专题02 有理数运算（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版2024）

专题02 有理数运算 【考点01】有理数的加法运算 【考点02】有理数的减法运算 【考点03】有理数的加减运算 【考点04】 有理数乘法运算 【考点05】 有理数除法运算 【考点06】 有理数乘除法运算 【考点07】有理数的乘方 【考点08】有理数混合运算 【考点09】算“24”点 【考点10】科学计数法 【考点11】近似数的表示 【考点12】有理数实际应用 知识点1：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点2：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点2：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点3：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加 即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点4： 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点5：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点6：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点7：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点8：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点01】有理数的加法运算 【典例1-1】为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【变式1-3】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式＝ ＝ ＝． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【考点02】有理数的减法运算 【典例2】计算： (1) (2) 【变式2-1】计算 (1) (2) 【变式2-2】对于任意的两个有理数，定义.如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【考点03】有理数的加减运算 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3-1】计算： (1) (2) 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【变式3-3】计算： (1)． (2)． 【变式3-4】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 【考点04】 有理数乘法运算 【典例4】简便计算： (1) (2) 【变式4-1】用简便方法计算：． 【变式4-2】请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：； 所以： 请计算： (1)； (2)． 【变式4-3】已知x、y均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足．例如． (1)求的值； (2)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【考点05】 有理数除法运算 【典例5】在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【变式5-1】计算：（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．3或 D．1或 【变式5-3】在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，， 例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【考点06】 有理数乘除法运算 【典例6】计算： (1) (2) 【变式6-1】（1）计算：； （2）计算：． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【变式6-3】计算 【考点07】有理数的乘方 【典例7】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7-1】下列各对数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式7-2】若，则a，，由小到大排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的小棒长（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】若，则 ． 【变式7-5】二进制数与常用的十进制数之间可以互相转换，如将二进制数转换成十进制数的方法为；将二进制数转换成十进制数的方法为．按此方法，二进制数转换成十进制数的结果是 ．（提示：） 【考点08】有理数混合运算 【典例8】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【变式8-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式8-3】计算： (1) (2) 【考点09】算“24”点 【典例9】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： 　　　　0　　　　 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，最大乘积是___________； (2)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算的式子．（至少写出两种） 【变式9-1】有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式： ，使其结果等于24． 【变式9-2】请将“﹣2，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使运算结果为24或（不可使用绝对值和相反数参与运算，可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 【考点10】科学计数法 【典例10】2008年5月26日下午，奥运圣火扬州站的传递在一路“中国加油”中进行着，全程11200米，用科学记数法，结果为（   ）米 A． B． C． D． 【变式10-1】2024年国庆长假期间的10月2日，鼓浪屿景区的游客总数约为118000人，将118000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】据报道：今年“国庆”期间，常州文旅市场文明有序，全市接待游客总人数约为3880600人次．将3880600用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【考点11】近似数的表示 【典例11】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到千分位） C．（精确到） D．（精确到百分位） 【变式11-1】将3.14159精确到0.01的近似值为 ． 【变式11-2】按括号内的要求用四舍五入法取近似数，其中正确的是(   ) A． (精确到) B． (精确到十分位) C． (精确到) D． (精确到个位) 【变式11-3】数据按四舍五入精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【考点12】有理数实际应用 【典例12】某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：，，，，，，，（单位：元） 请通过计算说明： (1)当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？ (2)每套儿童服装的平均售价是多少元？ 【变式12-1】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该中心大楼每层高，电梯每向上或下需要耗电度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？ 【变式12-2】出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“”，向北记作“”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米） ，，，，，． (1)小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ (2)若出租车每公里耗油升，求小王回到出发地共耗油多少升？ (3)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？ 【变式12-3】一批水果的标准质量是30千克，超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，． (1)这批水果总共有多少千克？ (2)第一天按每千克价格5元卖出了这批水果的一半，第二天为了吸引顾客把第一天卖水果的价格降价后作为新的价格，卖完了剩下的水果，一共卖了多少钱？ 【变式12-4】某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆； (3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把写成省略加号和的形式为（   ） A． B． C． D． 3．地球与月球平均距离约为384400千米，将数字384400用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.5（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001） 5．某种食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合存储这种食品的是（　　） A． B． C． D． 6．七月杏树果熟开始采摘.图中每筐杏以千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下，则这筐中，质量最接近标准的是（　　） A．   B．   C．   D．   7．在数轴上，一个点从开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（    ） A． B． C． D． 8．小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 二、填空题 9． ． 10．数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数： ，，，0，，，然后从中抽取3张．使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是 ． 11．如图，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 12．一块蛋糕，一只小猴第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，第四天这只小猴又吃了剩下的一半，则第四天这只小猴吃了这块蛋糕的 ． 13．将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次，可以得到 条折痕． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 16．计算： (1)； (2)． 17．定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 18．某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售，原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据求前五天共卖出多少箱； (2)本周实际销售总量是否达到了计划销售总量，请通过计算说明理由； (3)若每箱柑橘售价为80元，同时需要支付运费9元/箱，求该果农本周共收入多少元． 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（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点6：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点7：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点8：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点01】有理数的加法运算 【典例1-1】为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“”和括号，括号内变号，即可解答． 【详解】原式． 故选：A． 【典例1-2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数加法运算， （1）直接根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据加法交换律和结合律分别将正数和负数分组，再进行加法运算即可； （3）根据加法交换律和结合律分别将正数和负数分组，再进行加法运算即可； （4）根据加法交换律和结合律分别将正数和负数分组，再进行加法运算即可； 掌握相应的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-1】将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）先去绝对值符号再进行相加即可； （2）根据有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-3】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式＝ ＝ ＝． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】． 【分析】根据例题将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键． 【考点02】有理数的减法运算 【典例2】计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）本题考查的是有理数的减法运算，把减法化为加法运算，再计算即可； （2）本题考查的是有理数的加减混合运算，先把原式化为省略加号的和的形式，再结合运算律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 【变式2-1】计算 (1) (2) 【答案】(1)6 (2)0 【分析】（1）根据有理数减法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 【变式2-2】对于任意的两个有理数，定义.如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)6 (2)8 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数混合运算、化简绝对值等知识，正确理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ， ∴ 【考点03】有理数的加减运算 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的减法计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，直接根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再计算加减即可； （2）直接利用有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式3-3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟记有理数的加减运算法则是解题关键． （1）根据加法交换律与结合律进行计算即可； （2）先都化为小数，再根据加法交换律与结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-4】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． （2）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ． 【考点04】 有理数乘法运算 【典例4】简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律，将不好直接计算的数先化简，利用乘法分配律再进行计算是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律，将括号去掉，然后分别计算分数乘以整数，最后得到结果． （2）先将写成，再利用乘法分配律去掉括号计算得到结果． 【详解】（1） （2） 【变式4-1】用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】原式 【变式4-2】请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：； 所以： 请计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可． （2）根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：因为所以 【变式4-3】已知x、y均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足．例如． (1)求的值； (2)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【答案】(1) (2)，，满足交换律 【分析】（1）利用新运算的规定先算括号内的再算括号外； （2）利用新运算的规定分别计算两个算式，比较结果即可得出结论． 【详解】（1）解：原式※4 ※4 ※4 ； （2）这种新定义满足交换律，理由： ※， 5※， ※※2， 这种新定义满足交换律． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，利用新运算的规定并熟练应用是解题的关键． 【考点05】 有理数除法运算 【典例5】在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算、倒数等知识，理解倒数的意义、熟练掌握有理数运算法则是解题关键． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）由（2）可知，， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数除法，根据有理数除法法则进行计算即可，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式5-2】若，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．3或 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法，绝对值的性质、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类是解题的关键． 根据已知等式，利用绝对值的性质判断出a、b、c中负数有1个，正数有2个或3个都是负数，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴a，b，c中负数有1个，正数有2个或3个都是负数， ①当a，b，c中负数有1个，正数有2个时， 则； ②当a，b，c中3个都是负数时， 则． 故或． 故选：D． 【变式5-3】在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，， 例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)10 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值等知识点，将新定义的运用化成有理数的运算成为解题的关键． （1）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可； （2）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可； （3）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【考点06】 有理数乘除法运算 【典例6】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用乘法分配律计算； （2）先算括号内的，再算括号外的． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算律和相关运算法则． 【变式6-3】计算 【答案】1 【分析】先将有理数除法转化为乘法，再根据有理数乘法法则确定符号，约分即可． 【详解】原式= = =1． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 【考点07】有理数的乘方 【典例7】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及绝对值化简，理解乘方的意义并准确计算是解题的关键．根据有理数的乘方运算法则，以及绝对值意义对各选项分别进行计算、判断，即可解题． 【详解】解：A、，，结果不相等，故本选项不符合题意； B、，，结果不相等，故本选项不符合题意； C、，，结果不相等，故本选项不符合题意； D、，，结果相等，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式7-1】下列各对数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过对备选答案进行计算，对结果进行比较大小就可以得出答案． 【详解】解：A.，，，本选项错误； B. ，，，本选项正确； C. ,,，本选项错误； D. ,,，本选项错误； 故选：B． 【变式7-2】若，则a，，由小到大排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数、平方等性质，求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即 故选：C 【点睛】此题考查了平方和倒数的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 【变式7-3】长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的小棒长（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得到结果，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 【详解】解：由题意可得：第六次后剩下的小棒长为： ， 故选：C． 【变式7-4】若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x和y的值，再根据有理数的乘方运算得出结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，即，， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查绝对值和平方式的非负性，以及有理数的乘方运算，解题的关键是掌握这些知识点进行求解． 【变式7-5】二进制数与常用的十进制数之间可以互相转换，如将二进制数转换成十进制数的方法为；将二进制数转换成十进制数的方法为．按此方法，二进制数转换成十进制数的结果是 ．（提示：） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方以及有理数的混合运算，根据题意将二进制数转换成十进制数，即可求解． 【详解】解：二进制数转换成十进制数为： 【考点08】有理数混合运算 【典例8】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)7 (3)4 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算； （1）去掉括号，绝对值，再根据有理数的加减法法则计算； （2）先去括号，再利用加法运算律计算即可； （3）先将除法变为乘法，再逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘法再运算加减，即可作答． （2）先化简乘方，绝对值，再运算乘除，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据相关运算法则正确求解是解答的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除法运算法则求解即可； （3）根据有理数的四则混和运算法则求解即可； （4）根据含乘方的有理数的运算法则和乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的乘方，有理数的混合运算，即可． （1）先计算有理数的乘方，然后根据有理数的加减运算，即可； （2）先计算有理数的乘方，然后算小括号，中括号，最后化除为乘，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【考点09】算“24”点 【典例9】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： 　　　　0　　　　 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，最大乘积是___________； (2)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算的式子．（至少写出两种） 【答案】(1)15 (2)，（答案不唯一） 【分析】（1）要使乘积最大，则取相同符号且绝对值最大的两个数，据此即可求解； （2）利用有理数的混合运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解：选取与，其乘积为． 故答案为：15． （2）解：①抽取、、0、四个数，则； ②抽取、、3、4四个数，则； ③抽取、0、3、4四个数，则．（方法不唯一） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 【变式9-1】有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式： ，使其结果等于24． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的混合计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ， ∴满足题意的式子可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式9-2】请将“﹣2，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使运算结果为24或（不可使用绝对值和相反数参与运算，可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先用构造出，然后除以4构造出，最后乘以，使运算结果为24． 【详解】， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号要先算括号内的． 【考点10】科学计数法 【典例10】2008年5月26日下午，奥运圣火扬州站的传递在一路“中国加油”中进行着，全程11200米，用科学记数法，结果为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：11200米米， 故选：B． 【变式10-1】2024年国庆长假期间的10月2日，鼓浪屿景区的游客总数约为118000人，将118000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式10-2】据报道：今年“国庆”期间，常州文旅市场文明有序，全市接待游客总人数约为3880600人次．将3880600用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：将3880600用科学记数法表示为． 故选：B． 【考点11】近似数的表示 【典例11】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到千分位） C．（精确到） D．（精确到百分位） 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：A、，不符合要求，故错误； B、精确到千分位是，故错误； C、是精确到，正确； D、精确到百分位是，故错误． 故选：C． 【变式11-1】将3.14159精确到0.01的近似值为 ． 【答案】3.14 【分析】本题考查近似数．利用四舍五入法，进行计算即可． 【详解】解：将3.14159精确到0.01的近似值为3.14， 故答案为：3.14． 【变式11-2】按括号内的要求用四舍五入法取近似数，其中正确的是(   ) A． (精确到) B． (精确到十分位) C． (精确到) D． (精确到个位) 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的近似数．根据四舍五入法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、 (精确到)，选项错误； B、 (精确到十分位) ，选项错误； C、 (精确到)，正确； D、 (精确到个位)，选项错误； 故选C． 【变式11-3】数据按四舍五入精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，若千分位的数大于或等于5，就进一，否则就舍去，据此即可作答． 【详解】解：依题意，数据按四舍五入精确到的结果是， 故选：D． 【考点12】有理数实际应用 【典例12】某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：，，，，，，，（单位：元） 请通过计算说明： (1)当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？ (2)每套儿童服装的平均售价是多少元？ 【答案】(1)当他卖完这八套儿童服装后是盈利，盈利了元 (2)每套儿童服装的平均售价是元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算的应用，正确列式计算是解此题的关键． （1）所得的正负数相加，再加上预计销售的总价，减去总进价即可得到是盈利还是亏损； （2）用销售总价除以即可． 【详解】（1）解：（元）， （元）， 故当他卖完这八套儿童服装后是盈利，盈利了元； （2）解：每套儿童服装的平均售价是（元）． 【变式12-1】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该中心大楼每层高，电梯每向上或下需要耗电度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？ 【答案】(1)王先生最后能回到出发点1楼； (2)度 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能； （2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以即可得解． 【详解】（1）解： ， ∴王先生最后能回到出发点1楼； （2）解：王先生走过的路程是 ， 他办事时电梯需要耗电（度． 答：他办事时电梯需要耗电度． 【变式12-2】出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“”，向北记作“”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米） ，，，，，． (1)小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ (2)若出租车每公里耗油升，求小王回到出发地共耗油多少升？ (3)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？ 【答案】(1)北方，8千米 (2)升 (3)112元 【分析】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算，有理数的混合运算，解题的关键时掌握有理数的运算法则． （1）根据有理数的加法列式，再进行计算即可得到答案； （2）将这些数的绝对值相加，求出总路程，再根据出租车每公里耗油升，可得答案； （3）根据行车记录和收费方法列出算式，计算即可得解． 【详解】（1）解：（千米）， ∴小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的北方，距下午出车的出发地8千米． （2）解：（千米）， （升）， （升）， （升）， ∴小王回到出发地共耗油升． （3）解：根据出租车收费标准，可知小王今天的收入是 （元）， ∴小王今天的收入是112元． 【变式12-3】一批水果的标准质量是30千克，超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，． (1)这批水果总共有多少千克？ (2)第一天按每千克价格5元卖出了这批水果的一半，第二天为了吸引顾客把第一天卖水果的价格降价后作为新的价格，卖完了剩下的水果，一共卖了多少钱？ 【答案】(1)244千克 (2)1098元 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出算式然后计算即可； （2）根据题意和题目中的数据，以及（1）中的结果，可以计算出这批水果一共卖了多少钱． 【详解】（1）解： （千克）， 答：这批水果总共有244千克； （2）解： （元）， 答：这批水果一共卖了1098元． 【变式12-4】某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆； (3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)412 (2)26 (3)42675元 【分析】本题考查了正数和负数的应用，有理数的加减法的应用， （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的减法，可得答案； （3）根据有理数的乘法，可得工资与奖金，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解：（辆）； 故答案为：412； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； 故答案为：26； （3）解：根据图表信息，本周生产的车辆共计： (辆)， （辆）， (元)． 答：该厂工人这一周的工资总额是42675元． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算以及化简绝对值，熟记相关运算法则即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C． 2．把写成省略加号和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加法和减法的法则解答本题即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：B． 3．地球与月球平均距离约为384400千米，将数字384400用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：B． 4．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.5（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【答案】C 【分析】本题考查四舍五入的近似法则，根据四舍五入近似的法则判断：对于精确到的数位的后一位四舍五入，是解决问题的关键． 【详解】A.0.05019精确到0.1约为0.1，说法正确，不符合题意； B. 0.05019精确到百分位约为0.05，说法正确，不符合题意； C. 0.05019精确到十分位约为0.1，原说法错误，符合题意； D. 0.05019精确到0.0001约为0.0502，说法正确，不符合题意； 故选：C． 5．某种食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合存储这种食品的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减运算的应用，根据有理数的加减运算，得到温度范围，根据温度范围，可得答案． 【详解】解： ，， 适合储存这种食品的温度范围是：至， 故A符合题意，B、 C、 D均不符合题意， 故选：A． 6．七月杏树果熟开始采摘.图中每筐杏以千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下，则这筐中，质量最接近标准的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了正负数的实际运用，有理数的加减混合运算，根据题意，分别算出每筐的数量再进行比较即可求解． 【详解】解：以千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数， ∴A、， B、， C、， D、， ∴最接近标准的是A选项， 故选：A ． 7．在数轴上，一个点从开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据数轴上的点的移动，左减右加，列出算式，然后计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故选：． 8．小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用拆项法解答即可求解，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 故选：． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 9． ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先去括号转化为加法，然后根据有理数的加法运算法则解题即可． 【详解】， 故答案为：． 10．数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数： ，，，0，，，然后从中抽取3张．使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数乘法运算．要想积最大，要保证最后的结果必须是正数，因此抽取的卡片负数的个数要为偶数个，据此根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵要想积最大，即要保证最后的结果必须是正数， ∴抽取的卡片负数的个数要为偶数个， ∴抽取的卡片为，，时的积最大，即， 故答案为：120． 11．如图，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法和减法运算，根据题意把的值代入，按程序一步一步计算即可，解题的关键是读懂题意，熟练掌握运算法则． 【详解】解：由题意可得， ， ， ∴最后输出的结果是， 故答案为：． 12．一块蛋糕，一只小猴第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，第四天这只小猴又吃了剩下的一半，则第四天这只小猴吃了这块蛋糕的 ． 【答案】 【分析】本题主要考查乘方，根据乘方的定义可知，小猴第一天吃了，第二天吃了第三天又吃了，以此类推．第四天这只小猴吃了这块蛋糕的． 【详解】解：小猴第一天吃了， 第二天吃了， 第三天又吃了， 第四天这只小猴吃了这块蛋糕的． 故答案为：． 13．将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次，可以得到 条折痕． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用和探索规律，通过第一次折，第二次折，第三次折，……可以发现折痕数是以为底，以折叠次数为指数的乘方再减去，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第次对折，把纸分成部分，条折痕， 第次对折，把纸分成部分，条折痕， 第次对折，把纸分成部分，条折痕， ， 依此类推，第次对折，把纸分成部分，条折痕， ∴对折次，可以得到折痕条， 故答案为：． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，直接根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的除法计算，有理数的四则混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可； （3）先计算乘除法，再计算加减法即可； （4）根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）先计算乘除法，再计算减法即可得到答案； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案， 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 18．某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售，原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据求前五天共卖出多少箱； (2)本周实际销售总量是否达到了计划销售总量，请通过计算说明理由； (3)若每箱柑橘售价为80元，同时需要支付运费9元/箱，求该果农本周共收入多少元． 【答案】(1)45箱； (2)达到了计划销售总量，理由见解析； (3)5680元． 【分析】（1）由题知预设前五天共卖出50箱，再加上前五天每天多售出的与不足的量即可得； （2）只需计算每天多售的与不足的量的和与0比较大小即可得； （3）根据收入销售额运费即可得． 本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数加减混合运算的应用；关键在于掌握正负数在实际生活中的计数应用，并利用有理数加减法进行简单的计算． 【详解】（1）解：（箱）， 答：根据记录的数据可知前五天共卖出45箱； （2）解：（箱）． 因为． 所以本周实际销售总量达到了计划销售总量； （3）解： （元）． 答：该果农本周共收入5680元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$