专题02 轴对称图形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题02 轴对称图形 【考点01】轴对称图形的相关概念 【考点02】轴对称在镜面对称中的应用 【考点03】利用轴对称的性质 【考点04】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【考点05】 再格点中作轴对称图形 【考点06】线段垂直平分线的性质及应用 【考点07】线段垂直平分线和角平分线的作图 【考点08】等腰三角形的性质 【考点09】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【考点11】等边三角形的性质 【考点12】等边三角形的判定和性质 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【考点14】将军饮马-最短路径问题 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点5 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 知识点6 ：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点7： 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点8 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点9 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点11：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 知识点12：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点01】轴对称图形的相关概念 【典例1】下列运动图标中，是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【变式1-3】下列说法中，正确的个数有 （      ） ①、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 ②、全等三角形是关于某直线对称的 ③、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 ④、有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【考点02】轴对称在镜面对称中的应用 【典例2】小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为 ． 【变式2-1】平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 【变式2-2】一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 【变式2-3】如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 ． 【考点03】利用轴对称的性质 【典例3】如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【变式3-1】如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】与关于直线对称，在上，下列结论中错误的是（    ）    A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线，的交点不在上 【变式3-3】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-4】如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，若，则 °． 【考点04】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【典例4】已知点A（4，3）和点B在坐标平面内关于x轴对称，则点B的坐标是（　　） A．（4，3） B．（﹣4，3） C．（4，﹣3） D．（﹣4，﹣3） 【变式4-1】如果点和点关于轴对称，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点与点B关于轴对称，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．7 B．1 C． D． 【考点05】 再格点中作轴对称图形 【典例5】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点P，使的周长最小． (3)的面积是 ． 【变式5-1】如图，图中的小方格都是边长为的正方形，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的图形； (2)求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求出的面积． (2)关于y轴的对称图形是，写出点，，的坐标． 【考点06】线段垂直平分线的性质及应用 【典例6】如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 【变式6-1】如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【变式6-2】如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 【变式6-3】如图，在中，D为的中点，交的平分线于点E，交于点F，交的延长线于点G． (1)与的大小关系如何？证明你的结论； (2)若，求的长． 【考点07】线段垂直平分线和角平分线的作图 【典例7】如图，校园内有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C，D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P（在内部）离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮忙画出灯柱的位置P．（尺规作图，保留画图痕迹，不写画法） 【变式7-1】作图题：电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式7-2】已知：如图公路两两相交． 求作：加油站，使得到两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-3】如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【考点08】等腰三角形的性质 【典例8】如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【变式8-2】如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，中，为的中线，，则 °． 【变式8-4】如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为 ． 【考点09】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例9】如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【变式9-1】如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式9-2】如图，点A（2，1），点P在坐标轴上，若△OPA是等腰三角形，则这样的点P共有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【变式9-3】如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【典例10】如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【变式10-1】如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【考点11】等边三角形的性质 【典例11】如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【变式11-1】】如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【变式11-2】如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为 ． 【变式11-3】如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（    ） A．7 B．8 C． D．9 【变式11-4】如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式11-5】如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【考点12】等边三角形的判定和性质 【典例12】【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【变式12-1】如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．      (1)求证：； (2)求的度数． 【变式12-2】如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，连接和，交、于点F、G． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【变式12-3】已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【典例13】如图，在中，，，点D是的中点，过点D作垂直交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．9 C．8 D．10 【变式13-1】如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 【变式13-2】如图，在中，交于点，则的长为（    ） A．18 B．10 C．11 D．12 【变式13-3】如图，在中，垂直平分，交于点，则 ． 【考点14】将军饮马-最短路径问题 【典例14】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【变式14-1】如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 一、单选题 1．等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 2．下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点，连接CD．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，某公园的三个出口A、B、C构成，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口的距离都相等，则公共厕所应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 5．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C． D．2 6．已知点与关于x轴对称，则a，b分别为（　　） A． B． C．3，4 D． 7．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 12．若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是 ． 14．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 15．如图，，点在上，且，按下列要求画图： 以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；此时，，；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；则的度数为 ；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 ． 三、解答题 16．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 17．如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图．请完成下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；并分别写出点、点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使最小．在图中画出点，并写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 18．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 19．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 轴对称图形 【考点01】轴对称图形的相关概念 【考点02】轴对称在镜面对称中的应用 【考点03】利用轴对称的性质 【考点04】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【考点05】 再格点中作轴对称图形 【考点06】线段垂直平分线的性质及应用 【考点07】线段垂直平分线和角平分线的作图 【考点08】等腰三角形的性质 【考点09】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【考点11】等边三角形的性质 【考点12】等边三角形的判定和性质 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【考点14】将军饮马-最短路径问题 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点5 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 知识点6 ：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点7： 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点8 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点9 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点11：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 知识点12：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点01】轴对称图形的相关概念 【典例1】下列运动图标中，是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不轴对称图形，不符合题意． 故选B． 【变式1-1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确记忆相关知识点是解题关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 【变式1-2】下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 【变式1-3】下列说法中，正确的个数有 （      ） ①、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 ②、全等三角形是关于某直线对称的 ③、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 ④、有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，轴对称图形的概念，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：①、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，原说法正确； ②、全等三角形不一定关于某直线对称，原说法错误； ③、两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，原说法错误； ④、有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，原说法错误； ∴说法正确的有①， 故选：A． 【考点02】轴对称在镜面对称中的应用 【典例2】小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键；根据镜面对称进行求解即可． 【详解】解：根据题意，平面镜里看到其对面墙上电子钟显示数与实际的时间显示数成轴对称，据此可知实际时间为， 故答案为：． 【变式2-1】平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，因此的真实图像应该是． 故答案为： 【变式2-2】一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 【答案】 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 【变式2-3】如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 ． 【答案】 【分析】关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果可得答案． 【详解】从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了镜面对称，动手操作可以直观的得到答案，解题的关键是发挥空间想象能力． 【考点03】利用轴对称的性质 【典例3】如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、 和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、 和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、 和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、 和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式3-1】如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】主要考查了轴对称的性质，按轴对称画图是正确解答本题的关键．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是4号． 故选：D． 【变式3-2】与关于直线对称，在上，下列结论中错误的是（    ）    A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线，的交点不在上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，轴对称图形对应的角、线段都相等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，据此解答即可． 【详解】解：A、∵与关于直线对称，在上，∴是的垂直平分线，∴，∴是等腰三角形，故该选项正确； B、∵与关于直线对称，∴，是对应点连线，∴垂直平分，，故该选项正确； C、∵与关于直线对称，∴与面积相等，故该选项正确； D、∵直线，关于直线对称，∴直线，的交点在上，故该选项错误； 故选：D． 【变式3-3】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【变式3-4】如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，若，则 °． 【答案】55 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，根据折叠的性质和邻补角的定义求得的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，由折叠的性质知：． ∵，， ∴． 又， ∴． 故答案为：55． 【考点04】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【典例4】已知点A（4，3）和点B在坐标平面内关于x轴对称，则点B的坐标是（　　） A．（4，3） B．（﹣4，3） C．（4，﹣3） D．（﹣4，﹣3） 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标，纵坐标互为相反数，横坐标相等求出点B的坐标即可． 【详解】点A（4，3）关于x轴对称的点的坐标为（4，﹣3）， ∴B（4，﹣3）． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【变式4-1】如果点和点关于轴对称，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称， ∴m=-3，n=2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点与点B关于轴对称，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点A（-2，3）关于y轴对称点的坐标为B（2，3）． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【变式4-3】已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．7 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：由题意得，a=-4，b=-3， 则a-b=-4-（-3）=-1， 故选：C． 【点睛】本题考查的是关于x、y轴对称点的坐标特点，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【考点05】 再格点中作轴对称图形 【典例5】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点P，使的周长最小． (3)的面积是 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，连接，此时最小，即可得的周长最小． （3）利用割补法求三角形的面积即可； 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求 （3）解：的面积为． 【变式5-1】如图，图中的小方格都是边长为的正方形，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的图形； (2)求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，以及作轴对称图形： （1）分别描出点，再依次连接，即可作答． （2）运用割补法进行列式作答； （3）先作出点B的对称点，连接，与x轴交于点P，此时满足． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）解：如图作B点关于x轴的对称点，连接，与x轴交点为P    此时， 两点之间，线段最短， 即此时的点P，使得的值最小． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求出的面积． (2)关于y轴的对称图形是，写出点，，的坐标． 【答案】(1) (2)见解析；；； 【分析】本题考查了轴对称变换以及三角形面积求法，解答本题的关键是根据网格结构找出A、B、C对应点的位置． （1）把作为底，点C到的距离作为高即可求解面积； （2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接，结合图象即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：如图所示，即为所求； ∴点，，的坐标分别为：；；． 【考点06】线段垂直平分线的性质及应用 【典例6】如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，运用了恒等变换的思想，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案； 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为． 【变式6-1】如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)点在的垂直平分线上，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长； （）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， ∴的周长； （2）点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （3）∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)周长的最小值是． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． （1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，即可求解． 【详解】（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点， ∴； （2）解：∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交于D，如图： ∵， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长的最小值是： ． 【变式6-3】如图，在中，D为的中点，交的平分线于点E，交于点F，交的延长线于点G． (1)与的大小关系如何？证明你的结论； (2)若，求的长． 【答案】(1)，证明见详解 (2) 【分析】（1）连接、，由“”可证，可得． （2）由得，再由得，易知由此即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解： ．理由如下： 如图，连接、， ，为中点， ， ，，且平分， ， 在和中， ， ， ． （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【考点07】线段垂直平分线和角平分线的作图 【典例7】如图，校园内有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C，D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P（在内部）离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮忙画出灯柱的位置P．（尺规作图，保留画图痕迹，不写画法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图，分别作线段的垂直平分线和角平分线，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到它们的交点，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，作的垂直平分线， 作的角平分线， 两线交于，此时点为所求灯柱位置，如图所示： 【变式7-1】作图题：电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，分别作出线段的垂直平分线以及两条公路夹角的角平分线即可得出答案． 【详解】解：如图所示：发射塔应修建在P点位置，点P即为所求． 【变式7-2】已知：如图公路两两相交． 求作：加油站，使得到两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见详解 【分析】此题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． 作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点就是所求点． 【详解】解：如图，分别作的平分线、线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【变式7-3】如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题主要考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可； （2）由线段的垂直平分线的性质可得：，从而将的周长转化为：，即，依此可求． 【详解】（1）解：如图所示：直线为所求． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 【考点08】等腰三角形的性质 【典例8】如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】是的中线，，， ， 是的角平分线， ， ∴． 故选：C． 【变式8-1】如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可获得答案． 【详解】解：∵，点为中点， ∴， 即找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直， 其这样操作的数学依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：B． 【变式8-2】如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据等边三角形的性质求出，的度数，再根据等腰三角形的性质得，可求答案． 【详解】解∶∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8-3】如图，中，为的中线，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，先根据为的中线，得出，，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵为的中线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式8-4】如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质．由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴的周长为； 故答案为：16． 【考点09】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例9】如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图所示： 分三种情况： ①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，， 综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键． 【变式9-1】如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰．则满足条件的点P可求． 【详解】由题意可知：以AP、AB为腰的三角形有1个； 以AP、BP为腰的三角形有2个； 以BP、AB为腰的三角形有3个． 所以，这样的点P共有7个. 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键． 【变式9-2】如图，点A（2，1），点P在坐标轴上，若△OPA是等腰三角形，则这样的点P共有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图， 以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便． 【变式9-3】如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可． 【详解】解：如图所示： C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【典例10】如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 【变式10-1】如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①，；② 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上的中线， ∴，即， 又，， ∴． 【点睛】本题是结合了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题，熟练掌握知识点，由简入难，层层推进是解答关键． 【考点11】等边三角形的性质 【典例11】如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    【变式11-1】】如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式11-2】如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】过点E作于点H，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，结合，得到，在中，求得，表示出，根据即可求得线段的长，继而得到的长． 本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式11-3】如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（    ） A．7 B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得，，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴． 故选：D 【变式11-4】如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得，是解题的关键．利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 【变式11-5】如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，得出是本题的关键． 根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：4． 【考点12】等边三角形的判定和性质 【典例12】【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 【变式12-1】如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．      (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用各个定理、性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得：，，然后依据全等三角形的判定定理可得：，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1），根据全等三角形的性质可得：，结合图形，运用各角之间的关系可得：，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 在中，， 即． 【变式12-2】如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，连接和，交、于点F、G． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：为等边三角形；理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式12-3】已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)相等，见解析 (3)7或3 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可． （2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明． （3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 为等边三角形，点为的中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：相等，即，理由如下： 如图，过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于， 则为等边三角形，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当点O在射线上时，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点O作，则， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，长为或． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【典例13】如图，在中，，，点D是的中点，过点D作垂直交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．9 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图：    在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：C． 【变式13-1】如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键．根据含30度角的直角三角形的边长的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，米， ∴米， ∴这棵大树在折断前的高度为米． 故选：C． 【变式13-2】如图，在中，交于点，则的长为（    ） A．18 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质，然后利用角的和差关系求出，从而可得，再利用等角对等边可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：A． 【变式13-3】如图，在中，垂直平分，交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而根据即可求得答案． 【详解】解： 垂直平分， ， 在中，，， ． 故答案为： 【考点14】将军饮马-最短路径问题 【典例14】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【变式14-1】如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 【变式14-2】如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 【变式14-3】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，当三点共线，时，的值最小，利用所对直角边等于斜边一半求出，最后根据边长关系计算的长即可． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接， ∴，, ∴， 当三点共线，时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 一、单选题 1．等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主经考查了等腰三角形的存在性．解题的关键是熟练掌握等腰三角形定义，三角形的三边关系． 分类讨论，当腰长是时，三角形不存在，当腰长是时，周长是． 【详解】解：当腰长是时， ∵， ∴不符合三角形的三边关系，排除； 当腰长是时， ∵， ∴符合三角形三边关系， 此时周长是． 故选：A． 2．下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点，连接CD．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题． 【详解】解： ，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形外角的性质，三角形内角和定理，数轴相关知识是解题的关键． 4．如图，某公园的三个出口A、B、C构成，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口的距离都相等，则公共厕所应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．根据到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上解答． 【详解】解：公共厕所到出口、的距离相等， 公共厕所到在线段的垂直平分线上， 同理可得，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 5．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，等腰三角形的判定，可得解答即可； 本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∵，， ∴， 故选A． 6．已知点与关于x轴对称，则a，b分别为（　　） A． B． C．3，4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标，根据关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】∵点与关于x轴对称， ∴， 故选：A． 7．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8．如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质：先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点关于的对称点M，连接，当时．此时取得最小值． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 作点关于的对称点M，连接， 由对称的性质可知，, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴M在上 由垂线段最短可知：当时．取得最小值， ∴此时也取得最小值． ∵， ∴， ∵ ∴ ∴的最小值为：． 故选：B． 10．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以当为腰时，当为底时，这两种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：当为腰时，点C的个数有2个； 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了关于y轴对称点的坐标，根据关于y轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 12．若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形三条边相等得到，据此根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解；∵等边三角形的边长是， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，，再结合的周长为2即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵的周长为2， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，，点在上，且，按下列要求画图： 以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；此时，，；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；则的度数为 ；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 ． 【答案】 /27度 9 【分析】此题考查的是作图复杂作图及等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，，依此得到规律，再根据三角形外角小于即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，， 则，，， ， ，，，，， ， 解得． 为整数，故． 故答案为：；9． 三、解答题 16．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边的中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【详解】（1）证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； （2）解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 17．如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图．请完成下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；并分别写出点、点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使最小．在图中画出点，并写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】(1)图见解析，，，， (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． ，，； （2）； （3）如图2，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 此时点． 18．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，解题关键是根据倍长中线构造出全等三角形． （1）证明即可求解； （2）如图，延长至，使，连接，证明，根据即可求解． 【详解】（1）解：在和中 ， ， 故选：A． （2）解：延长到，使，连接，如图所示， ， ， ∵是中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$