精品解析：浙江省杭州市之江实验中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

杭州市之江实验中学八（上）10月阶段自查 数学试题卷 考生须知： 1.本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，必须在答题卷的指定区城内填写班级、姓名和座位号． 3.所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； B、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可求解. 【详解】A选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 B选项，，，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形 C选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 D选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边. 3. 下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：用来证明命题“，则”是假命题的反例可以是：， ∵ ，但是， ∴C正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可． 4. 下列句子中，是命题的是（　　） A. 负数小于一切正数吗？ B. 作一条直线与已知直线垂直 C. 两点之间线段最短 D. 将8开立方 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的定义可以判断出各个选项中的语句是否为命题，本题得以解决． 【详解】解：负数小于一切正数么？是疑问语句，不是命题，故选项A错误； 作一条直线与已知直线垂直不是判断语句，故不是命题，故选项B错误； 两点之间线段最短是命题，故选项C正确； 将8开立方不是判断语句，不是命题，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确命题的定义，会判断一段语句是否为命题． 5. 如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（　　） A. 34° B. 35° C. 69° D. 104° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，可以求得∠3的度数，本题得以解决． 【详解】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°， ∴69°＝35°+∠3， ∴∠3＝34°， 故选：A． 【点睛】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，可以求得∠3的度数，本题得以解决． 6. 下列各组图形中，是的高的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键． 根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【详解】解：的高是过顶点A与垂直的线段，只有D选项符合． 故选：D． 7. 下列不等式说法中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴选项B符合题意； ∵， ∴， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴ ∴选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 8. 如果不等式的解集是，那么m必须满足（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两边同时除以，不等号的方向改变，可得，据此即可求解． 【详解】解：因为的解集是，不等号的方向改变了， 所以， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数． 9. 甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为元，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用不等式组解决实际应用问题，根据彩券数量得到费用区间列不等式组求解即可得到答案； 【详解】解：由题意得， ， 解得：， 故选：C． 10. 如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，判断①；根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④． 【详解】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， ，①结论正确； ， ， 同理可得：， ，②结论正确； ， ， 由①知：，， 在中，， ， ，③结论错误； ④当时，， ， ，则与不相等，④结论错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若，则_______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴2a>2b， ∴>． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 12. 在ABC中∠A：∠B：∠C＝4：5：9，若按角分类，ABC是_____三角形． 【答案】直角##Rt 【解析】 【分析】根据题意设，则，根据三角形内角和定理求得,进而求得的度数，进而判断三角形的形状． 【详解】解：∠A：∠B：∠C＝4：5：9， 设，则， 解得 是直角三角形． 故答案为：直角 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 13. 若，，，则______． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形对应角相等即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. △ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________． 【答案】70°或30° 【解析】 【分析】根据AD的不同位置，分两种情况进行讨论：AD在△ABC的内部，AD在△ABC的外部，分别求得∠BAC的度数． 【详解】①如图，当AD在△ABC的内部时， ∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°． ②如图，当AD在△ABC的外部时， ∠BAC=∠BAD -∠CAD=50°-20°=30°． 故答案为：70°或30°． 【点睛】本题主要考查了三角形高的位置情况，充分考虑三角形的高在三角形的内部或外部进行分类讨论是解题的关键． 15. 若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有两个整数解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 故答案为：． 16. 已知．①若，则的取值范围是___________________；②若，且，则的取值范围是____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程和解不等式，掌握解二元一次方程和解不等式的方法是解决问题的关键． ①由题意得，进而得，求解不等式即可； ②由和得方程组即可求得，，再根据，解不等式组即可求解． 【详解】解：①∵，则， 由得，， ∴， 故答案为：； ②若和得： 解得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，合并同类项，即可作答． （2）先去括号，再移项，然后合并同类项，系数化1，即可作答． 【小问1详解】 解：， 移项，， 合并同类项，； 【小问2详解】 解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 18. 解下列不等式组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 19. 如图，已知，，． （1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识点， （1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）利用线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可； 解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 【小问1详解】 如图，以点A，B为圆心，以大于线段一半的长度作为半径，画弧，两弧交于点M，N，过M，N作直线， ∴直线即为所求； 【小问2详解】 如图所示， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，， ， （1）求证：． （2）线段与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析 【解析】 【分析】（1）由边边边容易证明全等； （2）由（1）得，再由等角对等边得． 【小问1详解】 证明：在 与 中， ， ∴ 【小问2详解】 解： 理由： ∴ ， 即 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了边边边判定三角形全等，全等的性质，等腰三角形的判定． 21. 如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出，再运用三角形外角性质求出．先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根据角平分线定义可求可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出． 【详解】解：∵ ∴ 又∵是高， ∴ ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴ 故 22. 对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．． （1）比较与的大小，并说明理由． （2）若，求x的取值范围． （3）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小； （2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围； （3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解： ，理由如下： ， ，， ； 【小问2详解】 解：， 不等式可转化为：， ； 【小问3详解】 解：， 不等式可转化为：， ， 不等式组组的解集为， ， ． 【点睛】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键． 23. 我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． （1）求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； （2）若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元 （2）该校共有3种租车方案，方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车；方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车；方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； （3）采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元 【解析】 【分析】（1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，根据“租用3辆型大巴车和2辆台型大巴车，共需费用2100元；4辆台型大巴车比5辆型大巴车的费用多500元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，根据“型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出采用各租车方案所需费用． 【小问1详解】 解：设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元； 【小问2详解】 解：设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 该校共有3种租车方案， 方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车； 方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车； 方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； 【小问3详解】 解：采用租车方案1所需费用为（元）； 采用租车方案2所需费用为（元）； 采用租车方案3所需费用为（元）． ， 采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 24. 如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作交线段于E． （1）当时， ；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）；小 （2）2，理由： ，， ， ， 当时，； （3）当或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出，根据点的运动方向可判定的变化情况． （2）假设，利用全等三角形的对应边相等得出，即可求得答案． （3）假设是等腰三角形，分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出． 【小问1详解】 解：； 从图中可以得知，点从向运动时，逐渐变小； 故答案为：；小； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ①当时，， ， 此时不符合； ②当时，即， ， ； ； ③当时，， ， ； 当或时，是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题． 第1页/共1页 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B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 3. 下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列句子中，是命题的是（　　） A. 负数小于一切正数吗？ B. 作一条直线与已知直线垂直 C. 两点之间线段最短 D. 将8开立方 5. 如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（　　） A. 34° B. 35° C. 69° D. 104° 6. 下列各组图形中，是的高的图形是（ ） A. B. C. D. 7. 下列不等式说法中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如果不等式的解集是，那么m必须满足（　　） A. B. C. D. 9. 甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为元，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若，则_______（填“>”或“<”）． 12. 在ABC中∠A：∠B：∠C＝4：5：9，若按角分类，ABC是_____三角形． 13. 若，，，则______． 14. △ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________． 15. 若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是______． 16. 已知．①若，则的取值范围是___________________；②若，且，则的取值范围是____________________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式 （1）； （2）． 18. 解下列不等式组 （1）； （2）． 19. 如图，已知，，． （1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数． 20. 如图，， ， （1）求证：． （2）线段与相等吗？请说明理由． 21. 如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求和的度数． 22. 对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．． （1）比较与的大小，并说明理由． （2）若，求x的取值范围． （3）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 23. 我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． （1）求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； （2）若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 24. 如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作交线段于E． （1）当时， ；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $