考点8 二次根式的性质与分母有理化-北师大版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 8 二次根式的性质与分母有理化 1．若二次根式 2 x 有意义，则 x的取值范围是（ ） A． 2x  B． 2x  C． 2x  D． 2x  2．已知 22 ( 1) 0x y    ，则 2020( )x y  ． 3．已知  22 | 1| 0a b    ，则函数  2 1 3y a x b   与坐标轴围成的三角形的面积为 . 4．已知 a是 13的小数部分，则  6a a 的值为( ) A． 4 B． 13 C．4 13 D．3 13 6 5．估计8 13 的值应在（ ） A．3和 4之间 B．4和 5之间 C．5和 6之间 D．6和 7之间 6．综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ��22 = 1 2 + 1 = 2，�1 = 1 2 （�1是 Rt△�1�2�的面积）；��32 = 2 2 + 1 = 3，�2 = 2 2 （�2是 Rt△ �2�3�的面积）；��42 = 3 2 + 1 = 4，�3 = 3 2 （�3是 Rt△�3�4�的面积）；… (1)请你直接写出��82 = ，�8 = ； (2)请用含有 n（n为正整数）的式子填空：���2 = ，�� = ； (3)在线段��1、��2、��3、……、��2023中，长度为正整数的线段共有 条； (4)我们已经知道 13 + 3 13 − 3 = 4，因此将 813−3分子、分母同时乘以 13 + 3 ，分母 就变成了 4，请仿照这种方法求 1 �1+�2 + 1 �2+�3 + 1 �3+�4 +⋯+ 1 �2022+�2023 的值． 7．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”， 如： 2 + 3 2 − 3 = 1， 5 + 2 ( 5 − 2) = 3，它们的积不含根号，我们说这两个二 次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解： 如 1 3 = 1× 3 3× 3 = 3 3 ， 2+ 3 2− 3 = 2+ 3 2+ 3 2− 3 2+ 3 = 7 + 4 3．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把 分母中的根号化去属于分母有理化． 解决问题： （1）5 + 10的有理化因式可以是___________；（写出一个即可） 2 3 3分母有理化得 ____________； （2）①计算： 2 2 2 2... 1 3 3 5 5 7 2021 2023        ； ②已知： 5 2 5 2 x   ， 5 2 5 2 y   ，求�2 − �2的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 8 二次根式的性质与分母有理化 答案解析 1．C 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0即可求解． 【详解】根据题意得： 2 0x  ， 解得： 2x  ． 故选 C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次 根式无意义． 2．1 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性列式求出 x、y 的值，再代入代数式 2020( )x y 求值即 可． 【详解】 22 ( 1) 0x y    ， ∴ 2 0 1 0 x y      ， ∴ 2 1 x y     ． ∴ 2020 2020( ) ( 2 1) 1x y     ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查非负数的性质以及代数式求值，了解“两个非负数的和为 0，那么这两个数 一定都为 0”是解答本题的关键． 3． 9 2 / 14 2 /4.5 【分析】先利用平方和绝对值的非负性，求出 a、b的值，进而得到函数解析式，再求出一次 函数与坐标轴的交点，即可得到围成的三角形的面积． 【详解】解：  22 | 1| 0a b    ， 2 0a   ， 1 0b   ， 2a  ， 1b   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函数解析式为 3y x  ， 函数图象如下图： 令 0x  ，则 = 3y  ；令 0y  ，则 3x  ，  3,0A ，  0, 3B  ， 3OA  ， 3OB  ， 1 93 3 2 2 S     ， 故答案为： 9 2 ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，正确得到一次函数解析式 是解题关键． 4．A 【分析】估算无理数 13的大小，确定 a的值，再代入计算即可． 【详解】解： 3 13 4 ，  13的整数部分为3，小数部分为 13 3 ,即a  13 3 ,        13 3 13 3 6 13 3 13 3 13 9 4          故选：A． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，正确的估算 13的大小是解题的 关键． 5．B 【分析】先估算出3 13 4  ，进而可得 4 8 13 5   ，即可. 【详解】解：∵9 13 16  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∴3 13 4  ， ∴ 4 8 13 5   ，即8 13 的值应在 4和 5之间； 故选：B. 【点睛】本题考查了无理数的估算，正确得出3 13 4  是解题关键. 6．(1)8， 8 2 (2)n， � 2 (3)44 (4)2 2023 − 2 【分析】（1）根据已有的等式，直接写出结果即可； （2）根据已有的等式，抽象出相应的数字规律即可； （3）根据边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数，分析 2023 最接近哪个 正整数的平方即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，可得：��82 = 7 2 + 1 = 8, �8 = 8 2 ； 故答案为：8， 8 2 ； （2）由题意，得：���2 = � − 1 2 + 1 = �, �� = � 2 ； 故答案为：n， � 2 ； （3）线段��1、��2、��3、……、��2023的长度分别是 1, 2, 3, 4⋯ 2023，长度为正整 数的数字分别为 1,2,3,4⋯�， ∵442 = 1936,452 = 2025， ∴� = 44； 故答案为：44 （4） 1 �1+�2 + 1 �2+�3 + 1 �3+�4 +⋅⋅⋅+ 1 �2022+�2023 = 1 1 2 + 2 2 + 1 2 2 + 3 2 + 1 3 2 + 4 2 + ⋯⋯+ 1 2022 2 + 2023 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ = 2 1 + 2 + 2 2 + 3 + 2 3 + 4 + ⋯⋯+ 2 2022 + 2023 = 2 × 2 − 1 2 + 1 2 − 1 + 3 − 2 3 + 2 3 − 2 +⋯ + 2023 − 2022 2023 + 2022 2023 − 2022 = 2 × 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 +⋯⋯+ 2023 − 2022 = 2 × 2023 − 1 = 2 2023 − 2． 【点睛】本题考查数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，以及二次根式的化简，通过题干 得到���2 = �，�� = � 2 ，是解题的关键． 7．（1）5 − 10（答案不唯一），2 3 9 （2）① 2023 − 1；②−144 5 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，化简求值． （1）根据有理化因式的定义，以及分母有理化的方法，求解即可； （2）①先将式子进行有理化，再进行加减运算即可；②先将�, �进行分母有理化，进而求出� + �, � − �的值，求解即可． 【详解】解：（1）∵ 5 + 10 5 − 10 = 25 − 10 = 15， ∴5 + 10的有理化因式可以是 5 − 10； 2 2 3 2 3 93 3 3 3 3     ； 故答案为：5 − 10（答案不唯一），2 3 9 ； （2）① 2 2 2 2... 1 3 3 5 5 7 2021 2023        = 2 3 − 1 1 + 3 3 − 1 + 2 5 − 3 3 + 5 5 − 3 + 2 7 − 5 5 + 7 7 − 5 + . . . 2 2023 − 2021 2021 + 2023 2023 − 2021 = 3 − 1 + 5 − 3 + 7 − 5 + . . . + 2023 − 2021 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ = 2023 − 1； ②� = 5−2 5+2 = 5−2 2 5+2 5−2 = 9 − 4 5，� = 5+2 5−2 = 5+2 2 5−2 5+2 = 9 + 4 5， ∴� + � = 18, � − � =− 8 5， ∴�2 − �2 = � + � � − � = 18 × −8 5 =− 144 5．