AC＝6，求BE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.5 圆的计算与证明必考四大类型 【浙教版】 【类型1 构造垂径图，利用勾股定理求解】 1 【类型2 垂径定理与共边双勾股】 10 【类型3 弧的中点与垂径定理】 16 【类型4 圆周角定理与垂径定理综合】 26 【类型1 构造垂径图，利用勾股定理求解】 1．（2024秋•上城区校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝16cm，CD＝6cm． （1）求AC的长； （2）若大圆半径为10cm，求小圆的半径． 【分析】（1）根据垂径定理及线段的和差求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）作OE⊥AB，垂足为E， 由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点， ∴cm，cm， ∴AC＝AE﹣CE＝8﹣3＝5cm； （2）连接OA，OC， 在Rt△AOE中，AE＝8cm，OA＝10cm， ∴， 在Rt△OCE中，CE＝3cm，OE＝6cm， ∴． 2．（2024秋•沭阳县月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E． （1）若∠A＝35°，求的度数； （2）若BC＝6，AC＝8，求BD的长． 【分析】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作CH⊥BD，如图，根据垂径定理得到BH＝DH，再利用勾股定理计算出AB＝10，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长． 【解答】解：（1）连接CD， ∵∠A＝35°， ∴∠B＝55°， ∵CB＝CD， ∴∠B＝∠CDB＝55°， ∴∠BCD＝70°， ∴∠DCE＝20°， ∴的度数为20°； （2）作CH⊥BD，则BH＝DH， 在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8， ∴AB10， ∵， ∴， ∴在Rt△BCH中，BH， ∴． 3．（2023•长安区二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）OM⊥CD，OM＝6，⊙O的半径为10，求弦CD的长； （2）过点A作AN⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF． 【分析】（1）连接OD，由垂径定理和勾股定理可得答案； （2）连接AC，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论． 【解答】（1）解：如图，连接OD， ∵OM⊥CD，OM过圆心， ∴DM＝CM，∠OMD＝90°， 由勾股定理得，DM8， ∴CD＝2DM＝16； （2）证明：如图，连接AC， ∵AN⊥BD， ∴∠DNF＝90°， ∴∠DFN+∠D＝90°， ∵AB⊥CD， ∴∠CEA＝90°， ∴∠C+∠EAC＝90°， ∵∠EAC＝∠D，∠DFN＝∠AFC， ∴∠C＝∠AFC， ∴AF＝AC， ∵AB⊥CD， ∴CE＝EF． 4．（2023•庐阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8． （1）求⊙O的半径长； （2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长． 【分析】（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，先根据垂径定理得到DE＝CE＝4，再利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，然后解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出BC＝4，再根据垂径定理得到BF＝CF＝2，然后利用勾股定理可计算出OF的长． 【解答】解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r， ∵AB⊥CD， ∴∠OED＝90°，DE＝CECD8＝4， 在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得r＝5， 即⊙O的半径长为5； （2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8， ∴BC4， ∵OF⊥BC， ∴BF＝CFBC＝2，∠OFB＝90°， 在Rt△OBF中，OF， 即OF的长为． 5．（2024秋•阿荣旗期末）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2．求BF的长度． 【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理计算，得到答案； （2）根据勾股定理求出BC，根据垂径定理即可求出BF． 【解答】解：连接OB，设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2， ∵OA⊥BD， ∴BE＝EDBD＝4， 在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2， 即x2＝（x﹣2）2+42， 解得，x＝5， 即⊙O的半径为5； 在Rt△CEB中，BC4， ∵OF⊥BC， ∴BFBC＝2． 6．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接BD，根据垂径定理推出AD＝BD，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出BD＝CD，等量代换即可得解； （2）连接OA，根据垂径定理推出AH＝3，根据勾股定理求出DH＝2，设OD＝OA＝r，则 OH＝r﹣2，根据勾股定理（r﹣2）2+32＝r2，据此求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BD． ∵AB是⊙O的弦，半径 OD⊥AB， ∴D是 的中点， ∴， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠DBC， ∴BD＝CD， ∴AD＝CD， 即D为AC的中点； （2）如图，连接OA． ∵半径 OD⊥AB，垂足为H，AB＝6， ∴AHAB＝3， ∵D是AC的中点，， ∴， ∴DH2， 设OD＝OA＝r，则 OH＝r﹣2， 在 Rt△OAH中，OH2+AH2＝OA2， ∴（r﹣2）2+32＝r2， ∴， 即⊙O的半径为． 7．（2023秋•江汉区校级月考）如图，⊙O的弦AB与CD相交于点E，已知AE＝BE，OE＝3CE，且AB＝8． （1）如图1，若CD过圆心O，求⊙O的半径； （2）如图2，若∠DEB＝60°，请直接写出点⊙O的半径． 【分析】（1）连接OB，根据垂径定理得到CD⊥AB，结合勾股定理求解即可得到答案； （2）连接OE，OD，OA，过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到OE⊥AB，HC＝HD，结合勾股定理求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵AE＝BE，CD过圆心O，AB＝8， ∴CD⊥AB，AE＝BE＝4， ∵OE＝3CE， ∴，OEr， 在Rt△OBE中， ∴， 解得：； （2）解：连接OE，OD，OA，过O作OH⊥CD于H， ∵AE＝BE，OH⊥CD， ∴OH⊥CD，HC＝HD， ∵∠DEB＝60°， ∴∠OEH＝30°， ∴OE＝2OH， ∵DE＝3CE， ∴， 在Rt△OAE中，由勾股定理得到，OE2＝r2﹣42， ∴， ∴， ∴DH2＝3（r2﹣42）， 在Rt△OHD中，由勾股定理得到， ， 解得：； 【类型2 垂径定理与共边双勾股】 1．（2023秋•六安期中）如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，求CD的长． 【分析】O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，由垂径定理得到AE＝BE＝3，求出CE＝3﹣2＝1，设OE＝x，由勾股定理得：OA2＝x2+9，OC2＝x2+1，因此CD2＝OD2﹣OC2＝x2+9﹣（x2+1）＝8，即可求出CD长． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD， ∵AC＝4，BC＝2， ∴AB＝6， ∵OE⊥AB， ∴AE＝BE＝3， ∴CE＝3﹣2＝1， 设OE＝x， 由勾股定理得：OA2＝x2+9，OC2＝x2+1， ∵CD⊥OC， ∴CD2＝OD2﹣OC2＝x2+9﹣（x2+1）＝8， ∴CD＝2 舍去负值）． 2．（2023秋•江岸区期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，BD＝CD，DE⊥AB于点E，连接DO． （1）求证：AC∥DO； （2）若，，求AE的长． 【分析】（1）连接OC、BD，证明∠BOD＝∠CAB即可； （2）在Rt△BDE中求BE，设OA＝OD＝OB＝x，则OE＝x﹣1，在Rt△ODE中求x即可． 【解答】（1）证明：连接OC、BD，如图， ∵BD＝CD， ∴∠BOD＝∠COD∠BOC， ∵∠CAB∠BOC， ∴∠BOD＝∠CAB， ∴AC∥OD． （2）解：CD， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DE， ∴在Rt△BDE中，BE1， 设OA＝OD＝OB＝x，则OE＝x﹣1， 在Rt△ODE中，OD2＝OE2+DE2， ∴x2＝（x﹣1）2， 解得：x＝3， ∴OE＝x﹣1＝2， ∴AE＝OA+OE＝3+2＝5． 3．（2023•武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （1）求证：∠AOB＝2∠BOC； （2）若AB＝4，，求⊙O的半径． 【分析】（1）利用圆周角定理可得，，结合∠ACB＝2∠BAC可证明结论； （2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，即可求得BE＝2，，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圆的半径． 【解答】（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC， ∴∠AOB＝2∠BOC； （2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB， ∴AE＝BE， ∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB∠AOB， ∴∠DOB＝∠BOC． ∴BD＝BC． ∵AB＝4，， ∴BE＝2，， 在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°， ∴， 在Rt△BOE中，∠OEB＝90°， OB2＝（OB﹣1）2+22， 解得， 即⊙O的半径是 ． 4．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q． （1）求证：BQ＝BC； （2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据CD⊥AB，BN⊥AD，所以∠BNA＝∠BMQ＝90°，可得∠BQM＝∠A，利用圆周角定理得∠C＝∠A，所以∠C＝∠BQM，即可得出结论； （2）设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3，利用勾股定理得BM＝4和42+（r﹣3）2＝r2，即可求出半径． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于M，BN⊥AD于N， ∴∠BNA＝∠BMQ＝90°， ∵∠ABN＝∠ABN， ∴∠BQM＝∠A， ∵， ∴∠C＝∠A， ∴∠C＝∠BQM， ∴BQ＝BC； （2）解：由（1）得BC＝BQ＝5，∠BMC＝∠BMO＝90° ∴在Rt△BMC中，， 设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3， ∴在Rt△BMO中，BM2+OM2＝OB2， 即42+（r﹣3）2＝r2， 解得：， 即⊙O的半径为． 5．（2023•天门一模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）判断△BDE的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长． 【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形； （2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2，因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，，解出t的值即可． 【解答】解：（1）△BDE为等腰直角三角形． 证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC． ∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠EBC， ∴∠BED＝∠DBE． ∴BD＝ED． ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形； （2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F． ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD． ∴BD＝DC． ∵OB＝OC． ∴OD垂直平分BC． ∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2， ∴BD＝2． ∵AB＝10， ∴OB＝OD＝5． 设OF＝t，则DF＝5﹣t． 在Rt△BOF和Rt△BDF中，， 解得t＝3， ∴BF＝4． ∴BC＝8． 【类型3 弧的中点与垂径定理】 1．（2023秋•定海区期中）如图，AB是⊙O的弦，C点是优弧AB的中点，连CO，BC． （1）求证CO⊥AB； （2）若，AB＝8，求⊙O的半径长． 【分析】（1）延长CO交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE，先证明∠ABC＝∠E，再证明∠CBE＝90°即可； （2）连接BO，设OC＝OB＝x，先根据垂径定理得，再在Rt△CDB中和Rt△ODB中，根据勾股定理即可． 【解答】（1）证明：延长CO交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE， ∵C点是优弧AB的中点， ∴弧AC＝弧BC， ∴∠ABC＝∠E． ∵CE是⊙O直径， ∴∠CBE＝90°， ∴∠C+∠E＝90°， ∴∠C+∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∴CO⊥AB； （2）解：连接BO，设OC＝OB＝x， ∵CO⊥AB， ∴． 在Rt△CDB中，， ∴OD＝CD﹣OC＝8﹣x． 在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， 故⊙O的半径长5． 2．（2024•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接BC，CD，DA，OC． （1）证明：OC∥AD； （2）若AB＝10，，求AD长． 【分析】（1）先连接OD，然后根据同弧所对的圆心角相等，证明∠BOC＝∠COD，再根据圆周角定理证明∠DAB，最后利用平行线的判定证明结论即可； （2）连接BD交CO于点E，先根据等腰三角形三线合一证明BE＝DE，然后根据中位线定理证明AD＝2OE，最后设OE＝x，分别在Rt△CDE和△ODE中，利用勾股定理，列出关于x的方程，求出x，从而求出答案即可． 【解答】（1）证明：如图所示：连接OD， ∵点C是的中点， ∴， ∴∠BOC＝∠COD， ∵∠DAB是所对的圆周角， ∴∠DAB， ∴OC∥AD； （2）解：如图所示：连接BD交CO于点E， ∵OB＝OD，∠COB＝∠COD， ∴OC⊥BD， ∴∠CEB＝∠OED＝90°，BE＝DE， ∴点E是BD的中点， ∵OB＝OA， ∴OE是△ABD的中位线， ∴AD＝2OE， ∵AB＝10， ∵OD＝OC＝5， 设OE＝x，则CE＝5﹣x， 在Rt△OED中， ∵OD2﹣OE2＝DE2＝CD2﹣CE2， ∴， 25﹣x2＝20﹣25+10x﹣x2， 10x＝30， x＝3， ∴AD＝2x＝6． 3．（2022•和县一模）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC．D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F． （1）求证：BC＝2DE； （2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长． 【分析】（1）延长DE交⊙O于点G，先由垂径定理得DE＝GE，，再证出，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论； （2）连接BD、OD，先由圆周角定理得∠DBC＝∠BDF，得DF＝BF，由圆周角定理得∠ACB＝90°，勾股定理得BC＝8，则DEBC＝4，再由勾股定理求出OE＝3，则BE＝OB﹣OE＝2，设DF＝BF＝a，则EF＝4﹣a，然后在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：延长DE交⊙O于点G，如图所示： ∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB， ∴DE＝GE，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴BC＝DG＝2DE； （2）解：连接BD、OD，如图所示： ∵， ∴∠DBC＝∠BDF， ∴DF＝BF， ∵AB为⊙O的直径，AB＝10， ∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝5， ∴BC8， 由（1）得：DEBC＝4， ∵DE⊥AB， ∴OE3， ∴BE＝OB﹣OE＝2， 设DF＝BF＝a，则EF＝4﹣a， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：22+（4﹣a）2＝a2， 解得：a， ∴DF． 4．（2023秋•武昌区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点C为弧AF的中点，连接AF交CD于G，连接OG． （1）求证：AF＝2CE； （2）若AB＝10，，直接写出OG的长． 【分析】（1）证明，推出AF＝CD，可得结论； （2）想办法求出OE，EG，可得结论． 【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，AB是直径， ∴，EC＝DE， ∵点C为弧AF的中点， ∴， ∴， ∴AF＝CD＝2CE； （2）解：如图，连接BC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC4， ∵•AC•BC•AB•CE， ∴CE4， ∴AE2， ∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3， ∵， ∴∠ACG＝∠GAC， ∴AG＝CG， 设AG＝GC＝m，则有m2＝22+（4﹣m）2， ∴m， ∴GE＝EC﹣CG＝4， ∴OG． 5．（2024•深圳模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点F，交AC于点G． （1）求证：GA＝GD； （2）若AC＝12，AF＝3，求圆的半径长． 【分析】（1）连接AD，BD，由AB是半圆O的直径，可得∠ADB＝90°，从而可得∠DAB+∠ABD＝90°，再由DE⊥AB，可得∠DAB+∠ADE＝90°，进一步可得∠ADE＝∠ABD，再由D是AC的中点，得出∠DAC＝∠ABD，从而得出∠ADE＝∠DAC，最后由等腰三角形的判定可得结论； （2）连接OE．首先证明DE＝AC＝12，设OA＝OE＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，连接AD，BD， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠ABD＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DAB+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠ABD， ∵D是弧AC的中点， ∴∠DAC＝∠ABD， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴GA＝GD； （2）如图，连接OE． ∵DE⊥AB， ∴DF＝EF，AD＝AE， ∵点D是弧AC的中点， ∴， ∴CA＝DE， ∴DE＝AC＝12， ∴， 设OA＝OE＝x， 在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2， 解得， 圆的半径长为． 6．（2023秋•拱墅区校级期末）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC． （1）求证：GE＝BE； （2）若OG＝1，CD＝8，求BC的长． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到∠FCD＝∠BCD，证明△GCE≌△BCE，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接OC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴∠FCD＝∠BCD， 在△GCE和△BCE中， ， ∴△GCE≌△BCE（ASA）， ∴GE＝BE； （2）解：如图，连接OC， 设GE＝BE＝x，则OB＝1+2x， ∵AB⊥CD，CD＝8， ∴CE＝DE＝4， 在△OCE中，OE2+CE2＝OC2，即（1+x）2+42＝（1+2x）2， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴BE＝2， ∴BC2． 7．（2023秋•拱墅区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E．连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF． （1）求证：CF＝BD； （2）若AD＝10，EF＝15，求⊙O的半径及BE的长． 【分析】（1）首先利用已知条件和垂径定理证明CD＝BF，然后根据AAS证明△BFG≌△CDG； （2）连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解． 【解答】（1）证明：∵C是 中点， ∴， ∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB， ∴， ∴， ∴CD＝BF， ∴， ∴， ∴CF＝BD； （2）解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r， Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣102， Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即OE2＝r2﹣152， ∵， ∴， ∴BD＝CF， ∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2＝900， ∴（2r）2﹣102＝900， ∴r＝5或r＝﹣5（舍去）， ∴OE2＝（5）2﹣152， ∴OE＝5或OE＝﹣5（舍去）， ∴BE＝OB﹣OE＝55． 【类型4 圆周角定理与垂径定理综合】 1．（2024•马鞍山一模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若，OG＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）先证明∠C＝∠GBE，根据，得出∠C＝∠DBE，证明∠GBE＝∠DBE，根据∠GEB＝∠DEB＝90°，得出∠BGE＝∠BDE，得出BD＝BG，根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）连接OA，设OA＝r，得出DG＝r+2，求出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出OE2+AE2＝OA2，即，求出r的值即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BD， ∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F， ∴∠CFG＝∠GEB＝90° 又∵∠CGF＝∠BGE， ∴∠C＝∠GBE， ∵， ∴∠C＝∠DBE， ∴∠GBE＝∠DBE， ∵AB⊥CD， ∴∠GEB＝∠DEB＝90°， ∴∠BGE＝∠BDE， ∴BD＝BG， 又∵BE⊥DG， ∴ED＝EG； （2）解：如图，连接OA，设OA＝r，则DG＝r+2， ∴， ∴， ∵AB⊥CD于E，， ∴， 在Rt△OEA中，OE2+AE2＝OA2， 即， 解得或r＝﹣6（舍）． 即⊙O的半径为． 2．（2023秋•黄梅县期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度． 【分析】（1）欲证明AC＝CG，利用圆周角定理的推论和三角形的内角和证明∠A＝∠G即可得解； （2）由垂径定理得出DE＝EC＝4，再由勾股定理得出半径为5，在Rt△DBE中，利用勾股定理构建方程即可求解． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，DF⊥CG， ∴∠DEB＝∠BFG＝90°， ∵∠EBD＝∠FBG， ∴∠CDF＝∠G， .∵∠A＝∠CDF， ∴∠A＝∠G， ∴CA＝CG； （2）解：连接OD． 设圆的半径为r，则OE＝8﹣r． ∵CD⊥AB，AB为直径， ∴DE＝EC＝4． 在Rt△OED中，由勾股定理得： 42+（8﹣r）2＝r2， 解得r＝5． ∴EB＝r﹣OE＝2． 在Rt△DBE中，由勾股定理得： DB2＝42+22＝20， 解得． 3．（2024•安庆一模）如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，DB平分∠ADC，连接OC，且OC⊥BD． （1）求证：AB＝CD； （2）若CD＝5，BD＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）由角平分线定义得到∠ADB＝∠CDB，由圆周角定理推出，由垂径定理推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出AB＝CD； （2）连接OB，OC与BD交于E，由垂径定理得到BE＝DE8＝4，由勾股定理求出CE3，设⊙O半径为r，由勾股定理得到r2＝42+（r﹣3）2，求出r，即可得到圆的半径长． 【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴， ∵OC⊥BD， ∴， ∴， ∴AB＝CD； （2）解：连接OB，OC与BD交于E， ∵OC⊥BD， ∴BE＝DE8＝4， ∴CE3， 设⊙O半径为r， ∴OE＝r﹣3， ∵OB2＝OE2+BE2， ∴r2＝42+（r﹣3）2， ∴r， ∴⊙O的半径是． 4．（2024•安徽三模）如图，在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD，点E在⊙O上，∠BDC＝∠CDE，AE与BC的延长线交于点F． （1）求证：AB＝AF； （2）若AB＝10，BD＝4，求AE的长． 【分析】（1）连接BE，CE，根据圆周角定理求出∠CBE＝∠CEB，∠AEB＝∠FEB＝90°，结合直角三角形的性质求出∠CEF＝∠F，根据圆内接四边形的性质求出∠CEF＝∠ABC，则∠ABC＝∠F，根据等腰三形的判定即可得证； （2）连接BE，OC，BE、CD交于点G，根据垂径定理、圆周角定理求出OC⊥BE，设OG＝x，则CG＝5﹣x，根据勾股定理求出x＝3.4，再根据三角形中位线的判定与性质求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BE，CE， ∵∠BDC＝∠CDE， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴∠CBE+∠F＝90°，∠BEC+∠CEF＝90°， ∴∠CEF＝∠F， ∵∠CEF＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠F， ∴AB＝AF； （2）如图2，连接BE，OC，BE、CD交于点G， ∵∠BDC＝∠CDE， ∴， ∴OC⊥BE， ∵AB＝10， ∴OC＝OB＝5， ∵AB⊥CD， ∴BD＝BC＝4， 设OG＝x，则CG＝5﹣x， 在Rt△OBG中，BG2＝52﹣x2， 在Rt△BCG中，BG2＝42﹣（5﹣x）2， ∴52﹣x2＝42﹣（5﹣x）2， 解得x＝3.4， ∵∠AEB＝∠OGB＝90°， ∴OG∥AE， ∵OA＝OB， ∴OG是△ABE的中位线， ∴AE＝2OG＝6.8． 5．（2024•突泉县二模）已知：如图，AB为⊙O的直径，点E为OA上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C、D． （1）如图1，若AE＝2，OE＝3，求CD的长； （2）如图2，点P为上一点，连接DP交直径AB于点F，连接CF，若OC∥PB，求证：∠CFP＝∠B． 【分析】（1）根据垂径定理求出CECD，再根据勾股定理求解即可； （2）连接AP，根据圆周角定理求出BP⊥AP，根据平行线的性质求出OC⊥AP，∠B＝∠AOC，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出∠AOC＝2∠D＝∠B，再根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出∠D＝∠DCF，再根据三角形外角性质求解即可． 【解答】（1）解：如图1，连接OC， ∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE＝DECD， ∵AE＝2，OE＝3， ∴OA＝AE+OE＝5＝OC， ∴CE4， ∴CD＝8； （2）证明：如图2，连接AP， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠APB＝90°， ∴BP⊥AP， ∵OC∥PB， ∴OC⊥AP，∠B＝∠AOC， ∴， ∴∠AOC＝2∠D＝∠B， ∵CD⊥AB，CE＝DE， ∴AB垂直平分CD， ∴CF＝DF， ∴∠D＝∠DCF， ∴∠CFP＝∠D+∠DCF＝2∠D， ∴∠CFP＝∠B． 6．（2024•安徽一模）如图1，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，且B为弧CF的中点，CF交AB于点H，若CG＝2，CF＝8． （1）求BG的长； （2）如图2，连接OH，BC，求证：OH⊥BC． 【分析】（1）根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系进行计算即可； （2）利用圆周角定理得出∠BCH＝∠CBH，由等腰三角形的判定可知HB＝HC，再根据全等三角形的判定得出△OCH≌△OBH，进而得到∠COH＝∠BOH，由等腰三角形的性质进行判断即可． 【解答】解：（1）如图1，连接OB， ∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G， ∴，AG＝BGAB， ∵B为弧CF的中点， ∴，OB⊥CF， ∴， 即， ∴AB＝CF＝8， ∴AG＝BGAB＝4； （2）如图2，连接BC，OB， ∵， ∴∠BCH＝∠CBH， ∴HB＝HC， 在△OCH和△OBH中， ∵OC＝OB，HC＝HB，OH＝OH， ∴△OCH≌△OBH（SSS）， ∴∠COH＝∠BOH， ∵OC＝OB， ∴OH⊥BC． 7．（2024•宁波模拟）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：BD＝DE． （2）若AB＝10，AC＝6，求BE的长． 【分析】（1）由角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，根据同弧所对的圆周角相等得出∠CAD＝∠CBD＝∠BAD，再根据三角形外角的性质得出∠DEB＝∠BAD+∠ABE，从而得出∠DBE＝∠DEB，根据等角对等边即可证得BD＝DE； （2）连接OD交BC于点F，由∠BAD＝∠CAD得出，于是有OD⊥BC，BF＝CF，再证OF是△ABC的中位线，即可求出OF的长，即可求出DF的长，由AB为直径得出∠ACB＝∠ADB＝90°，由勾股定理求出BC的长，即可求出BF的长，再根据勾股定理求出BD的长，由（1）中的结论得出DE的长，最后根据勾股定理即可求出BE的长． 【解答】（1）证明：∵AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE， ∵∠CAD和∠CBD是所对的圆周角， ∴∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∴∠DBE＝∠CBD+∠CBE＝∠BAD+∠CBE， ∵∠DEB是△ABE的外角， ∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴BD＝DE； （2）解：连接OD交BC于点F， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴OD⊥BC， 即∠DFB＝90°，BF＝CF， ∵OA＝OB， ∴OF是△ABC的中位线， ∴OF， ∵AB＝10， ∴OA＝OB＝OD＝5， ∴DF＝OD﹣OF＝2， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴由勾股定理得，， ∴BF＝CF4， 在Rt△DFB中，由勾股定理得，， 由（1）知DE＝BD， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴由勾股定理得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$