专题01 三角形的初步认识（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

专题01 三角形的初步认识 【考点01】三角形 【考点02】三角形三边关系 【考点03】三角形的稳定性 【考点04】三角形的角平分线、中线和高 【考点05】三角形内角和定理 【考点06】三角形的外角性质 【考点07】全等图形 【考点08】全等三角形的性质． 【考点09】全等三角形的判定 【考点10】全等三角形的判定与性质 【考点11】全等三角形的应用 【考点12】角平分线的性质 【考点13】角平分线的性质 【考点14】线段垂直平分线的性质 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 知识点 6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点7 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点8 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点9 命题、定理、证明 知识点 10： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点11：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 知识点12： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点13：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点14： 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点15 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点16 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 知识点17 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 知识点18：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 【考点01】三角形 1．如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 2．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 3．在中，，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 4．若三个外角的度数之比为3：4：5，则该三角形的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【考点02】三角形三边关系 5．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（　　） A．5，5，5 B．5，5，10 C．4，7，3 D．8，2，5 6．已知三角形的三边长分别为3，，5，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知的三边分别为整数a，b，c，且满足，则的最大周长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．5 8．若一个三角形的三边长分别为3，x，9，则化简（   ） A．18 B．8 C． D． 9．如图，小雪为了估计池塘边A，B两点的距离，他在池塘外取一点C，测得米，米，则A，B两点的距离可能为（   ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 10．已知a、b、c为三角形三边长，则 ． 【考点03】三角形的稳定性 11．木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（   ） A．两点之间线段最短 B．矩形的四个角时直角 C．三角形的稳定性 D．长方形的对称性 12．下列图形中，具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 13．三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【考点04】三角形的角平分线、中线和高 14．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是（   ） A．20 B．24 C．26 D．2 17．如图，是的中线，是中点，连接，若的面积为40，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 18．如图，的面积是14，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【考点05】三角形内角和定理 19．如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是 ． 20．如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【考点06】三角形的外角性质 22．如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．如图，和分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线．若，则为（    ） A． B． C． D． 24．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 25．如图，是的平分线，是的补角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 26．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 28．如图，，把如图所示放置，直角顶点在直线上， ，若，则等于的度数为 ． 29．【教材呈现】如图是华师版义务教育教科书七年级下册数学教材82页的部分内容． 如图，在中，平分平分，求的度数． 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 解：平分（已知）， ， 同理可得______°． （______）， （等式的性质）． ______°； 【问题推广】 （1）如图1，在中，的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则______°． 【考点07】全等图形 30．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 31．下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 32．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 33．下列说法中，正确的是（    ） A．全等的两个三角形的面积相等 B．两个等腰直角三角形全等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形是全等三角形 34．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【考点08】全等三角形的性质 35．如图，已知，，，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 36．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 37．如图， ， 的周长为，且，则 的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 38．如图，在中，，点，分别在边，边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 40．如图，，且，，，则 ， ． 41．如图，A，C，E三点在同一直线上，且．若，则 ． 42．如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为 ． 43．如图，已知，，，则 ． 【考点09】全等三角形的判定 44．如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（   ） A． B． C． D． 45．如图，已知，则添加一个条件，不一定能使的是（　　） A． B． C． D． 【考点10】全等三角形的判定与性质 46．如图，点在上，点在上，，．求证：．    47．已知：如图，点、在上，且，，．求证：． 48．如图，点F，C在上，，，，求证： 49．如图，已知，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，． ①求的度数； ②求证：． 50．如图，、分别是的边、上的高，且，．求证： (1)； (2)． 51．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 52．如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点， (1)求证：； (2)已知，，求的长． 53．如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是　　　　（请写序号），并给出证明过程． 54．如图，是 的中线，，垂足为 D，，交 的延长线于点 ，是 上一点，连接 ． (1)求证：； (2)若 ，求证：． 55．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    56．如图，在中，，，直线经过点，且于D，于． (1)当直线绕点旋转到①的位置时，请说明和的数量关系，并证明； (2)当直线绕点旋转到②的位置时，请说明和的数量关系，并证明； (3)当直线绕点旋转到③的位置时，试问、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【考点11】全等三角形的应用 57．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A、B之间的距离，先在平地上取一点，分别连接并延长、到点D、E，使、，连接，此时，通过测量的长就可以得到假山两端A、B之间的距离．其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 58．如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，小明说最简单的办法是只需要带④去，小明作出这判断的依据是（    ） A．AAS B．SSS C．SAS D．ASA 【考点12】角平分线的性质 59．如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 60．如图，已知平分，是上一点，于点，是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（　　） A．10 B．5 C．3 D．2.5 61．如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为3，则的面积为（    ） A．8 B． C．6 D．5 62．在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（  ） A．21 B．24 C．18 D．48 63．如图，是的角平分线，，垂足为E，，则长是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 64．如图，在中，分别平分于点，若的周长为，的面积为，则的长为（　　） A． B． C． D． 65．如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 66．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【考点13】角平分线的判定与性质综合 67．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接． (1)证明：； (2)求的度数； (3)问是否平分？并说明理由． 68．如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 69．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为点F，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 70．在平面直角坐标系中，已知点，，连接．    (1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：． (2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：． (3)如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由． 71．如图所示，已知，．求证：点C在的平分线上．    【考点14】线段垂直平分线的性质 72．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 73．如图，直线，，分别表示三条互相交叉的公路，现要建一个物流中转站，要求到A、B、C三处的距离相等的点是的（    ） A．三条垂直平分线的交点 B．三边角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 74．如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ． 75．如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 76．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长为 ． 77．如图，和是等腰直角三角形，其中，，，过A点作，垂足为点F． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 78．如图在四边形中，，点E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F． (1)试说明． (2)如果，试说明：． 79．如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 80．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 一、单选题 1．下列每组数据分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（      ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（    ） A． B． C． D． 3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是(　　) A． B． C． D． 4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 7．如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段E上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．10 C．15 D．16 二、填空题 9．在中，若，，求边上的中线取值范围 10．如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ． 11．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 12．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的大小为 度． 13．如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 14．如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 15．如图，中，D是的中点，交于，则 ． 三、解答题 16．如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 17．如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的周长． 18．如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： (1)若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 19．如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 20．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的初步认识 【考点01】三角形 【考点02】三角形三边关系 【考点03】三角形的稳定性 【考点04】三角形的角平分线、中线和高 【考点05】三角形内角和定理 【考点06】三角形的外角性质 【考点07】全等图形 【考点08】全等三角形的性质． 【考点09】全等三角形的判定 【考点10】全等三角形的判定与性质 【考点11】全等三角形的应用 【考点12】角平分线的性质 【考点13】角平分线的性质 【考点14】线段垂直平分线的性质 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 知识点 6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点7 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点8 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点9 命题、定理、证明 知识点 10： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点11：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 知识点12： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点13：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点14： 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点15 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点16 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 知识点17 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 知识点18：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 【考点01】三角形 1．如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要查了三角形的个数．根据三角形定义解答即可． 【详解】解：图中的三角形有：，共16个， 故选：D 2．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．根据三角形按边的分类方法即可确定． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形包括腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形， 故选：B． 3．在中，，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 的形状是直角三角形， 故选：B． 4．若三个外角的度数之比为3：4：5，则该三角形的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形的外角的定义，根据题意先分别求得三个外角，进而求得三角形内角的度数，即可求解． 【详解】∵三角形三个外角度数之比是， ∴三个外角分别为，，， 则三个内角分别是，，， ∴此三角形是直角三角形． 故选：B． 【考点02】三角形三边关系 5．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（　　） A．5，5，5 B．5，5，10 C．4，7，3 D．8，2，5 【答案】A 【分析】此题主要考查三角形的构成条件，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可． 【详解】A．，能组成三角形，故该选项正确，符合题意； B．，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意； C．，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意； D．，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选A． 6．已知三角形的三边长分别为3，，5，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和；据此求解即可． 【详解】解：依题意，，即， 故选：B． 7．已知的三边分别为整数a，b，c，且满足，则的最大周长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，非负数的性质，先由非负性的性质得到，则，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边确定c的取值范围，再根据c为整数求出c的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵c为整数， ∴c的最大值为4， ∴的最大周长为， 故选：B． 8．若一个三角形的三边长分别为3，x，9，则化简（   ） A．18 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的化简和三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三边关系得到的取值范围，再化简． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，小雪为了估计池塘边A，B两点的距离，他在池塘外取一点C，测得米，米，则A，B两点的距离可能为（   ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系可得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∴A，B两点的距离可能为11米． 故选：A 10．已知a、b、c为三角形三边长，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形三边关系定理可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值进行计算即可． 【详解】解：∵a、b、c为三角形三边长， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【考点03】三角形的稳定性 11．木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（   ） A．两点之间线段最短 B．矩形的四个角时直角 C．三角形的稳定性 D．长方形的对称性 【答案】C 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉三角形稳定性的性质是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：木工在做完门框后，为防止门框变形，斜拉两个木条，是根据三角形具有稳定性． 故选：C． 12．下列图形中，具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：根据三角形的稳定性得：具有稳定性的是 故选：D 13．三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性的应用是解题的关键． 根据三角形的稳定性作答即可． 【详解】解：由题意知，蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【考点04】三角形的角平分线、中线和高 14．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为高，根据三角形的高的定义逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的高的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、线段不是的高，故不符合题意； B、线段不是的高，故不符合题意； C、线段不是的高，故不符合题意； D、线段是的高，故符合题意； 故选：D． 15．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，依此即可求解，熟悉它们的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，， ∴选项A、B、D正确，但不符合题意，选项C错误，符合题意， 故选：C． 16．如图，在中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是（   ） A．20 B．24 C．26 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，根据三角形中线的定义可得，由的周长为30，，求出，进而得出的周长． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 故选：B． 17．如图，是的中线，是中点，连接，若的面积为40，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．根据是的中线，可得，再由是中点，可得即可求解． 【详解】解：是的中线，的面积为40， ， ， 是中点， ， 即图中阴影部分的面积是10． 故选：B 18．如图，的面积是14，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质，得到，，进而推出，，即可解题． 【详解】解： 的面积是14，点D，E，F，G分别是，，，的中点， ， ， ， ， ， 连接， ， 的面积是， 故选：A． 【考点05】三角形内角和定理 19．如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形高的定义；先根据角平分线的定义得到，则，再由三角形高的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键． （1）由角平分线得，由及三角形外角的性质，即可证得结论成立； （2）由，设，则，，再由及三角形内角和即可求得度数，从而求得的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，三角形高的定义： （1）由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形外角的性质求出，再由三角形内角和定理得到，接着由角平分线的定义得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：平分，， ， 是的高， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ． 【考点06】三角形的外角性质 22．如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此即可求解． 【详解】解：由三角形的外角的性质可知， 故选：A． 23．如图，和分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是规律探索问题，考查了三角形外角的性质，与角平分线有关的内角和问题；利用三角形内角和、三角形外角的性质及角平分线的定义可得，同理得，，……，由此规律可得的结果． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴； ∵，， ∴， ∴； 同理：，，……，； 故选：B． 24．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角，根据三角形内角和定理，易得；设与交于点，根据三角形的外角易得，，则的度数可求． 【详解】解：∵，， ， 由折叠的性质可得：， 如图，设与交于点， 由三角形的外角可得：，， 则． 故选：D． 25．如图，是的平分线，是的补角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考査了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为. 根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果． 【详解】解： 是的平分线，是的补角的平分线，，， ，． ，． ． ， ． ． 故选 C． 26．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故选：． 27．如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 28．如图，，把如图所示放置，直角顶点在直线上， ，若，则等于的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据“对顶角相等”可得，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，然后根据“两直线平行，同位角相等”，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 29．【教材呈现】如图是华师版义务教育教科书七年级下册数学教材82页的部分内容． 如图，在中，平分平分，求的度数． 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 解：平分（已知）， ， 同理可得______°． （______）， （等式的性质）． ______°； 【问题推广】 （1）如图1，在中，的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则______°． 【答案】教材呈现：25；三角形内角和定理；115；问题推广：（1）；（2）49 【分析】教材呈现：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 问题推广：（1）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （2）先根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出， 得出，根据，得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴， 同理可得 ， ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （1）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）平分，平分， ，， ，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【考点07】全等图形 30．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的定义：完全重合的两个图形叫做全等图形，根据定义，逐项验证即可得到答案，熟记完全重合的两个图形叫做全等图形判断是解决问题的关键． 【详解】解：A、两个脸谱不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个心形图案能完全重合，是全等图形，符合题意； C、两个树叶一大一小，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形，一个是圆、一个不是，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 31．下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等图形，掌握全等图形的概念是解决问题的关键． 利用全等图形的概念可得答案． 【详解】解∶ A．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意； C．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选∶B． 32．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 33．下列说法中，正确的是（    ） A．全等的两个三角形的面积相等 B．两个等腰直角三角形全等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形是全等三角形 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理以及性质是解题关键．根据全等三角形的性质和判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、全等的两个三角形的面积相等，说法正确，符合题意； B、两个等腰直角三角形角度相等，三边不一定相等，所以不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； D、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； 故选：A． 34．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点08】全等三角形的性质 35．如图，已知，，，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、垂直的定义等知识.根据全等三角形的性质得到，，得到，由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理得到，即可得到的度数. 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：D 36．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选：D． 37．如图， ， 的周长为，且，则 的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为．由全等三角形的性质得出的周长为，进而得出的周长的周长即可． 【详解】解：∵ ，的周长为， ∴的周长为，， ∴的周长 的周长 ． 故选：A． 38．如图，在中，，点，分别在边，边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形的性质推出，，由三角形内角和定理求出，由三角形外角的性质得到，因此．本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，由三角形外角的性质得到． 【详解】解： ，， ， ， ，且， ． 故选：C． 39．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选：D。 40．如图，，且，，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等求出是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据全等三角形对应角相等可得，根据全等三角形对应边相等可得，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 41．如图，A，C，E三点在同一直线上，且．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，，再利用线段的和差关系，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 42．如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握全等三角形的性质．利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【详解】解： ， ，， ， ， ． 故答案为：24 43．如图，已知，，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了全等三角形的对应角相等，并注意运用了三角形的内角和定理，做题时要找准对应关系． 先利用，得到对应角相等，然后在中依据三角形内角和定理，求出的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【考点09】全等三角形的判定 44．如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．全等三角形的判定定理有． 【详解】解：由于，， A、添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B、添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C、添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D、添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 45．如图，已知，则添加一个条件，不一定能使的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，加上公共边，然后利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可； 本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键. 【详解】， 当添加时，可根据“”判断； 当添加时，可根据“”判断； 当添加时，则，可根据“”判断. 故选：A. 【考点10】全等三角形的判定与性质 46．如图，点在上，点在上，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件证明，即可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 47．已知：如图，点、在上，且，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，由已知条件可得出，在利用证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 48．如图，点F，C在上，，，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵点在上，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 49．如图，已知，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）①由三角形外角的性质求出，由全等三角形的性质得出，利用等腰三角形的性质求解，即可解题； ②利用“”证明，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：①，， ， ， ， ， ； ②证明：， ， ， 由①可知：， 在和中， ， ， ． 50．如图，、分别是的边、上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）首先证明，再加上条件可以证明进而得到； （2）根据可得，再证明可得，进而得到 ，即可证出． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ， 又， ， ， ， 即， ． 51．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于． （3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线(已知)， ∴， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， ． （3）解：如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 52．如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点， (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的关系可得，，由“角角边”即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴，， 在中，， ∵,， ∴的长为． 53．如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是　　　　（请写序号），并给出证明过程． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题． （1）欲证明，只要证明； （2）由，推出，由 可得； （3）结论：②；作于于J．利用角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴． （2）证明：∵ ∴ ∵ 又， ， ∴， ∴ （3）解：结论：② 理由：作于于J． ∵ ∴ ∴ •， ∴， ∵作于K，于J， ∴ 不妨设①成立，则，则显然不可能，故①错误． 故答案为：②． 54．如图，是 的中线，，垂足为 D，，交 的延长线于点 ，是 上一点，连接 ． (1)求证：； (2)若 ，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是 的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即：， ∴． 55．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 56．如图，在中，，，直线经过点，且于D，于． (1)当直线绕点旋转到①的位置时，请说明和的数量关系，并证明； (2)当直线绕点旋转到②的位置时，请说明和的数量关系，并证明； (3)当直线绕点旋转到③的位置时，试问、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【答案】(1)，证明见解析； (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 【考点11】全等三角形的应用 57．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A、B之间的距离，先在平地上取一点，分别连接并延长、到点D、E，使、，连接，此时，通过测量的长就可以得到假山两端A、B之间的距离．其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， 故选：A． 58．如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，小明说最简单的办法是只需要带④去，小明作出这判断的依据是（    ） A．AAS B．SSS C．SAS D．ASA 【答案】D 【分析】本题为关于全等三角形判定定理的开放性试题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据可判断带④去． 【详解】解：①②③只保留了原三角形一个角的一部分或和一条边的一部分，根据这三块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的三角形玻璃；④不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带④去． 故选：D． 【考点12】角平分线的性质 59．如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：如图所示，延长，交于点D，   ， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵和同底等高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 60．如图，已知平分，是上一点，于点，是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（　　） A．10 B．5 C．3 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，有最小值， 平分，，， ， 长的最小值为5， 故选：B． 61．如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为3，则的面积为（    ） A．8 B． C．6 D．5 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得，点到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比． 【详解】点是三条角平分线的交点， 点到，的距离相等， 、面积的比：：． 的面积为， 的面积为． 故选：D． 62．在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（  ） A．21 B．24 C．18 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质可得出，然后根据割补法求四边形的面积即可． 【详解】解：过D作于E， ∵，，平分，， ∴， 又，， ∴ ， 故选：A． 63．如图，是的角平分线，，垂足为E，，则长是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出长和三角形的面积． 【详解】解：过作于，如图：    是的角平分线，， ， ， 的面积为8， 的面积为， ， ， ， 故选：D． 64．如图，在中，分别平分于点，若的周长为，的面积为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，与三角形高有关的计算，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，过作于于，根据角平分线的性质可得，因为的面积的面积的面积的面积，所以有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过作于于， ∵分别平分， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 65．如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作辅助线构造出、间的距离的线段是解题的关键． 过点作，交于，交于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为、间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于， ，， ， 是的平分线，，， ， 是的平分线， ，， ， 点到的距离与到的距离之和为． 故选：C． 66．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． 【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故选：D 【考点13】角平分线的判定与性质综合 67．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接． (1)证明：； (2)求的度数； (3)问是否平分？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)平分，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识． （1）由证明，根据全等三角形的性质得出； （2）令与的交点为，由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，据此得出； （3）作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，令与的交点为， 由（1）得， ∴，， 又， ； （3）解：平分，理由如下： 如图所示，作于，于， 则， 在和中， ， ∴， ， 平分． 68．如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质和判定，过P作于Q，由中点得，结合角平分线的性质得，则，即可判定平分． 【详解】证明：过P作于Q，如图， ∵P是的中点， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 69．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为点F，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和求出，再根据平角定义求解即可． （2）根据角平分线的性质作出辅助线证明，，进而得出结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． （2）如图，过点E作，    ∵ ∴平分， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质和判定是解题关键． 70．在平面直角坐标系中，已知点，，连接．    (1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：． (2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：． (3)如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，， 【分析】（1）欲证明已经有一边，一角相等，只要证明即可． （2）如图②中，过分别作于点，作于点，由，推出．因为，，推出平分，由此即可证明． （3）结论：当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，，分两种情况讨论，连接，证明，推出即可． 【详解】（1）证明：如图①中，   即， ， ． 在与中， ， ， （2）证明：过分别作于点，作于点，如图②．    由（1）中结论，得， 在与中， ， ， ． ，， 平分， ， ， ． （3）结论：当点在线段上时，． 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段上时，理由如下：连接，如图：   ，，为的中点， ，，， ， 即， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 当点在线段的延长线上时，理由如下：连接，如图：   ，，为的中点， ，，， ， 即， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 71．如图所示，已知，．求证：点C在的平分线上．    【答案】见解析 【分析】作，的延长线，根据条件证明即可得，从而证明． 【详解】解：如图，作，的延长线，垂足分别为E，F，    ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在的平分线上． 【点睛】本题考查角平分线的判定， 掌握角平分线的判定定理和全等三角形的判定与性质是关键． 【考点14】线段垂直平分线的性质 72．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 73．如图，直线，，分别表示三条互相交叉的公路，现要建一个物流中转站，要求到A、B、C三处的距离相等的点是的（    ） A．三条垂直平分线的交点 B．三边角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 根据线段的垂直平分线的性质确定加油站的位置． 【详解】解：∵物流中转站到点A，B，C三处的距离相等， ∴物流中转站为、、的垂直平分线的交点． 故选：A． 74．如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用． 根据线段垂直平分线的性质可知，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可． 【详解】解： 的周长为，即， DE垂直平分AB， ， ， ， ， 故答案为：8． 75．如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 76．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质， 根据垂直平分线的性质可得出，根据线段的和差关系可得出，即可得出． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：5． 77．如图，和是等腰直角三角形，其中，，，过A点作，垂足为点F． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定： （1）先证明，再利用即可证明； （2）延长到G，使，连接，先证明，，由角平分线的定义得到，据此证明，得到，再根据线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 78．如图在四边形中，，点E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F． (1)试说明． (2)如果，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用平行线的性质可得，再利用证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，证明垂直平分，得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 79．如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了垂直平分线的性质， （1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后结合题意得到，求出，进而求解即可； （2）根据的周长为18，得到，然后由垂直平分求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵垂直平分 ∴ ∵的周长是18， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵的周长为18， ∴ ∵， ∴，即 ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴． 80．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （2）∵， ∴， ∵， ∴ 一、单选题 1．下列每组数据分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（      ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：，不能构成三角形，故选项A不符合题意； ，不能构成三角形，故选项A不符合题意； ，不能构成三角形，故选项A不符合题意； ，能构成三角形，故选项D符合题意； 故选D． 2．如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，．熟知这些判定定理是解题的关键． 全等三角形的判定定理有，根据定理逐个判断即可． 【详解】解：A、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； B．符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项符合题意； D、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； 故选C． 3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：D 4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知：，，， ∴， ∴， 依据是． 故选：A． 5．如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 6．如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质和判定．先证明，再结合三角形全等性质可得，再根据可得答案． 【详解】解：∵于D，， ∴，， ∴， ∵，， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，由是的中线可得 ，进而得；由是的中线可得 ；由是的中线可得，据此即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴是的中线， ∴ ， ∴， ∵D是的中点， ∴是的中线， ∴ ， ∵E是的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段E上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】如图： 连接交于点M， 是等腰三角形，点D为边的中点， ， 的底边长为6，面积是36， ， ， 是的垂直平分线， 点C关于直线的对称点为点A， 的长为的最小值， 的周长最短 故选C． 二、填空题 9．在中，若，，求边上的中线取值范围 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系的应用，延长至点，使，连接，，证明，得出，再结合三角形三边关系得出，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 10．如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，连接，由三角形的中线与面积的关系可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵、是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． 11．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．先证明，得出，再分两种情况讨论，①当点在射线上移动时；②当点在射线上移动时，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的垂线交直线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点在射线上移动时，， ∵点从点出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：； ②当点在射线上移动时，， ∵点从点出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：； 综上所述，当点在射线上移动或时，； 故答案为：或． 12．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图（作已知角的平分线），利用基本作图得到，再利用平行线的性质得，得，然后根据三角形内角和计算的度数即可． 【详解】解：由作法知：平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的大小为度． 故答案为：． 13．如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．延长交于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：3． 14．如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键． 分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为3或． 故答案为：3或． 15．如图，中，D是的中点，交于，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出 ，进而判定，即可得到，据此列出方程 ，求得的值，即可得到长． 【详解】解：连接，过作于， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ， 解得， ， 故答案为：10． 三、解答题 16．如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：是边上的中线， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，， ， ∵， ， ， ． 17．如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求． （2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线， ， 的周长为： ． ∵，， ∴的周长为． 18．如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： (1)若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)45 (2)8 (3)，理由见详解 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质以及等角的余角相等，先证明，进而可得结论； （3）证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 45； （2）∵于M，于N， ∴，． 在中， ∴， 同理：． 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19．如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 【答案】见详解 【分析】做出的垂直平分线和的平分线，其交点即为所求．本题考查了作图应用与设计作图，熟悉角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：如图：交点即为所求 20．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）①④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由题意知，，则，，，由，可得，求解作答即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，则，，，由，，可得，进而可证，则，，可判断①、④的正误；由，可知当时，，由，的关系未知，可判断②、③的正误； （3）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （4）如图4，由，，可得，，，由，可得，即，，由，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：如图2，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，，①④正确，故符合要求； ∵， ∴当时，， ∵，的关系未知， ∴②③错误，故不符合要求； 故答案为：①④； （3）证明：如图3，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 解：如图4，            ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$