专题02 特殊三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

专题02 特殊三角形 【考点01】轴对称图形 【考点02】轴对称的性质 【考点03】作图﹣轴对称变换 【考点04】作图-最短路线问题 【考点05】等腰三角形的性质 【考点06】等腰三角形的判定 【考点07】等腰三角形的判定与性质 【考点08】等边三角形的性质 【考点09】等边三角形的判定和性质 【考点10】逆命题和逆定理 【考点11】一直角三角形的两边，求第三边长 【考点12】等面积法斜边上的高 【考点13】作无理数的线段 【考点14】勾股定理的证明 【考点15】勾股定理的应用 【考点16】直角三角形的判定 【考点17】勾股定理的逆定理的运用 【考点18】勾股数的应用 【考点19】勾股定理实际问题 【考点20】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 【考点21】平面展开图的最短路径问题 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点4 轴对称之最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 知识点5 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点6等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点7等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点8直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点9勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点10勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点11勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点12勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点13勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点01】轴对称图形 1.下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2.下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3.下列说法中，正确的个数有 （      ） ①、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 ②、全等三角形是关于某直线对称的 ③、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 ④、有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【考点02】轴对称的性质 4.如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 5.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 7.如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，若，则 °． 【答案】55 【考点03】作图﹣轴对称变换 8.如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点P，使的周长最小． (3)的面积是 ． 9.如图，图中的小方格都是边长为的正方形，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的图形； (2)求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小． 【考点04】作图-最短路线问题 10.如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 11.如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12.如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 13.如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点05】等腰三角形的性质 14如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 15.如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 16.如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 17.如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为 ． 【考点06】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 18.如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 19.如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【考点07】等腰三角形的判定与性质 20.如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 21.如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【考点08】等边三角形的性质 22.如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      23.如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 24.如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为 ． 25.如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（    ） A．7 B．8 C． D．9 26.如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点09】等边三角形的判定和性质 27.【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 28.如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．     (1)求证： (2)求的度数． 29.如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，连接和，交、于点F、G． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 30.已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【考点10】逆命题和逆定理 31．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．钝角三角形中有两个锐角 D．两直线平行，内错角相等 32．下列命题的逆命题正确的是（    ） A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形是等腰三角形 33．关于命题“等边三角形是锐角三角形”及其逆命题的真假，下列说法正确的是（    ） A．都是真命题 B．都是假命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题为假命题，逆命题为真命题 34．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的每一个角都等于 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 【考点11】直角三角形的性质 35．如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 36．如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 37．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 38．如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 39．如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 40．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 【考点12】一直角三角形的两边，求第三边长 41.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（   ） A．10 B．10或 C． D．或 42.如图，直角三角形中未知边的长度为（    ） A． B． C．5 D．7 【考13】等面积法斜边上的高 43.如图，在中，已知，则边上的高为（    ） A．2.4cm B．3cm C．4.8cm D．无法确定 44.在中，，，，则斜边上的高等于（    ） A．5 B． C．12 D． 【考点14】作无理数的线段 45.如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ． 46.如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【考点15】勾股定理的证明 47.通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 48.我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 49.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 50.如图，在等腰直角中，，，，垂足分别为E、C． (1)求证：； (2)连接，若，，，请利用此图验证勾股定理． 【考点16】勾股定理的应用 51如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 52.图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 【考点17】直角三角形的判定 53.下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，7，5 C．2，3，4 D．1，2，2 54.在下列条件下不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 55.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 56.如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【考点18】勾股定理的逆定理的运用 57.如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 58.如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．求：四边形的面积． 59.如图所示的一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 60.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【考点19】勾股数 61.下列各组数中，是勾股数的是(   ) A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10 【考点20】勾股定理的实际问题 62.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域， (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若A城受到台风的影响，求A城受台风影响的时间有多长？ 63.如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100． (1)求B，C间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 64.如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． (1)求梯子顶端A与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长． 65.如图，铁路上两点相距，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？ 66.港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）    (1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 67.如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 68.如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 【考点21】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 69.如图，在中，， ， ，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．   (1)求的长度； (2)求的面积． 70.如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 【考点11】平面展开图的最短路径问题 71.如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 72.如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 73.如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 74.如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 75.如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是 ，确定最短路径的依据是 ． 一、单选题 1．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（    ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 3．如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A． B．是的高线 C．是的角平分线 D．是等边三角形 4．如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（   ）    A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 8．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，面积是16，，，点A与点C关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（　　）    A．8 B．10 C．12 D．14 二、填空题 10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 11．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是 ． 12．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      13．如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 14．如图，在中，，，，线段于点．点，分别是线段，上的动点，连接，当点从点沿向点滑动时，点相应的从点沿向点滑动，始终保持不变，当与全等时，的长度等于 ． 三、解答题 15．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 16．如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 17．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 18．某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊三角形 【考点01】轴对称图形 【考点02】轴对称的性质 【考点03】作图﹣轴对称变换 【考点04】作图-最短路线问题 【考点05】等腰三角形的性质 【考点06】等腰三角形的判定 【考点07】等腰三角形的判定与性质 【考点08】等边三角形的性质 【考点09】等边三角形的判定和性质 【考点10】逆命题和逆定理 【考点11】一直角三角形的两边，求第三边长 【考点12】等面积法斜边上的高 【考点13】作无理数的线段 【考点14】勾股定理的证明 【考点15】勾股定理的应用 【考点16】直角三角形的判定 【考点17】勾股定理的逆定理的运用 【考点18】勾股数的应用 【考点19】勾股定理实际问题 【考点20】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 【考点21】平面展开图的最短路径问题 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点4 轴对称之最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 知识点5 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点6等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点7等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点8直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点9勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点10勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点11勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点12勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点13勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点01】轴对称图形 1.下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确记忆相关知识点是解题关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2.下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 3.下列说法中，正确的个数有 （      ） ①、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 ②、全等三角形是关于某直线对称的 ③、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 ④、有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，轴对称图形的概念，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：①、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，原说法正确； ②、全等三角形不一定关于某直线对称，原说法错误； ③、两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，原说法错误； ④、有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，原说法错误； ∴说法正确的有①， 故选：A． 【考点02】轴对称的性质 4.如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、 和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、 和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、 和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、 和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 5.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】主要考查了轴对称的性质，按轴对称画图是正确解答本题的关键．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是4号． 故选：D． 7.如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，若，则 °． 【答案】55 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，根据折叠的性质和邻补角的定义求得的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，由折叠的性质知：． ∵，， ∴． 又， ∴． 故答案为：55． 【考点03】作图﹣轴对称变换 8.如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点P，使的周长最小． (3)的面积是 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，连接，此时最小，即可得的周长最小． （3）利用割补法求三角形的面积即可； 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求 （3）解：的面积为． 9.如图，图中的小方格都是边长为的正方形，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的图形； (2)求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，以及作轴对称图形： （1）分别描出点，再依次连接，即可作答． （2）运用割补法进行列式作答； （3）先作出点B的对称点，连接，与x轴交于点P，此时满足． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）解：如图作B点关于x轴的对称点，连接，与x轴交点为P    此时， 两点之间，线段最短， 即此时的点P，使得的值最小． 【考点04】作图-最短路线问题 10.如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 11.如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 12.如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 13.如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，当三点共线，时，的值最小，利用所对直角边等于斜边一半求出，最后根据边长关系计算的长即可． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接， ∴，, ∴， 当三点共线，时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 【考点05】等腰三角形的性质 14如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】是的中线，，， ， 是的角平分线， ， ∴． 故选：C． 15.如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可获得答案． 【详解】解：∵，点为中点， ∴， 即找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直， 其这样操作的数学依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：B． 16.如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据等边三角形的性质求出，的度数，再根据等腰三角形的性质得，可求答案． 【详解】解∶∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 17.如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质．由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴的周长为； 故答案为：16． 【考点06】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 18.如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图所示： 分三种情况： ①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，， 综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键． 19.如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰．则满足条件的点P可求． 【详解】由题意可知：以AP、AB为腰的三角形有1个； 以AP、BP为腰的三角形有2个； 以BP、AB为腰的三角形有3个． 所以，这样的点P共有7个. 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键． 【考点07】等腰三角形的判定与性质 20.如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 21.如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①，；② 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上的中线， ∴，即， 又，， ∴． 【点睛】本题是结合了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题，熟练掌握知识点，由简入难，层层推进是解答关键． 【考点08】等边三角形的性质 22.如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    23.如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 24.如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】过点E作于点H，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，结合，得到，在中，求得，表示出，根据即可求得线段的长，继而得到的长． 本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 25.如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（    ） A．7 B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得，，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴． 故选：D 26.如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得，是解题的关键．利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 【考点09】等边三角形的判定和性质 27.【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 28.如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．      (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用各个定理、性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得：，，然后依据全等三角形的判定定理可得：，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1），根据全等三角形的性质可得：，结合图形，运用各角之间的关系可得：，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 在中，， 即． 29.如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，连接和，交、于点F、G． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：为等边三角形；理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 30.已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)相等，见解析 (3)7或3 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可． （2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明． （3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 为等边三角形，点为的中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：相等，即，理由如下： 如图，过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于， 则为等边三角形，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当点O在射线上时，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点O作，则， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，长为或． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【考点10】逆命题和逆定理 31．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．钝角三角形中有两个锐角 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，逆命题．先写出逆命题，后结合对顶角的性质，平行线的性质和判定，乘方的运算，三角形的内角和定理，逐一判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题：相等的角是对顶角，是假命题； ∴故本选项不符合题意； B、逆命题：若，则， ∵若，则， ∴该逆命题是假命题，故本选项不符合题意； C、逆命题：三角形中有两个锐角的三角形是钝角三角形， 该逆命题是假命题，故本选项不符合题意； D、逆命题：内错角相等，两直线平行， 该逆命题是真命题，故本选项符合题意． 故选：D． 32．下列命题的逆命题正确的是（    ） A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形是等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了命题与逆命题，以及命题的真假,线段垂直平分线的性质与判定，刀刀见血，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，根据选项写出原命题的逆命题，判断真假即可． 【详解】解：A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题为：到条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题，故该选项符合题意； B. 对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故该选项不符合题意； C. 全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等三角形是全等三角形，是假命题，故该选项不符合题意； D. 等边三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 33．关于命题“等边三角形是锐角三角形”及其逆命题的真假，下列说法正确的是（    ） A．都是真命题 B．都是假命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题为假命题，逆命题为真命题 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假，逆命题，等边的三角形的性质与判定，熟练掌握命题的知识是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质可知等边三角形是锐角三角形是真命题，再写出逆命题判断真假即可． 【详解】解：根据等边三角形的性质可知等边三角形是锐角三角形是真命题． “等边三角形是锐角三角形”的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，如：中，，该三角形是锐角三角形，但不是等边三角形． 故选C． 34．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的每一个角都等于 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查逆命题真假判断，涉及不等式的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定等，先根据题设、结论写出每个选项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A选项的逆命题为“若，则”，当时不成立，因此该逆命题是假命题，不合题意； B选项的逆命题为“若三角形每一个角都等于，则这个三角形是等边三角形”，该逆命题是真命题，符合题意； C选项的逆命题为“若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”，该逆命题是假命题，不合题意； D选项的逆命题为“若，则”，该逆命题是假命题，不合题意； 故选B． 【考点11】直角三角形的性质 35．如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了含有角的直角三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．先求出，再根据含有角的直角三角形性质可得的长． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：A． 36．如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形的性质，可得，再由线段垂直平分线的性质，可得，，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，然后根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 37．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 38．如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线，证明是解题关键．过作于，由是等腰直角三角形，得到，，由余角的性质推出，进而证明，得到，即可求出面积． 【详解】解：如图，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 39．如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形的性质得到，，再求出，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ，， ∵ ， ， ， ， ． 故答案为：． 40．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵E是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点12】一直角三角形的两边，求第三边长 41.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（   ） A．10 B．10或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解． 【详解】解：当边长为8的边是直角边时， 第三边为斜边，边长为：； 当边长为8的边是斜边时， 第三边为直角边，边长为：； 因此第三边的长是10或， 故选B． 42.如图，直角三角形中未知边的长度为（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 由勾股定理得：，解方程即可． 【详解】由勾股定理得： 所以， ，负值已舍去． 故选：B 【考13】等面积法斜边上的高 43.如图，在中，已知，则边上的高为（    ） A．2.4cm B．3cm C．4.8cm D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过A作于D，设边上的高为h，利用等腰三角形三线合一性质求出，利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过A作于D，设边上的高为h， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 44.在中，，，，则斜边上的高等于（    ） A．5 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，运用直角三角形面积的计算方法求出是解决问题的关键． 【详解】解：如图： ， 又∵， ∴， 故选D． 【考点14】作无理数的线段 45.如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得， ， 则点表示的数为． 故答案为：． 46.如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离较大的数较小的数，是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，即为的长，再根据两点间的距离公式便可求出的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为． 故答案为：． 【考点15】勾股定理的证明 47.通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方式的应用： （1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【详解】（1）证明：大正方形的面积为，一个直角三角形的面积为，小正方形的面积为， ； （2）解：正方形面积为49，正方形的面积为25， ，， 一个直角三角形的面积为：， ， ， ． 48.我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)阴影部分的面积为27． 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 49.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 50.如图，在等腰直角中，，，，垂足分别为E、C． (1)求证：； (2)连接，若，，，请利用此图验证勾股定理． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的证明方法，熟练的利用图形面积证明勾股定理是解本题的关键； （1）先证明，，，即可得到结论； （2）如图，连接，记，的交点为，结合或，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，，， ∴，，， 如图，连接，记，的交点为， ∴或， ∴， 整理得：． 【考点16】勾股定理的应用 51如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】72 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理和正方形的性质可知， ， ， ， ， 正方形A、B、C、D、E、F的面积之； 故答案为：72． 52.图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由正方形的面积公式可知，，再由勾股定理即可得解． 【详解】解：由正方形的面积公式可知，， 根据勾股定理，， ， 故答案为：． 【考点17】直角三角形的判定 53.下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，7，5 C．2，3，4 D．1，2，2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点.根据勾股定理的逆定理判断即可. 【详解】解：A、∵，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； B、∵，∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 54.在下列条件下不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理，可以判定A、B，根据角度关系及三角形内角和，可判断C、D， 本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项不合题意； 故选：C． 55.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴A不符合题意； ∵，构不成三角形， ∴B不符合题意； ∵，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，构成三角形， ∴D符合题意； 故选D． 56.如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ，，， 故答案为：，，； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）设边上的高为， 的面积， ， ， 故答案为： 【考点18】勾股定理的逆定理的运用 57.如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 58.如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．求：四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，在中，利用勾股定理可求出的长；由勾股定理的逆定理可证出是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴四边形的面积． 59.如图所示的一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 【答案】这块地的面积为24米 【分析】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用，关键是作出辅助线得到直角三角形．连接，利用勾股定理可以得出和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积． 【详解】解：连接． 由勾股定理可知 （米． 又， 是直角三角形， 故所求面积的面积的面积（米）． 答：这块地的面积为24米． 60.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 【考点19】勾股数 61.下列各组数中，是勾股数的是(   ) A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 【考点20】勾股定理的实际问题 62.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域， (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若A城受到台风的影响，求A城受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)A城受到这次台风的影响，理由见解析 (2)3小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． （1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若则城不受影响，否则受影响； （2）点到直线的长为的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【详解】（1）解：由点向作垂线，垂足为， 在中，，，则， 因为，所以城要受台风影响； （2）设上点，，则还有一点，有． 因为，所以是等腰三角形， 因为， 所以是的中点，则， 在中，，， 由勾股定理得，， 则， 遭受台风影响的时间是：（小时）． 63.如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100． (1)求B，C间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1)B，C间的距离为80 (2)这辆小汽车没有超速 【分析】】此题主要考查了勾股定理的应用； （1）根据勾股定理求出BC的长； （2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案． 【详解】（1）解：在中， ∵， ∴， 答：B，C间的距离为80； （2）这辆小汽车没有超速． 理由：∵小汽车速度为， ， ∴这辆小汽车没有超速． 64.如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． (1)求梯子顶端A与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长． 【答案】(1)梯子顶端A与地面的距离的长为24米 (2)梯子的下端B滑动的距离的长为8米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理得出的长； （2）利用勾股定理得出的长进而得出答案． 【详解】（1）由勾股定理可得： 24（米）， 答：梯子顶端A与地面的距离的长为24米； （2）∵梯子的顶端A下滑到E，使， ∴（米）， ∴ 15（米）， 则（米）， 答：梯子的下端B滑动的距离的长为8米． 65.如图，铁路上两点相距，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵要使两村到站的距离相等， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∵ ∴， 设，则． ∵， ∴， 解得：， ∴． 答：站应建在离站处． 66.港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）    (1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意得到，再利用勾股定理求出，即可解题； （2）利用勾股定理求出，根据题意得到，进而得到，再利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，，， 工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ， ， 此时游轮距离岸边还有； （2）解：由题知，，，， ， 游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点， ， ， ， ∴， 工作人员手中的绳子被收上来． 67.如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题． （1）根据题意可知构成直角三角形，设，根据勾股定理即可求得的长度； （2）过点D作，垂足为F，于是构成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度． 【详解】（1）设旗绳的长度为，则旗杆的长为， 解得：，即． 答：旗绳的长度为． （2）由题意可知： 过点D作，垂足为F， 则， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 68.如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-垂直平分线，勾股定理的应用： （1）连接，作的垂直平分线交于点E，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所求作； （2）设图书室E到居民区A的距为，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求作． （2）解：设图书室E到居民区A的距为，即，， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得： 图书室E到居民区A的距离为． 【考点21】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 69.如图，在中，， ， ，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)15 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ， ∴ ， 设 ，由折叠可得，， ， ， ∴， ，， 在中，可有， 即，解得， ∴ ， 故的长度为3； （2）解：结合（1），可知 ， ，， ∴ ， 故的面积为15． 70.如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 故答案为：． 【考点11】平面展开图的最短路径问题 71.如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线． 【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线．    但有三种情况： 当：，． ． 当，． ． 当， ． ∵ ∴第三种情况最短． 故选：C． 72.如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质．熟练掌握勾股定理的应用，轴对称的性质是解题的关键． 如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，，则，，可知当三点共线时，蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离，为的长，由题意知，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，， ∴， ∴， 当三点共线时，蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离，为的长， 由题意知，，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 73.如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即， 故选：A． 74.如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 75.如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是 ，确定最短路径的依据是 ． 【答案】 25 两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，两点之间，线段最短，把台阶展开，根据两点之间，线段最短可知，线段的长即为蚂蚁所爬的最短路径，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：把台阶展开如下： 由题意得，， ∴， ∴蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是，依据是两点之间，线段最短， 故答案为：25；两点之间，线段最短． 一、单选题 1．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断，利用排除法求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（    ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正确分两种情况讨论是解题关键． 分两种情况：①边长为4的边是直角边，②边长为4的边是斜边，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：①当边长为4的边是直角边时，第三边长的平方是， ②当边长为4的边是斜边时，第三边长的平方是， 综上，第三边长的平方是25或7， 故选：D． 3．如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A． B．是的高线 C．是的角平分线 D．是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法，可得出，根据等腰三角形三线合一可得出是的高线，是的角平分线． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴是的高线，是的角平分线，是中线， ∴， ∵， ∴， 无法判断是等边三角形，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 4．如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题． 【详解】解： ，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 故选D 6．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以当为腰时，当为底时，这两种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：当为腰时，点C的个数有2个； 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 7．如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，设面积为，然后根据列出方程求解即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， 在和中， ， ， ，设面积为， 同理， ， 即， 解得． 故选：B 8．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；故①正确；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；②根据③，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确；⑤由，可得，可证是等边三角形，可知⑤正确；⑥过点C作于H，于G，得，则平分，进一步解答可知⑥错误． 【详解】解：①等边和等边， ，，， ， 在和中， ， ， ； 故①正确； ③（已证）， ， （已证）， ， ， 在与中， ， ， ； 故③正确； ②， ， 是等边三角形， ， ， ∴； 故②正确； ④， ， 等边， ， ∴， ， ． 故④正确； ， ， 又， 是等边三角形，故⑤正确； ⑥如图，过点作于，于， ，， ， 平分， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 当平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，互相矛盾， ⑥错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 9．如图，面积是16，，，点A与点C关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（　　）    A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键． 连接，，由等腰三角形三线合一的性质得，，，则有，要使的周长为最小值，只需、、三点共线，进而问题可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：   ，点是的中点，， ，， 面积是16， ， ， ∵点A与点C关于直线对称， ， ， 要使的周长为最小值，只需、、三点共线，即， 的周长为最小值为． 故选：B． 二、填空题 10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 11．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意进行分类讨论，当该等腰三角形为锐角三角形时，当该等腰三角形为钝角三角形时，画出对应的示意图，根据三角形内角和定理，即可解答． 【详解】解：当该等腰三角形为锐角三角形时，如图： ， ∴， ∴； 当该等腰三角形为钝角三角形时，如图： ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，该等腰三角形的顶角度数为或， 故答案为：或． 12．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    13．如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，延长交于点E，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点E， 在中，，， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，，，线段于点．点，分别是线段，上的动点，连接，当点从点沿向点滑动时，点相应的从点沿向点滑动，始终保持不变，当与全等时，的长度等于 ． 【答案】3或4/4或3 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，注意分类讨论是解决本题的关键． 当与重合时，则，则；当时，． 【详解】解：①当与重合时， 在和中， ， ， ∴； ②当时，， 在和中， ， ， 故答案为：3或4． 三、解答题 15．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 16．如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)，； (2)t的值为或； (3)不会变化， 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形内角和定理及外角的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由等边三角形的性质可得厘米，设点P的运动时间为，则厘米，厘米，再表示出的长度即可； （2）由题意可知，厘米，厘米，厘米，当是直角三角形时，分两种情况讨论：和，根据30度角所对的直角边等于斜边一半列方程，求出t的值即可； （3）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米， 设点P的运动时间为， 由题意可知，厘米，厘米， 厘米， 故答案为：，； （2）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米，， 设点P的运动时间为， 则厘米，厘米，厘米， 当是直角三角形时， 若，则， ， ， 解得：； 若，则， ， ， 解得：， 综上可知，当是直角三角形时，t的值为或； （3）解：不会变化，理由如下： 是等边三角形， ，， 点P、Q分别从顶点A、B以相同速度同时出发，沿线段、运动， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的外角， ， 即不会变化，度数为． 17．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1），则，根据角平分线的判定即可得到结论； （2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18．某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可得出，进而等量代换即可得证； （2）过点 作 交于点 ，证明 是等边三角形，则，进而证明，根据得出则，即可证明，得出，等量代换，即可得证； （3）分为两种情况，当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 证明，得出，进而根据即可求解；当在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同理可得结论． 【详解】（1）解：∵在等边中，为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ （2）证明 过点 作 交于点 等边 ， ， 是等边三角形 又 ， ， ， 在 和 中                                                    ， ， ， （3）解：分为两种情况： ①当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴ ∴，，则为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴; ②如图，当在的延长线上时，过点作交的延长线于点 同理可得 ∴ 综上，或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$