专题04 实数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题04 实数 【考点01】算术平方根． 【考点02】平方根． 【考点03】利用平方根解方程． 【考点04】非负数的性质应用 【考点05】立方根． 【考点06】平方根和立方根综合应用 【考点07】实数的相关概念理解 【考点08】估算 【考点09】实数的性质． 【考点10】实数的大小 【考点11】实数的运算 【考点12】实数的实际应用 【考点13】近似数 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根的性质 知识点3：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点4：立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点5：立方根的性质 知识点6： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点7：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点8：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点9：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 知识10:近似数 近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 【考点01】算术平方根． 【典例1】的算术平方根是（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】的相反数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】化简： ． 【考点02】平方根． 【典例2】的平方根（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 【变式2-2】实数的平方根是（　　） A． B．±4 C．4 D． 【考点03】利用平方根解方程． 【典例3】计算： (1) (2) 【变式3-1】解方程． 【变式3-2】求下列各式中x的值． (1) ； (2) ； (3)； (4)． 【变式3-3】求下列式子中的值． （1）； （2）； 【考点04】非负数的性质应用 【典例4】若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 【变式4-1】已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【变式4-2】若、满足，则 ． 【变式4-3】若，则的值为 ． 【变式4-4】已知x、y是实数，且，则的值是 ． 【考点05】立方根． 【典例5】的立方根是（   ） A．4 B． C．2 D． 【变5-1】的立方根是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 【变式5-3】如果，，那么约等于（    ） A．32.96 B．329.6 C．15.29 D．152.9 【考点06】平方根和立方根综合应用 【典例6】已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式6-1】已知的平方根是，的立方根是1． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式6-2】已知的平方根为，的立方根为． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式6-3】已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求这个正数x的立方根； (2)求的平方根． 【考点07】实数的相关概念理解 【典例7】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式7-1】的相反数是（    ） A． B． C． D．3 【变式7-2】在实数，0，，，中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】下列实数3.14，，π，，0.121121112，中，有理数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点08】估算 【典例8】若在两个连续整数和之间，即，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式8-1】估算的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．10 【变式8-2】估算的范围是（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式8-3】估计的值（    ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 【考点09】实数的性质． 【典例9】的相反数是 ，的绝对值是 ，0的平方根是 ． 【变式9-1】64的平方根是 ，算术平方根是 ，立方根是 ；的相反数是 ． 【变式9-2】的相反数是 ． 【考点10】实数的大小 【典例10】已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】将2，，这三个数用“”连接正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】比较大小 ． 【变式10-3】比较大小： （填“”或“”）． 【考点11】实数的运算 【典例11】（1）计算：． （2）； 【变式11-1】求下列各式的值； (1) (2) 【变式11-2】计算 (1)； (2)． 【变式11-3】计算： (1)； (2) 【考点12】实数的实际应用 【典例12】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【变式12-1】有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 【变式12-2】已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【变式12-3】如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长a． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为 ． 【考点13】近似数 【典例13】用四舍五入法对取近似数，精确到，得到的正确结果是（　　） A．1.89 B．1.9 C．1.90 D．1.897 【变式13-1】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【变式13-2】将精确到百分位约是（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】用四舍五入法，精确到百分位，对取近似数是 ． 一、单选题 1．下列实数中最小的是（    ） A． B．0 C． D．1 2．的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 3．下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D．0 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则的值是（    ） A． B．或 C．33或21 D．或33 6．下列各数中，与面积为的正方形的边长最接近的是（   ） A． B． C． D． 7．对于非零的两个实数a，b，规定，若，，则的值为（   ） A． B．13 C．2 D． 8．估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10． （精确至十分位）． 11．比较大小：3 （填“”、“”或“”）． 12．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 13．的整数部分是 ． 14．已知，，则 ． 15．观察下列等式： …… 则的值为 ． 三、解答题 16．已知的立方根是2，的平方根是±4． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 17．解方程： (1) (2)． 18．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______cm． （2）如图2，小逸同学打算将一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形，使该长方形的长和宽之比为，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数 【考点01】算术平方根． 【考点02】平方根． 【考点03】利用平方根解方程． 【考点04】非负数的性质应用 【考点05】立方根． 【考点06】平方根和立方根综合应用 【考点07】实数的相关概念理解 【考点08】估算 【考点09】实数的性质． 【考点10】实数的大小 【考点11】实数的运算 【考点12】实数的实际应用 【考点13】近似数 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根的性质 知识点3：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点4：立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点5：立方根的性质 知识点6： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点7：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点8：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点9：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 知识10:近似数 近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 【考点01】算术平方根． 【典例1】的算术平方根是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：C． 【变式1-1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算，先化简，再运算4的算术平方根，即可作答． 【详解】解： 故选：B 【变式1-2】的相反数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、求一个数的算术平方根，先求算术平方根，再根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：， 故的相反数为， 故选：C． 【变式1-3】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，解题的关键是掌握：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作：．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是，即． 故答案为：． 【考点02】平方根． 【典例2】的平方根（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：． 【变式2-1】若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 【答案】B 【分析】根据平方根的性质即可求出答案．本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解平方根的性质，本题属于基础题型． 【详解】解：∵与是同一个正数的平方根， 当， ， ， 这个正数为4， 当 ∴ ∴ ∴一个正数是 故选：B． 【变式2-2】实数的平方根是（　　） A． B．±4 C．4 D． 【答案】D 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，先求出，再根据平方根的定义求出答案即可. 【详解】解：， ∴实数的平方根是， 故答案为：D 【考点03】利用平方根解方程． 【典例3】计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程． （1）利用平方根的性质解方程即可； （2）整理后，利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ∴； （2）解：， 整理得， ∴， 解得或． 【变式3-1】解方程． 【答案】， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，先移项，再根据平方根的定义得出，求解即可得解，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 解得：，． 【变式3-2】求下列各式中x的值． (1) ； (2) ； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程： （1）根据平方根定义即可求解； （2）移项后，根据平方根定义即可求解； （3）化系数为1后，根据平方根定义即可求解； （4）移项后，根据平方根定义即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． （2）移项，得：, ． （3）整理得：， ． （4）移项，得：， ， ，． 【变式3-3】求下列式子中的值． （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了运用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）方程两边同时开方，即可作答． （2）方程两边先除以4，再开方，即可作答． 【详解】解：（1） ∴ （2） 【考点04】非负数的性质应用 【典例4】若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 【答案】C 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得，的值，再代数求值． 【详解】解： ， ，， 解得，， 故， 故选：C． 【变式4-1】已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系，由非负数的性质得出，，分两种情况，结合三角形三边关系求解即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 当为腰，为底边时，，不满足三角形三边关系，故不符合题意； 当为底边，为腰时，，满足三角形三边关系，故符合题意，此时等腰三角形的周长为， 故选：C． 【变式4-2】若、满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，根据非负数的性质得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式4-3】若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，根据非负数的性质计算得出，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4-4】已知x、y是实数，且，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是非负数的性质．根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，，， ∴， 故答案为：8． 【考点05】立方根． 【典例5】的立方根是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和求一个数的立方根，先求出，再根据立方根的定义求出8的立方根即可得到答案． 【详解】解：， ∵8的立方根是2， ∴的立方根是2， 故选：C． 【变5-1】的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解．运用立方根的定义进行求解． 【详解】解：， 的立方根是， 故选：A 【变式5-2】若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为， 故选：C． 【变式5-3】如果，，那么约等于（    ） A．32.96 B．329.6 C．15.29 D．152.9 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点向右移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【考点06】平方根和立方根综合应用 【典例6】已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， 则的平方根是． 【变式6-1】已知的平方根是，的立方根是1． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查平方根和立方根的计算，能够熟练掌握计算法则是解题关键． （1）通过“9的平方根是，1的立方根是1”，列出方程解出、的值即可； （2）通过第一问的、的值，先求出代数式的值，再算出平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是，的立方根是1 ∴， ∴，； （2）由（1）可知，， ∴ ∴的平方根为 【变式6-2】已知的平方根为，的立方根为． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据平方根和立方根求原数： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此先求出a的值，进而求出b的值即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 【变式6-3】已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求这个正数x的立方根； (2)求的平方根． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根，算术平方根的计算方法． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a的值，然后再求出x，最后求出立方根即可； （2）根据（1）可求得，再求出，根据平方根的求法，即可求得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则， ∴这个正数为， ∴这个正数的立方根为； （2）解：∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为． 【考点07】实数的相关概念理解 【典例7】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式7-1】的相反数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【变式7-2】在实数，0，，，中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解；，是无限不循环小数，它们是无理数， 是分数，0，，0和2均为整数，它们不是无理数， 那么无理数的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的识别，实数的分类及相关概念是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【变式7-3】下列实数3.14，，π，，0.121121112，中，有理数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】整数与分数称为有理数，其中分数指有限小数和无限循环小数，无限不循环小数叫做无理数，根据有理数与无理数的概念即可完成． 【详解】∵， ∴有理数有：3.14， ，0.121121112，，而，π是无理数， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与无理数的概念是关键． 【考点08】估算 【典例8】若在两个连续整数和之间，即，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的估算，求代数式的值，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算方法得到，继而求出，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-1】估算的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，根据夹逼法进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【变式8-2】估算的范围是（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-3】估计的值（    ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 【答案】C 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先计算出原式，再根据，可得，即可得． 【详解】解：原式， ， ， ， 故选：C． 【考点09】实数的性质． 【典例9】的相反数是 ，的绝对值是 ，0的平方根是 ． 【答案】 / / 0 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值、平方根的性质．根据倒数、绝对值、平方根的性质，即可求解． 【详解】解：的相反数为， 的绝对值是， 0的平方根是0． 故答案为：，，0． 【变式9-1】64的平方根是 ，算术平方根是 ，立方根是 ；的相反数是 ． 【答案】 8 4 【分析】本题考查了实数的性质，主要利用了平方根，算术平方根的定义，立方根的定义，相反数的定义，熟记概念是解题的关键．根据平方根、算术平方根的定义，立方根的定义，相反数的定义解答即可． 【详解】解：， 的平方根是，算术平方根是8， ， 的立方根为4； 的相反数是． 故答案为：；8；4； 【变式9-2】的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 【考点10】实数的大小 【典例10】已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数比较大小，正数大于0，负数小于0，绝对值大的负数反而小，再根据进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， 即，，，中最小的数是， 故选：D． 【变式10-1】将2，，这三个数用“”连接正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．因为，，结合，即可获得答案． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式10-2】比较大小 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，估算出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握无理数的估算方法是解题的关键．由得到，即可求解． 【详解】∵ ∴． 故答案为：． 【考点11】实数的运算 【典例11】（1）计算：． （2）； 【答案】（1）3（2）3 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先计算平方，求算术平方根，立方根，求绝对值，然后再行进加减运算即可． （2）先计算平方，求算术平方根，立方根，求绝对值，然后再行进加减运算即可． 【详解】解：（1） （2） 【变式11-1】求下列各式的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算等知识点， （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可； （2）先乘方，算术平方根、立方根，去绝对值符号，再计算加减即可； 解题的关键是掌握实数的运算顺序及有关运算法则． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式11-3】计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算立方根和算术平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）计算立方根和算术平方根，再计算乘方和乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点12】实数的实际应用 【典例12】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 【变式12-1】有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 【答案】2块 【分析】利用算术平方根的性质求出矩形的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木条数. 【详解】解：∵， ∴矩形的长为7和宽为4， 剩余的木料的长为3与宽， ∵2＞＞1，4.5＞3＞3 ∴可以截出2块这样的木条. 【点睛】此题主要考查算术平方根的应用，解题的关键是熟知实数的估算. 【变式12-2】已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 【变式12-3】如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长a． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根、勾股定理的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此即可求出边长即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 【考点13】近似数 【典例13】用四舍五入法对取近似数，精确到，得到的正确结果是（　　） A．1.89 B．1.9 C．1.90 D．1.897 【答案】C 【分析】本题考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．根据对一个数精确到哪一位就是对这一位后面的数字进行四舍五入求解即可． 【详解】解：用四舍五入法对1.8971取近似数，精确到0.01得：1.90． 故选C． 【变式13-1】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和有效数字，经过四舍五入得到的数称为近似数，从一个近似数左边第一个不为0的数数起道这个数完，所有这些数字都叫这个近似数的有效数字，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、（精确到），故此选项正确，不符合题意； B、（精确到），故此选项正确，不符合题意； C、（精确到百分位），故此选项正确，不符合题意； D、（精确到千分位），故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式13-2】将精确到百分位约是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到百分位，即对千分位上的数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】解；将精确到百分位约是， 故选；D． 【变式13-3】用四舍五入法，精确到百分位，对取近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，把千分位上的数字进行四舍五入即可．解题的关键是理解：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 【详解】解：（精确到百分位）， ∴精确到百分位，对取近似数是． 故答案为：． 一、单选题 1．下列实数中最小的是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案，熟练掌握实数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴下列实数中最小的是， 故选：A． 2．的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为2或， 故选：D． 3．下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了平方根概念理解：负数没有平方根，涉及了化简绝对值和利用二次根式的性质化简，将各选项化简后即可判断． 【详解】解：，有平方根，不符合题意； ，有平方根，不符合题意； ，没有平方根，符合题意； 0有平方根，不符合题意； 故选：C 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根及平方根的运算，根据算术平方根及平方根的性质依次化简即可做出判断． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5．若，，则的值是（    ） A． B．或 C．33或21 D．或33 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根、平方根，代数式求值．先根据平方根和立方根的定义得出a、b的值，再分情况计算可得． 【详解】解：∵，， ∴，， 当时，时，， 当时，时，， 故的值是或， 故选：B． 6．下列各数中，与面积为的正方形的边长最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了对无理数大小的估算能力，先求得该正方形的边长为，再通过估算的值进行求解，解题的关键是能准确理解并运用该方法． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴最接近， 故选：． 7．对于非零的两个实数a，b，规定，若，，则的值为（   ） A． B．13 C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，以及新定义下的实数运算，已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到m与n的值，然后再代入新定义运算即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得 ． 故选 A． 8．估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小用夹逼法是解答此题的关键． 根据夹逼法得出的范围，继而得出的范围． 【详解】， ， ， 的值在整数4到5之间． 故选：B． 9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点的距离、轴对称，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点所对应的实数是，根据和数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点所对应的实数是， 由题意得：， 解得， 故选：D． 二、填空题 10． （精确至十分位）． 【答案】 【分析】本题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．精确到十分位即保留一位小数，看小数点后面第二位，然后根据“四舍五入”解答即可． 【详解】解∶ （精确至十分位）， 故答案为∶ ． 11．比较大小：3 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是实数的大小比较，无理数的估算．先将估算的大小，即可比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】81 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数．本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，正确掌握平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得， 则这个正数是． 故答案为：81． 13．的整数部分是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先判断出在哪两个连续整数之间，再用小于的整数加1，即可得到整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故的整数部分是4． 故答案为：4． 14．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 15．观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 16．已知的立方根是2，的平方根是±4． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是明确平方根和立方根的意义，准确进行求解； （1）根据立方根和平方根的意义求出字母的值即可； （2）先求出代数式的值，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴，解得， ∵的平方根是±4， ∴，解得， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根是3． 17．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程： （1）直接把方程左右两边同时开平方得到，据此解一元一次方程即可得到答案； （2）直接把方程左右两边同时开立方得到，据此解一元一次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______cm． （2）如图2，小逸同学打算将一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形，使该长方形的长和宽之比为，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，见解析 【分析】本题考查算术平方根及勾股定理： （1）利用勾股定理计算即可； （2）先求得正方形的边长，设长方形纸片的长为，宽为，列得方程后解得x的值后分别求得长和宽后与正方形的边长比较即可． 【详解】解：（1）由题意得， 即大正方形的边长为， 故答案为：； （2）设长方形的长、宽分别为，宽为， 由题意可得， 解得（负值舍去）， 所以． 由正方形木板的面积为，得该正方形木板的边长为． 因为， 所以小逸不能裁出符合条件的长方形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$