专题03 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题03 勾股定理 【考点01】一直角三角形的两边，求第三边长 【考点02】等面积法斜边上的高 【考点03】作无理数的线段 【考点04】勾股定理的证明 【考点05】勾股定理的应用 【考点06】直角三角形的判定 【考点07】勾股定理的逆定理的运用 【考点08】勾股数的应用 【考点09】勾股定理实际问题 【考点10】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 【考点11】平面展开图的最短路径问题 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点3：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点4：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点5：勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题。 【考点01】一直角三角形的两边，求第三边长 【典例1】一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（    ） A．5 B． C． D．5或 【变式1-1】已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（   ） A．10 B．10或 C． D．或 【变式1-2】如图，直角三角形中未知边的长度为（    ） A． B． C．5 D．7 【考点02】等面积法斜边上的高 【典例2】如图，在中，已知，则边上的高为（    ） A．2.4cm B．3cm C．4.8cm D．无法确定 【变式2-1】在中，，，，则斜边上的高等于（    ） A．5 B． C．12 D． 【变式2-2】如图，在中，，，垂足为D．若，，则CD的长为（    ） A． B． C． D．5 【考点03】作无理数的线段 【典例3】如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ． 【变式3-1】如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 【变式3-2】如图，在数轴上点表示的实数是 . 【变式3-3】如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【考点04】勾股定理的证明 【典例4】通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 【变式4-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【变式4-2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【变式4-3】如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B． (1)求证：； (2)设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 【变式4-4】如图，在等腰直角中，，，，垂足分别为E、C． (1)求证：； (2)连接，若，，，请利用此图验证勾股定理． 【考点05】勾股定理的应用 【典例5】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【变式5-1】如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ． 【变式5-2】如图，以直角三角形三边长为边作正方形，100和36分别代表其中两个正方形的面积，则A的面积为 ． 【变式5-3】图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 【考点06】直角三角形的判定 【典例6】下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，7，5 C．2，3，4 D．1，2，2 【变式6-1】在下列条件下不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【考点07】勾股定理的逆定理的运用 【典例7】如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【变式7-1】如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．求：四边形的面积． 【变式7-2】如图所示的一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 【变式7-3】在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【考点08】勾股数 【典例8】下列各组数中，是勾股数的是(   ) A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10 【变式8-1】下列各组数是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，，52 D．，， 【变式8-2】下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【考点09】勾股定理的实际问题 【典例9】如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域， (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若A城受到台风的影响，求A城受台风影响的时间有多长？ 【变式9-1】如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100． (1)求B，C间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【变式9-2】如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． (1)求梯子顶端A与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长． 【变式9-3】如图，铁路上两点相距，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？ 【变式9-4】港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）    (1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【变式9-5】如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 【变式9-6】如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 【考点10】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 【典例10】如图，在中，， ， ，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 【变式10-1】如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【变式10-3】如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 【考点11】平面展开图的最短路径问题 【典例11-1】如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 【典例11-2】如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【变式11-1】如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【变式11-3】如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 【变式11-4】一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为 ． 【变式11-5】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【变式11-6】如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是 ，确定最短路径的依据是 ． 一、单选题 1．三角形的三边a，b，c满足，则此三角形（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D．8 6．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（   ）    A． B． C． D． 7．意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．若直角三角形的三边长为5，12，，则的值为 ． 9．如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ． 10．如图，中，，是高，，，则的值为 ． 11．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺． 12．如图，已知，过点P作，且；再过点作；且；又过点作且；又过点作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么 ． 三、解答题 13．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 14．某工厂要加工一个零件的形状如图所示，按要求这个零件中必须是直角．工人师傅测量得为直角，这个零件的其余尺寸如图所示．    (1)这个零件符合要求吗？ (2)求四边形的面积． 15．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理 【考点01】一直角三角形的两边，求第三边长 【考点02】等面积法斜边上的高 【考点03】作无理数的线段 【考点04】勾股定理的证明 【考点05】勾股定理的应用 【考点06】直角三角形的判定 【考点07】勾股定理的逆定理的运用 【考点08】勾股数的应用 【考点09】勾股定理实际问题 【考点10】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 【考点11】平面展开图的最短路径问题 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点3：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点4：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点5：勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题。 【考点01】一直角三角形的两边，求第三边长 【典例1】一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（    ） A．5 B． C． D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当直角三角形的两直角边分别为3和4时；当为斜边，为直角边时；分别利用勾股定理计算即可． 【详解】解：当直角三角形的两直角边分别为3和4时，则第三边长为， 当为斜边，为直角边时，则第三边长为， 综上所述，第三边的长为5或， 故选：D． 【变式1-1】已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（   ） A．10 B．10或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解． 【详解】解：当边长为8的边是直角边时， 第三边为斜边，边长为：； 当边长为8的边是斜边时， 第三边为直角边，边长为：； 因此第三边的长是10或， 故选B． 【变式1-2】如图，直角三角形中未知边的长度为（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 由勾股定理得：，解方程即可． 【详解】由勾股定理得： 所以， ，负值已舍去． 故选：B 【考点02】等面积法斜边上的高 【典例2】如图，在中，已知，则边上的高为（    ） A．2.4cm B．3cm C．4.8cm D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过A作于D，设边上的高为h，利用等腰三角形三线合一性质求出，利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过A作于D，设边上的高为h， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 【变式2-1】在中，，，，则斜边上的高等于（    ） A．5 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，运用直角三角形面积的计算方法求出是解决问题的关键． 【详解】解：如图： ， 又∵， ∴， 故选D． 【变式2-2】如图，在中，，，垂足为D．若，，则CD的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，即． 故选C． 【考点03】作无理数的线段 【典例3】如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得， ， 则点表示的数为． 故答案为：． 【变式3-1】如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，先用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∵点在数轴上对应的点是， ∴点表示的实数是， 故答案为：． 【变式3-2】如图，在数轴上点表示的实数是 . 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点的位置可得答案，解题时注意点在数轴的正半轴上． 【详解】解：∵半径, ∴点表示的数为， 故答案为：． 【变式3-3】如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离较大的数较小的数，是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，即为的长，再根据两点间的距离公式便可求出的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为． 故答案为：． 【考点04】勾股定理的证明 【典例4】通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方式的应用： （1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【详解】（1）证明：大正方形的面积为，一个直角三角形的面积为，小正方形的面积为， ； （2）解：正方形面积为49，正方形的面积为25， ，， 一个直角三角形的面积为：， ， ， ． 【变式4-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)阴影部分的面积为27． 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 【变式4-2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B． (1)求证：； (2)设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质，准确识图，找出面积相等的图形是解决问题的关键． （1）先证和全等得，然后根据可得出结论； （2）由（1）可知，则，，，进而得四边形的面积正方形的面积，即，而，，，据此勾股定理得以证明． 【详解】（1）证明：如图所示： ，， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）证明：由（1）可知：， ，，， 四边形的面积正方形的面积， ， 即， ， ，， 即， 整理得：． 【变式4-4】如图，在等腰直角中，，，，垂足分别为E、C． (1)求证：； (2)连接，若，，，请利用此图验证勾股定理． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的证明方法，熟练的利用图形面积证明勾股定理是解本题的关键； （1）先证明，，，即可得到结论； （2）如图，连接，记，的交点为，结合或，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，，， ∴，，， 如图，连接，记，的交点为， ∴或， ∴， 整理得：． 【考点05】勾股定理的应用 【典例5】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】72 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理和正方形的性质可知， ， ， ， ， 正方形A、B、C、D、E、F的面积之； 故答案为：72． 【变式5-1】如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键，属于基础题． 根据勾股定理直接代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式5-2】如图，以直角三角形三边长为边作正方形，100和36分别代表其中两个正方形的面积，则A的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了正方形各边相等，各内角为直角的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，根据两个正方形的面积计算正方形的边长，计算的边长即为直角三角形的直角边和斜边，根据勾股定理可以计算直角边，即正方形A的边长. 【详解】解：因为以两个边长的正方形面积为100和36，则边长为和， 所以直角边的平方， ∴A的面积为64， 故答案为：64． 【变式5-3】图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由正方形的面积公式可知，，再由勾股定理即可得解． 【详解】解：由正方形的面积公式可知，， 根据勾股定理，， ， 故答案为：． 【考点06】直角三角形的判定 【典例6】下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，7，5 C．2，3，4 D．1，2，2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点.根据勾股定理的逆定理判断即可. 【详解】解：A、∵，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； B、∵，∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式6-1】在下列条件下不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理，可以判定A、B，根据角度关系及三角形内角和，可判断C、D， 本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项不合题意； 故选：C． 【变式6-2】下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴A不符合题意； ∵，构不成三角形， ∴B不符合题意； ∵，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，构成三角形， ∴D符合题意； 故选D． 【变式6-3】如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ，，， 故答案为：，，； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）设边上的高为， 的面积， ， ， 故答案为： 【考点07】勾股定理的逆定理的运用 【典例7】如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【变式7-1】如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．求：四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，在中，利用勾股定理可求出的长；由勾股定理的逆定理可证出是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴四边形的面积． 【变式7-2】如图所示的一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 【答案】这块地的面积为24米 【分析】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用，关键是作出辅助线得到直角三角形．连接，利用勾股定理可以得出和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积． 【详解】解：连接． 由勾股定理可知 （米． 又， 是直角三角形， 故所求面积的面积的面积（米）． 答：这块地的面积为24米． 【变式7-3】在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 【考点08】勾股数 【典例8】下列各组数中，是勾股数的是(   ) A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式8-1】下列各组数是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，，52 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义、勾股定理的逆定理，根据勾股数的定义“凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数”，逐项验证即可，掌握勾股数的定义、计算判断是解题的关键． 【详解】解：A、，故该组数不是勾股数，不符合题意； B、，故该组数是勾股数，符合题意； C、，故该组数不是勾股数，不符合题意； D、，故该组数不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，勾股数是应该符合且，，是整数，据此作答即可，熟练掌握勾股数的特点和判定方法是解题的关键． 【详解】、，和不是整数，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：C． 【考点09】勾股定理的实际问题 【典例9】如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域， (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若A城受到台风的影响，求A城受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)A城受到这次台风的影响，理由见解析 (2)3小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． （1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若则城不受影响，否则受影响； （2）点到直线的长为的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【详解】（1）解：由点向作垂线，垂足为， 在中，，，则， 因为，所以城要受台风影响； （2）设上点，，则还有一点，有． 因为，所以是等腰三角形， 因为， 所以是的中点，则， 在中，，， 由勾股定理得，， 则， 遭受台风影响的时间是：（小时）． 【变式9-1】如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100． (1)求B，C间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1)B，C间的距离为80 (2)这辆小汽车没有超速 【分析】】此题主要考查了勾股定理的应用； （1）根据勾股定理求出BC的长； （2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案． 【详解】（1）解：在中， ∵， ∴， 答：B，C间的距离为80； （2）这辆小汽车没有超速． 理由：∵小汽车速度为， ， ∴这辆小汽车没有超速． 【变式9-2】如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． (1)求梯子顶端A与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长． 【答案】(1)梯子顶端A与地面的距离的长为24米 (2)梯子的下端B滑动的距离的长为8米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理得出的长； （2）利用勾股定理得出的长进而得出答案． 【详解】（1）由勾股定理可得： 24（米）， 答：梯子顶端A与地面的距离的长为24米； （2）∵梯子的顶端A下滑到E，使， ∴（米）， ∴ 15（米）， 则（米）， 答：梯子的下端B滑动的距离的长为8米． 【变式9-3】如图，铁路上两点相距，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵要使两村到站的距离相等， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∵ ∴， 设，则． ∵， ∴， 解得：， ∴． 答：站应建在离站处． 【变式9-4】港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）    (1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意得到，再利用勾股定理求出，即可解题； （2）利用勾股定理求出，根据题意得到，进而得到，再利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，，， 工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ， ， 此时游轮距离岸边还有； （2）解：由题知，，，， ， 游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点， ， ， ， ∴， 工作人员手中的绳子被收上来． 【变式9-5】如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题． （1）根据题意可知构成直角三角形，设，根据勾股定理即可求得的长度； （2）过点D作，垂足为F，于是构成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度． 【详解】（1）设旗绳的长度为，则旗杆的长为， 解得：，即． 答：旗绳的长度为． （2）由题意可知： 过点D作，垂足为F， 则， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 【变式9-6】如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-垂直平分线，勾股定理的应用： （1）连接，作的垂直平分线交于点E，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所求作； （2）设图书室E到居民区A的距为，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求作． （2）解：设图书室E到居民区A的距为，即，， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得： 图书室E到居民区A的距离为． 【考点10】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 【典例10】如图，在中，， ， ，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)15 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ， ∴ ， 设 ，由折叠可得，， ， ， ∴， ，， 在中，可有， 即，解得， ∴ ， 故的长度为3； （2）解：结合（1），可知 ， ，， ∴ ， 故的面积为15． 【变式10-1】如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，得，；根据，解出，可得的值，根据直角三角形，利用勾股定理，即可求出． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是沿折痕折叠得到的， ∴，， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴在直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用． 【变式10-2】如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【答案】/0.875 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 设，则，由折叠可得：，根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式10-3】如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 故答案为：． 【考点11】平面展开图的最短路径问题 【典例11-1】如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线． 【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线．    但有三种情况： 当：，． ． 当，． ． 当， ． ∵ ∴第三种情况最短． 故选：C． 【典例11-2】如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质．熟练掌握勾股定理的应用，轴对称的性质是解题的关键． 如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，，则，，可知当三点共线时，蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离，为的长，由题意知，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，， ∴， ∴， 当三点共线时，蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离，为的长， 由题意知，，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【变式11-1】如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即， 故选：A． 【变式11-2】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 【变式11-3】如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题、勾股定理，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度，由题意得出，，再由勾股定理计算得出的长即可得解． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 【变式11-4】一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 【变式11-5】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ， ； 如图2， ，，，， ， ， ， 蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为． 故答案为：10． 【变式11-6】如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是 ，确定最短路径的依据是 ． 【答案】 25 两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，两点之间，线段最短，把台阶展开，根据两点之间，线段最短可知，线段的长即为蚂蚁所爬的最短路径，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：把台阶展开如下： 由题意得，， ∴， ∴蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是，依据是两点之间，线段最短， 故答案为：25；两点之间，线段最短． 一、单选题 1．三角形的三边a，b，c满足，则此三角形（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，将所给的等式化简可得，利用勾股定理的逆定理可求解． 【详解】解：三角形的三边a，b，c满足， ， ， 三角形为直角三角形， 故选：B． 2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故A选项可以证明勾股定理； B、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理， 故选：D． 3．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．明确少走的路长为是解题的关键． 【详解】解：如图，点为长方形的顶点，点和点都在长方形的边上且，， ∴， ∴， ∴他们少走的路长为：． 故选：D． 4．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故选：B 5．如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以， 所以， 从而得到， 然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长，进而求出的长． 【详解】连接， 如图 ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 6．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 故选D 7．意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①、②、③、④正确， 故选：D 二、填空题 8．若直角三角形的三边长为5，12，，则的值为 ． 【答案】119或169 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，可有， 当长为的边为直角边时，可有， 综上所述，的值为119或169． 故答案为：119或169． 9．如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，根据勾股定理可得，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为， 根据题意，可得， ∵所有三角形都是直角三角形， ∴， ∴， 即正方形的面积为18． 故答案为：18． 10．如图，中，，是高，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，由题意可得，由勾股定理得出，同理得出，最后再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理的应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键． 将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知尺，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故水深12尺，芦苇长13尺， 故答案为：12． 12．如图，已知，过点P作，且；再过点作；且；又过点作且；又过点作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，先求出，再利用勾股定理求出，进而求出，同理可得，进而找到规律，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得 在中，由勾股定理得 ∴， 同理可得：， …… 以此类推，可知 ∴ 故答案为：． 三、解答题 13．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为21.6米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米)， 答：风筝的高度为21.6米； （2）解：由题意得，米， 米， （米)， （米)， 他应该往回收线8米． 14．某工厂要加工一个零件的形状如图所示，按要求这个零件中必须是直角．工人师傅测量得为直角，这个零件的其余尺寸如图所示．    (1)这个零件符合要求吗？ (2)求四边形的面积． 【答案】(1)这个零件符合要求 (2)114 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的面积，掌握勾股定理的的逆定理及三角形的面积计算公式是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：符合要求，理由如下： ， ， ， ， ∴这个零件符合要求． （2）解：， ， ， ． 15．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$