考点5 将军饮马——最值问题-北师大版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 5 将军饮马——最值问题 1．小刚今天准备去河里打一桶水送去王奶奶家，如图，小刚的家在 A 处，王奶奶的 家在 B 处，A 、B 到河岸的距离分别为 AC和 BD，且 AC BD ，若点 A 到河岸 CD的中点 的距离 为 1000 米，则小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是多少？ 2．要在马路旁边设一个共享单车投放点，向 A、B两家公司提供服务，投放点应设在什么地 方，才能使从 A、B到它的距离之和最短?小明根据实际情，以马路为 y轴建立了如图所示的平 面直角坐标系，A点的坐标为  1,2 ，B点的坐标为  4,7 ，则从 A、B两点到投放点距离之和的 最小值是 ． 3．如图，在Rt ABO△ 中， 90OAB  ，  3,3B ，点D在边 AB上， 2AD BD ，点C为OA的中点， 点 P为边OB上的动点，若使四边形 PCAD周长最小，则点 P的坐标为（ ）． A． 3 3, 2 2       B．  2, 2 C． 9 9,5 5       D． 4 4, 3 3       4．如图，在平面直角坐标系中， 3OA OB  ，P为OA边上一动点，Q为 AB边上一动点，点C的 坐标为  0, 2 ．当 CPQ 的周长最小时，点 B到直线 PQ的距离为 5 26 26 ，则 CPQ 的周长的最小值 为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5．如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ， 3AC  ， 4BC  ，以 BC为边在 ABCV 外作 DBC△ ，且 1DBCS  ， 则： （1）点 D到 BC的距离为 ． （2） AD BD 的最小值是 ． 6．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军 饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点 P使得 PA PB 最小？ 【问题解决】 作点A关于直线的对称点 A，连接 PA，则 PA PA  ，所以 PA PB PA PB    ，当 A P B、 、 三点共 线的时候， PA PB A B   ，此时为最小值（两点之间线段最短） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 【应用模型】 （1）如图，在Rt ABO△ 中， 90OBA  ，  4,4A ，点C在边 AB上，且 : 1: 3AC CB  ，点D为OB 的中点，点 P为边OA上的动点，当点 P在OA上移动时，求使四边形 PDBC周长最小的点 P的坐 标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的顶点 B在原点，点 A C、 在坐标轴上，点D的 坐标为  6,4 ， E为CD的中点，点P Q、 为 BC边上两个动点，且 2PQ  ，要使四边形 APQE的周 长最小，求点 P的坐标？ （3）如图，矩形 ABCD中， 10AB  ， 5BC  ，点E F G H、 、 、 分别在矩形 ABCD各边上，且 AE CG ， BF DH ，求四边形 EFGH 周长的最小值？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数  0y kx k  的图象与 x轴相交所成的锐角为70，定点A的坐标为 0,4 ， P为 y轴上的一个动点，M N、 为函数  0y kx k  的图象上的两个动点，则 AM MP PN  的最小 值为____________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 5 将军饮马——最值问题 答案解析 1．小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是 2000米 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定和性质．掌握轴对称的性质是解 题的关键．作点 A关于CD的对称点 A，连接 A B 与CD相交于 M，则小刚从 A 处到河里 M处 打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小．根据全等三角形的判定和性质结合 A到河岸CD的 中点的距离为 1000米，即可求出 A B 的值． 【详解】解：如图，作点 A关于CD的对称点 A，连接 A B 与CD相交于 M，连接 AM ． 根据轴对称可知： AM AM ， ∴ AM BM A M BM   ， ∵两点之间线段最短， ∴ AM BM  最小，即 AM BM 最小， 即小刚从 A 处到河里 M处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小， 根据作图结合题意可知 AMC BMD   ， 90A CM BDM     ， AC BD A C  ， ∴  AASA CM BDM ≌ ， ∴ A M BM CM DM  ， ， ∴M为CD的中点， ∵A到河岸CD的中点的距离为 1000米， ∴ 1000AM  米， ∴ 1000AM A M BM   米 ∴ 1000 1000 2000A B    （米）． 答：小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是 2000米． 2．5 2 【分析】作点 A关于 y轴的对称点 A，连接 BA交 y轴于 P，连接 PA，此时 PA PB 的值最小， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 利用两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：作点 A关于 y轴的对称点 A，连接 BA交 y轴于 P，连接 PA，此时 PA PB 的值最 小． ∵A点的坐标为  1,2 ， ∴  1,2A  ， ∵B点的坐标为  4,7 ， ∴    2 24 1 7 2 5 2PA PB PA PB A B          ； 即从 A、B两点到投放点距离之和的最小值是5 2； 故答案为：5 2． 【点睛】本题考查了利用轴对称求两线段和的最小值以及勾股定理等知识，正确确定最小时点 P的位置是关键． 3．C 【分析】本题考查了轴对称一最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式， 两直线的交点问题，作点C关于OB的对称点C，连接PC，若使四边形 PCAD周长最小，只要 PC PD  最小，当C P D、 、 三点共线时， PC PD  最小， 设直线CD 交OB于 E，则点 P与 E重 合时，四边形 PCAD周长最小，利用待定系数法求出直线CD 和OB的解析式，联立方程组即可 求出点 P坐标，正确找出点 P的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，作点C关于OB的对称点C，连接 PC， ∵  3,3B ， 90OAB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∴ 3OA AB  ， ∴ 45BOA  ， ∴点C在 y轴上， ∵点C为OA的中点， ∴ 1 3 2 2 OC OC OA   ， ∴ 30, 2 C      ， ∵点C关于OB的对称点C， ∴ 45COB  ，CP PC ， ∴若使四边形 PCAD周长最小，只要 PC PD  最小， 当C P D、 、 三点共线时， PC PD  最小， 设直线CD 交OB于 E，则点 P与 E重合时，四边形 PCAD周长最小， ∵ 2AD BD ， ∴  3,2D ， 设直线CD 的函数解析式为 y kx b  ，把 30, 2 C      ，  3,2D 代入得， 3 2 3 2 b k b       ， 解得 1 6 3 2 k b       ， ∴直线CD 的函数解析式为 1 3 6 2 y x  ， 设直线OB的解析式为 y mx ，把  3,3B 代入得， 3 3m ， 解得 1m  ， ∴直线OB的解析式为 y x ， 联立函数解析式得， 1 3 6 2 y x y x       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 解得 9 5 9 5 x y       ， ∴点 P的坐标为 9 9, 5 5       ， 故选：C． 4． 26 【分析】本题考查了坐标与图形、轴对称的性质、勾股定理，由题意得出 2OC  ， 1BC  ，作 点C关于OA的对称点 1C ，点C关于 AB的对称点 2C ，连接 1 2C C 交OA于 P，交 AB于Q，连接CP、 CQ，由轴对称的性质可得： 1CP C P ， 1 2OC OC  ， 2 1BC BC  ， 2CQ QC ， 从而得出此时 CPQ 的周长 1 2 1 2PC CQ PQ PC C Q PQ C C       ，为最小值，作 BM PQ 于M ，则 5 26 26 BM  ， 再由勾股定理求出 1C M ， 2C M ，即可得出答案． 【详解】解： ∵点C的坐标为  0, 2 ， ∴ 2OC  ， 1BC  ， 如图，作点C关于OA的对称点 1C ，点C关于 AB的对称点 2C ，连接 1 2C C 交OA于 P，交 AB于Q， 连接CP、CQ， ， 由轴对称的性质可得： 1CP C P ， 1 2OC OC  ， 2 1BC BC  ， 2CQ QC ， ∴ 1 1 1 2 2 5BC BC OC OC       ，此时 CPQ 的周长 1 2 1 2PC CQ PQ PC C Q PQ C C       ，为最 小值， 作 BM PQ 于M ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∵当 CPQ 的周长最小时，点 B到直线 PQ的距离为 5 26 26 ， ∴ 5 26 26 BM  ， ∴ 2 21 1 25 26 26 C M BC BM   ， 2 22 2 26 26 C M BC BM   ， ∴ 1 2 1 2 26C C C M C M   ， ∴ CPQ 的周长的最小值为 26， 故答案为： 26． 5． 0.5 4 2 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质、三角形的面积公式及勾股定 理是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）先根据轴对称的性质确定最小值，再根据勾股定理求解． 【详解】解：（1）设 D到 BC的距离为 h， ∵ 1 1 2DBC S BC h   △ ， 解得： 0.5h  ， 故答案为：0.5； （2）延长 AC到 M，使得 0.5CM  ，延长CM到 F，使得 0.5MF CM  ，过 M作MN AF ， 作 B关于MN的对称点 E，连接 AE交MN于点 D，连接 EF， 则BD DE ， 1BE CF  ，BE BC ， ∴ AD BD AD DE AE    ，四边形BCFE为矩形， ∴ 4EF BC  ， ∴ 2 2 4 2AE AF EF   ， 故答案为：4 2 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6．（1） 8 8, 3 3 P      ；（ 2） 8 ,0 3       ；（3）10 5 ；【拓展延伸】: 2 3． 【分析】（1）作D关于直线OA的对称点 E，连接 EC交OA于 P，则此时四边形 PDBC周长最小， � 0,2 ，求出直线 EC的解析式为 1 2 4 y x  ，联立 1 2 4 y x y x      求解即可； （ 2）点A向右平移 2个单位到M ，点 E关于 BC的对称点 F , 连接MF , 交 BC于Q，此时MQ EQ 最小，要使四边形 APQE的周长最小，只要 AP EQ 最小即可，即 AP EQ MQ EQ   ，过M 作 MN BC 于N，设CQ x ，则 6 2 4NQ x x     ，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （3）作点 E关于 BC的对称点 E , 连接 E G 交 BC于点 F，此时四边形 EFGH 周长取最小值，过 点G作GG AB  于点G，由勾股定理和两点之间线段最短即可求解； 【拓展延伸】：直线OC y、 轴关于直线 y kx 对称，直线OD、直线 y kx 关于 y轴对称, 点 A是 点A关于直线 y kx 的对称点，作 A E OD  垂足为 E，交 y轴于点 P交直线 y kx 于M ，作 PN ^ 直线 y kx 垂足为N，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵在Rt ABO△ 中， 90OBA  ，  4,4A ， ∴ 4AB OB  ， 45AOB  ， ∵ : 1: 3AC CB  ，点D为OB的中点， ∴ 3BC  ， 2OD BD  ， ∴  2,0D ，  4,3C ， 作D关于直线OA的对称点 E，连接 EC交OA于 P，则此时四边形 PDBC周长最小，� 0,2 ， ∵直线OA经过点  4,4A ， ∴直线OA的解析式为 y x , 设直线EC的解析式为 y kx b  ， ∴ 2 4 3 b k b     ，解得 1 4 2 k b      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∴直线 EC的解析式为 1 2 4 y x  ； 联立 1 2 4 y x y x      ，解得 8 3 8 3 x y       ， ∴ 8 8, 3 3 P      ； （ 2）解：点A向右平移 2个单位到M ，点 E关于 BC的对称点 F , 连接MF , 交 BC于Q，此时 MQ EQ 最小， ∴ 2PQ  ， 2DE CE  ， 2 26 2 2 10AE    ， ∴要使四边形 APQE的周长最小，只要 AP EQ 最小即可，即 AP EQ MQ EQ   ，过M 作MN BC 于N， 设CQ x ，则 6 2 4NQ x x     ， ∵ MNQ FCQ ∽ ， ∴ MN NQ CF CQ  ， ∵ 4MN AB  ， 2CF CE  ，CQ x ， 4QN x  ， ∴ 4 4 2 x x   ，解得： 4 3 x  ， ∴ 4 86 2 3 3 BP     ， 故点 P的坐标为： 8 ,0 3       ， 故答案为： 8 ,0 3       ； （3）作点 E关于 BC的对称点 E , 连接 E G 交 BC于点 F，此时四边形 EFGH 周长取最小值，过 点G作GG AB  于点G，如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∵ AE CG ，BE BE ， ∴ 10E G AB    ， ∵ 5GG AD   ， ∴ 2 2 5 5     E G E G GG ， ∴四边形 EFGH 的周长为2 10 5E G  ； 【拓展延伸】：如图所示， 直线OC y、 轴关于直线 y kx 对称，直线OD、直线 y kx 关于 y轴对称, 点 A是点A关于直线 y kx 的对称点，作 A E OD  垂足为 E，交 y轴于点 P交直线 y kx 于M ，作PN ^ 直线 y kx 垂 足为N， ∵ PN PE ， AM AM ， ∴ AM PM PN A M PM PE A E       最小（垂线段最短）， ∵正比例函数  0y kx k  的图象与 x轴相交所成的锐角为70， ∴ 20AOM  ， 在Rt A EO 中， 90A EO  ， 4OA  ， 3 60A OE AOM     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∴ 1 2 2 OE OA  ， ∴ 2 2 2 24 2 2 3A E OA OE      ， ∴ AM MP PN  的最小值为2 3， 故答案为： 2 3． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题，垂线段最短，两点之间线段最短，直角三角形30度 角的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一次函数的性质，熟练掌握知 识点的应用是解题的关键．