考点11 将军饮马－最值问题-人教版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 11 将军饮马－最值问题 参考答案 1．3 【难度】0.65 【分析】作点 E关于 AD的对称点 F，连接 BF，交 AD于点 P，由 BP PE BP PF BF    ，根据 AD BF 即可求得 BP EP 的最小值． 【详解】解：如图，作点 E关于 AD的对称点 F，连接 BF，交 AD于点 P， ∵等边 ABCV 中，D，E分别为边 BC， AB的中点，且等边三角形为轴对称图形， ∴点 F在线段 AC上，且是 AC的中点， AD BC ， ∴ PF PE ， ∴ BP PE BP PF BF    ，即 BP EP 的最小值为 BF的长，且此时 AC BF ， 根据等边三角形三边上的高相等，即 3AD BF  ， ∴ BP EP 的最小值为 3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握轴对称求线段和最小值的方法是解 题的关键． 2．30° 【难度】0.65 【分析】由于点 C关于直线 MN的对称点是 B，所以当 B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD 的值最小． 【详解】解：由题意知，当 B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 连接 BD交 MN于 P， ∵△ABC是等边三角形，D为 AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴PA=PC， ∴∠PCD=∠PAD=30°． 故答案为：30° 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 3．30 【难度】0.4 【分析】如图1中，作CH BC ，使得CH BC ，连接NH ，BH ，证明 ABM△ ≌  SASCHN ，推 出BM HN ，由BN HN BH  ，可知 B，N，H共线时，BM BN NH BN   的值最小，求出此 时 MBN 即可解决问题． 【详解】解：如图1中，作CH BC ，使得CH BC ，连接 NH ， BH ． ABC 是等边三角形， AD BC ，CH BC ， 30DAC DAB   ， AD CH∥ ， 30HCN CAD BAM    ， AM CN ， AB BC CH  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3  SASABM CHN ≌ ， BM HN  ， BN HN BH  ， B ， N，H共线时，BM BN NH BN   的值最小， 如图 2中，当 B，N，H共线时， ABM CHN ≌ ， 45ABM CHB CBH    ， 60ABD   ， 15DBM  ， 45 15 30MBN     ， 当BM BN 的值最小时， 30MBN  ∠ ， 故答案为30． 【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构 造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 4．6 【难度】0.65 【详解】试题分析：根据轴对称的性质可得 PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周长=P1P2． 解：∵点 P关于 OA、OB的对称点 P1、P2， ∴PM=P1M，PN=P2N， ∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2， ∵P1P2=6， ∴△PMN的周长=6． 故答案为 6． 考点：轴对称的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 5．B 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，作D点关于 AO的对称点G， 作D点关于OB的对称点H，连接GH交 AO于点 E，交OB于点 F，连接GO，OH，此时 DEF 的 周长最小，最小值为GH，证明 GOH 是等边三角形，即可求解；确定 DEF 的周长最小的情形 是解题的关键． 【详解】解：作D点关于 AO的对称点G，作D点关于OB的对称点H，连接GH交 AO于点 E， 交OB于点 F，连接GO，OH，DE，DF如图所示： 由对称性可知，GE ED ，DF FH ，OG OD OH  ， ∴ED DF EF GE EF FH GH      ， 当点G、 E、 F、H四点共线时 DEF 的周长最小，最小值为GH， ∵ GOA AOD  ， DOB BOH  ， ∴ 2GOH AOB   ， ∵ 30AOB  ， ∴ 60GOH  ， ∴ GOH 是等边三角形， ∴GH OD ， ∵OD m ， ∴ DEF 周长的最小值为m， 故选：B． 6． 4 【难度】0.65 【分析】根据题意过点C作CE AB 于点 E ,交 BD于点M ,过点M 作MN BC 于点N ,则CE即为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 CM MN 的最小值,再根据三角形面积公式求出CE的长,即为CM MN 的最小值． 【详解】解：过点C作CE AB 于点 E ,交 BD于点M ,过点M 作MN BC 于点N , , ∵ BD平分 ABC ,CE AB ,MN BC , ∴MN ME , ∴CE CM ME CM MN    的最小值, ∵三角形 ABC 的面积是16 , 8AB  , ∴ 1 16 2 AB CE   ,即 1 2 8 16CE   ,解得: 4CE  , ∴则CM MN 的最小值为 4 , 故答案为： 4． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题,角平分线性质,垂线段最短,三角形面积公式． 7．(1)2， 4 (2) 5 2 (3)0，2 【难度】0.65 【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出 1 1 1A BC△ ； （2）利用 ABC 所在矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可得出 ABC 的面积； （3）作点 A关于 y轴的对称点 A，连接 A B 交 y轴于点 P，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图所示， 1 1 1A BC△ 即为所求，  1 2, 4A  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 故答案为：2， 4 ； （2）解： ABC 的面积 1 1 1 52 3 1 2 1 2 1 32 2 2 2            ； （3）解：如图所示，作点 A关于 y轴的对称点 A，连接 A B 交 y轴于点 P， 则PA PA  ， PA PB PA PB A B     ， 因此点 P即为所求，  0,2P ， 故答案为：0，2． 【点睛】本题主要考查了作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题等，熟练掌握轴对称 的性质是解题的关键． 8．(1)见解析 (2)4 (3)7 【难度】0.4 【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得 AP=QE； （2）要使四边形 APQE的周长最小，由于 AE与 PQ都是定值，只需 AP+EQ的值最小即可．为 此，先在 BC边上确定点 P、Q的位置，可在 AD上截取线段 AF=DE=2，作 F点关于 BC的对 称点 G，连接 EG与 BC交于一点即为 Q点，过 A点作 FQ的平行线交 BC于一点，即为 P点， 则此时 AP+EQ=EG最小，然后过 G点作 BC的平行线交 DC的延长线于 H点，那么先证明 ∠GEH=45°，再由 CQ=EC即可求出 BP的长度； （3）要使四边形 PQNM的周长最小，由于 PQ是定值，只需 PM+MN+QN的值最小即可，作 点 P关于 AD的对称点 F，作点 Q关于 CD的对称点 H，连接 FH，交 AD于 M，交 CD于 N， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 连接 PM，QN，此时四边形 PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：证明：∵四边形 ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点 E是 CD的中点，点 Q是 BC的中点， ∴BQ=CQ=4，CE=2， ∴AB=CQ， ∵PQ=2， ∴BP=2， ∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP≌△QCE（SAS）， ∴AP=QE； （2）如图②，在 AD上截取线段 AF=PQ=2，作 F点关于 BC的对称点 G，连接 EG与 BC交 于一点即为 Q点，过 A点作 FQ的平行线交 BC于一点，即为 P点，过 G点作 BC的平行线交 DC的延长线于 H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设 BP=x，则 CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴6-x=2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 解得 x=4， ∴BP=4； （3）如图③，作点 P关于 AD的对称点 F，作点 Q关于 CD的对称点 H，连接 FH，交 AD于 M，交 CD于 N，连接 PM，QN，此时四边形 PQNM的周长最小，连接 FP交 AD于 T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形 PQNM的面积= 1 2 ×PF×PH- 1 2 ×PF×TM- 1 2 ×QH×CN= 1 2 ×8×8- 1 2 ×8×4- 1 2 ×6×3=7． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短 距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点 P和点 Q位置是解题的关键． 9．(1)见解析 (2)① 5 ,0 2       ；②点N的坐标为 5 ,0 2 2 a     ；③ 7 2 【难度】0.4 【分析】(1)作点A的对称点 A，连接 A B ，利用轴对称的性质和三角形三边关系即可得解； (2)①由最短距离的作图规律得出直线 A B ，求出直线 A B 与 x轴的交点坐标即可得解；②由轴 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 对称和平移的性质先作出点 N的位置，然后利用已知和全等三角形的性质求出 N点坐标即可； ③利用平移得    , 2 , 5 ,2A m B m    ，作出 A的对称点 ''A ，由（1）知， '' , ,A C B三点共线时，A C B C   最小，再利用 C点坐标即可得解． 【详解】（1）作点A的关于直线 l对称点 A，连接 A B ，线段 A B 与直线 l的交点M 的位置即为 所求画图，理由如下： 在直线 l上另取一点N，连接 AN，BN， 直线 l是线段 AA的对称轴，点M ，N在直线 l上， AM A M  ， AN AN  ， A B A M BM AM BM      ， A N BN AN BN   ， 在 A NB△ 中， A N BN A B    ， AN BN AM BM    ， 即 AM MB 最小； （2）①由（1）知作点A的关于 x轴对称点 A，连接 A B ，线段 A B 与 x轴的交点M ，此时 MA MB 最小， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵  0,2A ， ∴  0, 2A  ， 设 A B 的解析式为 y kx b  ， ∴ 5 2 2 k b b      ， ∴ 4 5 2 k b       ， ∴ A B 的解析式为 4 2 5 y x  ， 令 0y  ，则 40 2 5 x  ， ∴ 5 2 x  ∴ 5 ,0 2 M      ， 故答案为： 5 ,0 2       ； ②作点A的对称点 A，将点 B沿 x轴负方向平移 a个单位长度得到点 B，连接 A B 交 x轴于点M ， 点M 沿 x轴正方向平移 a个单位长度得到点N位置，此时MA NB 最小． 过点 B作 B C x  轴于点C， 90B CO  ，  0,2A ，  0, 2A  ， 2OA  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11  5,2B ，  5 ,2B a   ， 2B C  ， 5OC a  ， OA B C    ， B CO COA    ， OMA CMB  ， (AAS)OMA CMB  ≌△ △ ，  1 5 2 OM CM a    ，  1 55 2 2 2 aON OM MN a a        ， 点N的坐标为 5 ,0 2 2 a     ； ③如图，由平移知，    , 2 , 5 ,2A m B m    ，过点C作直线 l x∥ 轴，作 A关于直线 l的对称点 A为  , 4m  ，则 A C A C  , 由（1）知，当 , ,A C B 三点共线时， A C B C  最小，即 A C B C  最小， 此时，C为 ''A B中点， ∴ 5 1 2 m m     ， 2 5 2m    2 7m   7 2 m  ， 故答案为： 7 2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 11 将军饮马－最值问题 1．如图，在等边 ABC 中，D，E分别为边 BC， AB的中点， 3AD  ，且 P为 AD上的动点，连 接 EP， BP，则 BP EP 的最小值为 ． 2．如图，MN是等边三角形 ABC的一条对称轴，D为 AC的中点，点 P是直线 MN上的一个 动点，当 PC+PD最小时，∠PCD的度数是 ． 3．如图，等边 ABC 中，AD为 BC边上的高，点M 、N分别在 AD、AC上，且 AM CN ，连 BM、 BN，当 BM BN 最小时， MBN  度． 4．如图，点 P为∠AOB内一点，分别作出点 P关于 OA、OB的对称点 P1、P2，连接 P1P2交 OA于M，交 OB于 N，若 P1P2=6，则△PMN的周长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．如图， 30AOB  ，点 D在它内部，OD m ，E，F分别是OA OB， 上的两个动点．则 DEF 周 长的最小值为（ ） A．0.5m B．m C．1.5m D．2m 6．如图,钝角三角形 ABC 的面积是16 ,最长边 8AB  , BD平分 ABC ,点 ,M N分别是 BD , BC上的 动点,则CM MN 的最小值为 ． 7．在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点分别是  2 4A ， ，  11B ，，  3 2C ， ． (1)画出 ABC 关于 x轴对称的 1 1 1A BC△ ，并写出点 1A的坐标： 1A（ ， ）； (2)求 ABC 的面积； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (3)在 y轴上找一点 P（保留作图痕迹），使 PA PB 的值最小，请直接写出点 P的坐标：P （ ， ）． 8．在长方形 ABCD中，AB＝4，BC＝8，点 P、Q为 BC边上的两个动点（点 P位于点 Q的左 侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点 E为 CD边上的中点，当 Q移动到 BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点 E为 CD边上的中点，在 PQ的移动过程中，若四边形 APQE的周长最小时， 求 BP的长； (3)如图③，若 M、N分别为 AD边和 CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当 BP ＝3，且四边形 PQNM的周长最小时，求此时四边形 PQNM的面积． 9．综合与实践 请利用所学知识解决下列问题： (1)要在一条笔直道路 l的路边建立一个热力站，向道路 l同侧的 A，B两个小区同时铺设管道 供暖．请先在图 1中确定热力站的位置 M，使热力站到 A，B两个小区铺设的供热管道用料最 省，再说明理由．（提示：在直线 l上另取一点 N，连接 AN BN， ，证明 AM BM AN BN   ）； (2)在平面直角坐标系中有两点    0 2 5 2A B，， ， ． ①如图 2，点 M是 x轴上的点，当MA MB 最小时，点 M坐标为__________；（直接写出答 案） ②如图 3，点 M，N在 x轴上，且  5MN a l a   ，当MA NB 最小时，求点 N的坐标；（请用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 含 a的式子表示） ③如图 4，将点 A,B都沿 x轴负半轴平移 m个单位长度，对应点分别为 A B ， ，点  1 1C  ， ，连 接CA CB ， ，当CA CB  最小时，m的值为__________．（直接写出答案）