专题01 有理数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版2024）

专题01 有理数 【考点01】正负数 【考点02】 相反意义的量表示 【考点03】有理数的概念辨析 【考点04】有理数的分类 【考点05】有理数的大小比较 【考点06】数轴的三要素及其画法 【考点07】利用数轴比较有理数的大小 【考点08】数轴上两点之间的距离 【考点09】数轴上的动点问题 【考点10】相反数的概念 【考点11】相反数的性质运用 【考点12】绝对值定义、绝对值的性质 【考点13】化简绝对值 【考点14】绝对值的其他应用 知识点1：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点1： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点1：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点1：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点1：绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【考点01】正负数 【典例1】在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】数3，0，，中，是负数的是（   ） A．3 B．0 C． D． 【考点02】 相反意义的量表示 【典例2】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行5层楼记为+5，则电梯下行2层楼应记为（   ） A． B．+2 C．+3 D． 【变式2-1】规定：表示向东走，记作，则（）表示向西走，记作（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，这是小李的微信钱包账单截图，若表示收入66.38元，则下列说法正确的是（    ） A．表示收入11.50元 B．表示支出11.50元 C．表示支出元 D．这两项的收支和为77.88元 【变式2-3】《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 【考点03】有理数的概念辨析 【典例3】下列各数：，，0，（每两个8之间1的个数依次增加1），0.112134，其中有理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】下列说法正确的是（　　） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 【变式3-2】a是最小的正整数，b是最大的负整数，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 【变式3-3】下列说法正确的是（    ） A．整数和分数统称有理数 B．0和负分数统称分数 C．正整数和负整数统称整数 D．0和正整数叫做非负数 【考点04】有理数的分类 【典例4】把下列各数填在相应的大括号内： ，0.1，，0，，1，4.0100100……，22，，． 正数：{__________……}； 整数：{__________……}； 负分数：{__________……}． 【变式4-1】把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，3，，0，，，，，，2020． 正数集：； 负数集：； 非负整数集：； 正分数集：； 有理数集：． 【变式4-2】把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，． (1)正数集合：． (2)整数集合：． (3)分数集合：． 【考点05】有理数的大小比较 【典例5】已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数； (2)在该数轴上表示下列各数：，， ，， ， 4.5； (3)将（1）（2）中的六个数按从大到小的顺序排列，并用“>”连接． 【变式5-1】比较大小： ； ．（填“”或“”） 【变式5-2】冬季某天我国三个城市的最高气温分别是，，，把它们从高到低排列正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-3】比较四个数、、、的大小，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点06】数轴的三要素及其画法 【典例6】下面表示数轴的图中，正确的（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】在下图中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-2]下列选项中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-3】下列所画的数轴正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【考点07】利用数轴比较有理数的大小 【典例7】有理数m、n在数轴上对应点的位置如图，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知、在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式中正确的是（　） A． B． C． D． 【考点08】数轴上两点之间的距离 【典例8】在数轴上，把表示的点移动5个单位长度后的点表示的数是（     ） A．5或 B．3 C．3或 D． 【变式8-1】数轴上到数所表示的点的距离为3的点所表示的数是（　　） A． B． C．或5 D．或1 【变式8-2】数轴上到原点的距离为5的点表示的数为（    ） A．5 B． C．或5 D．或10 【变式8-3】在数轴上，在原点右边且与原点的距离是6个单位长度的点表示的数是（    ） A． B．6 C．12 D．0 【考点09】数轴上的动点问题 【典例9】阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【变式9-1】在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动， ① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 【变式9-2】有理数，，，且． (1)在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示； (2)化简：． 【考点10】相反数的概念 【典例10】的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 【变式10-1】下列说法正确的是（   ） A．的相反数是 B．符号相反的数互为相反数 C．一个数和它的相反数可能相等 D．的相反数是 【变式10-2】下列各数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式10-3】下列各数中，互为相反数是（   ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【考点11】相反数的性质运用 【典例11】若与互为相反数，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【变式11-1】已知与互为相反数，则 (   ) A． B．3 C． D．2 【变式11-2】若3a+2与－8互为相反数，则a的值为 ． 【变式11-3】已知与互为相反数，则x等于 ． 【考点12】绝对值定义、绝对值的性质 【典例12】足球是全球最具影响力的单项体育运动，它的质量有严格标准，若将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面四个足球的质量最接近标准的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式12-1】如果，那么 ． 【变式12-2】如图，某草莓采摘园采摘了A、B、C、D四筐草莓，每筐草莓以5千克为标准，超过的干克敖记为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】绝对值等于3的数是（   ） A． B．0 C．3 D．3或 【变式12-4】已知，且，则 ， ． 【考点13】化简绝对值 【典例13】综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 【变式13-1】如图，数轴上的、两点分别表示有理数、，化简，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】若，则值为（　　） A．3 或1 B．或0 C．3或 D．或1 【考点14】绝对值的其他应用 【典例14】绝对值大于而不大于的所有正整数之和为（　　） A．7 B．9 C．10 D．12 【变式14-1】绝对值大于3而小于6的所有整数之和为（    ） A．0 B．9 C． D．1 【变式14-2】绝对值小于2022的所有整数的和为 ． 【变式14-3】绝对值不大于的所有负整数的和是 ． 1．下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 3．下列化简，正确的是（   ） A．B． C． D． 4．已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值可能是（  ） A． B． C．或 D．无法确定 6．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为21厘米的线段，则线段盖住的整点数是（    ） A．20个或21个 B．20个或22个 C．21个或22个 D．21个或23个 7．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列各式①；②；③；④；一定成立的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如果某车间运进1.8吨货物记作吨，那么运出0.7吨货物记作 吨． 11．   ．（填“>”或“<”） 12．一个水文站测量河水的水位以警戒线为标准，把超过警戒线的高度记为正数，把低于警戒线的高度记为负数，一天五次测量数据如下： 次数 一 二 三 四 五 水位（厘米） 13 5 则第 次测量时水位离警戒线最近． 13．在数轴上，点表示的数为2，点与点相距8个单位长度，则点表示的数为 ． 14．把下列各数填入它所属的集合内 ，，，0， (1)整数集合{____________________……}； (2)分数集合{____________________……}； (3)非负数集合{____________________……}． 15．规定：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，表示最接近x的整数．例如：，，．按此规定： ． 16．将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“”把这些数连接起来． ，，，，，． 17．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____． (2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____． (3)当是_____时，代数式． (4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 18．先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数 【考点01】正负数 【考点02】 相反意义的量表示 【考点03】有理数的概念辨析 【考点04】有理数的分类 【考点05】有理数的大小比较 【考点06】数轴的三要素及其画法 【考点07】利用数轴比较有理数的大小 【考点08】数轴上两点之间的距离 【考点09】数轴上的动点问题 【考点10】相反数的概念 【考点11】相反数的性质运用 【考点12】绝对值定义、绝对值的性质 【考点13】化简绝对值 【考点14】绝对值的其他应用 知识点1：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点1： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点1：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点1：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点1：绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【考点01】正负数 【典例1】在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的认识，比0小的数为负数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴负数的个数为4个， 故选：C． 【变式1】数3，0，，中，是负数的是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的定义，根据负数的定义判断即可． 【详解】解：3，是正数，是负数，0既不是正数也不是负数， 故选：D． 【考点02】 相反意义的量表示 【典例2】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行5层楼记为+5，则电梯下行2层楼应记为（   ） A． B．+2 C．+3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量是解题的关键．根据正数和负数是一组具有相反意义的量，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，电梯下行2层楼应记为 故选：A． 【变式2-1】规定：表示向东走，记作，则（）表示向西走，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的表示相反意义的量，理解正负数的意义是解题关键．根据正负数的意义进行解答即可． 【详解】解：根据题意，表示向东走，记作， 则（）表示向西走，记作． 故选：B． 【变式2-2】如图，这是小李的微信钱包账单截图，若表示收入66.38元，则下列说法正确的是（    ） A．表示收入11.50元 B．表示支出11.50元 C．表示支出元 D．这两项的收支和为77.88元 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：根据表示收入元，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示， 表示支出元，故B本选项符合题意； 故选：B． 【变式2-3】《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负数的定义，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．根据题中规定解答即可． 【详解】 解：根据题意得：“”表示的数是， 故答案为：． 【考点03】有理数的概念辨析 【典例3】下列各数：，，0，（每两个8之间1的个数依次增加1），0.112134，其中有理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 【详解】解：，，0， 0.112134是有理数； （每两个8之间1的个数依次增加1）是无限不循环小数，不能化为分数，不是有理数． 故选C． 【变式3-1】下列说法正确的是（　　） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的分类．有理数的分类：①有理数可以分为正有理数，0，负有理数；正有理数可以分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数；②有理数可以分为整数和分数；整数分为正整数，0负整数；分数分为正分数和负分数；按两种分类一一判断即可．据此分析逐一判断即可． 【详解】解：A、正分数和负分数统称为分数，说法正确，本选项符合题意； B、正整数、负整数和零统称为整数，原说法错误，本选项不符合题意； C、零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，本选项不符合题意； D、零既不是正数，也不是负数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】a是最小的正整数，b是最大的负整数，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据有理数有关定义分别分析得出即可． 【详解】解：最小的正整数是1，故， 最大的负整数是，故， 则； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数的定义，熟练掌握有关定义是解题关键． 【变式3-3】下列说法正确的是（    ） A．整数和分数统称有理数 B．0和负分数统称分数 C．正整数和负整数统称整数 D．0和正整数叫做非负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的定义和分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”，根据有理数的定义和分类直接可得出答案． 【详解】解：A．整数和分数统称有理数，故A正确； B．0是整数不是分数，分数包括正分数和负分数，故B错误； C．正整数和负整数和零统称整数，故C错误； D．非负数不仅有0和正整数，还有正分数等，故D错误． 故选：A． 【考点04】有理数的分类 【典例4】把下列各数填在相应的大括号内： ，0.1，，0，，1，4.0100100……，22，，． 正数：{__________……}； 整数：{__________……}； 负分数：{__________……}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，理解有理数的分类是解题的关键．本题考查了有理数的分类，理解有理数的分类是解题的关键． 【详解】解∶ 正数：{0.1，1，4.0100100……，22， ，……}； 整数：{， 0，1， 22，……}； 负分数：{， ， ，……}． 【变式4-1】把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，3，，0，，，，，，2020． 正数集：； 负数集：； 非负整数集：； 正分数集：； 有理数集：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类．根据有理数分为正数、负数和零，进而确定正数、负数和有理数集合即可． 【详解】解：正数集：3，，，，，2020，； 负数集： ，，，； 非负整数集：3，0，2020，； 正分数集： ，，，，； 有理数集： ，3，，0，，，，，，2020，． 【变式4-2】把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，． (1)正数集合：． (2)整数集合：． (3)分数集合：． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，， 【分析】（1）根据大于零的数叫做正数即可解答； （2）根据正整数、零和负整数统称整数即可解答； （3）根据正分数和负分数统称分数即可解答； 【详解】（1）解：∵大于零的数叫做正数， ∴正数集合：，，； （2）解：∵正整数、零和负整数统称整数， ∴整数集合：，，； （3）解：∵正分数和负分数统称分数， ∴分数集合：，，； 【点睛】本题考查了正数的概念、整数的概念、分数的概念，理解对应概念是解题的关键． 【考点05】有理数的大小比较 【典例5】已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数； (2)在该数轴上表示下列各数：，， ，， ， 4.5； (3)将（1）（2）中的六个数按从大到小的顺序排列，并用“>”连接． 【答案】(1)，0，2 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了有理数，数轴上比较有理数的大小，对于（1），根据数轴上点的位置得出答案； 对于（2），在数轴上描出各点； 对于（3），根据数轴上右边的数大于左边的数得出答案． 【详解】（1）点A表示的数是，点B表示的数是0，点C表示的数是2； （2）如图所示． （3）． 【变式5-1】比较大小： ； ．（填“”或“”） 【答案】 > < 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较、绝对值、去括号等知识点，掌握有理数的大小比较方法成为解题的关键． （1）根据负数的绝对值越大，自身越小即可解答； （2）先取绝对值、去括号，然后根据正数大于负数即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：>，<． 【变式5-2】冬季某天我国三个城市的最高气温分别是，，，把它们从高到低排列正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题是有理数的大小比较的基础应用题．根据“有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小”即可求解． 【详解】解：因为，所以从高到低排列正确的是，，． 故选：C． 【变式5-3】比较四个数、、、的大小，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【考点06】数轴的三要素及其画法 【典例6】下面表示数轴的图中，正确的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查数轴的定义，数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者必须同时具备．根据数轴的定义进行判断即可． 【详解】A．符合数轴的定义，故正确； B．单位长度不一致，故错误； B．没有原点，故错误； D．没有正方向，故错误． 故选：A． 【变式6-1】在下图中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的概念，作为数轴有三个要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，由此判断即可． 【详解】解：根据数轴的三要素知：选项D符合题意． 故选：D． 【变式6-2]下列选项中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】 、数轴无原点，此选项不符合题意； 、数轴位长度不统一，此选项不符合题意； 、数轴方向不统一，此选项不符合题意； 、数轴表示正确，此选项符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了数轴三要素，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键． 【变式6-3】下列所画的数轴正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，再结合各个选项中的数轴的特点，可以判断哪个选项是正确的，从而可以解答本题． 【详解】解：A、原点左侧的数据标错，应该是从左到右按照从小到大的顺序排列，本选项不符合题意； B、正确，本选项符合题意； C、没有原点，本选项不符合题意； D、单位长度不一样，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴的定义，解答本题的关键是明确数轴的特点，知道数轴的三要素：原点、正方向和单位长度． 【考点07】利用数轴比较有理数的大小 【典例7】有理数m、n在数轴上对应点的位置如图，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，熟练掌握用数轴上的点表示有理数，理解“在数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数”是解决问题的关键．根据理数m、n在数轴上对应点的位置得：，且，然后在数轴上表示出，再根据“在数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数”即可得出答案． 【详解】解：根据理数m、n在数轴上对应点的位置得：，且， ∴有理数在数轴上的位置如图所示： 根据“在数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数”得：． 故选：D 【变式7-1】已知、在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的大小，有理数的运算和绝对值的意义，观察数轴得到，再逐项判断即可，根据数轴确定，的关系是解本题关键． 【详解】解：由图得：，． A． ， ，故选项A错误，不符合题意； B． ， ，故选项B正确，符合题意； C．，， ，故选项C错误，不符合题意； D．根据绝对值的定义，由图得|b|＞|a|，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式7-2】有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式中正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了运用数轴比较数的大小以及有理数的运算法则，根据数轴确定、的符号和大小是解答本题的关键． 根据数轴上、的所在位置，确定、，，的符号． 【详解】解：由图可知， ， ， 故选：． 【考点08】数轴上两点之间的距离 【典例8】在数轴上，把表示的点移动5个单位长度后的点表示的数是（     ） A．5或 B．3 C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数．根据题意进行分类讨论，再分别进行讨论． 【详解】解：当表示的点向左移动5个单位长度，得到的对应点表示的数是； 当表示的点向右移动5个单位长度，得到的对应点表示的数是； 综上：所得到的的对应点表示的数是或3． 故选：C． 【变式8-1】数轴上到数所表示的点的距离为3的点所表示的数是（　　） A． B． C．或5 D．或1 【答案】D 【分析】根据数轴上的点的特点即可求解；解题的关键是熟知数轴上的点的距离求解方法． 【详解】解：设所求的点表示的数是x， 由题意可得， ∴或， 解得或， 故选：D． 【变式8-2】数轴上到原点的距离为5的点表示的数为（    ） A．5 B． C．或5 D．或10 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况：（1）在原点左边；（2）在原点右边；求出与原点距离为5个单位长度的点表示的数是多少即可． 【详解】（1）与原点距离为5个单位长度的点在原点左边时， 它表示的数是； （2）与原点距离为5个单位长度的点在原点右边时， 它表示的数是； 故数轴上，与原点距离为5个单位长度的点表示的数是或5． 故选C． 【点睛】此题考查数轴，解题关键在于分情况讨论． 【变式8-3】在数轴上，在原点右边且与原点的距离是6个单位长度的点表示的数是（    ） A． B．6 C．12 D．0 【答案】B 【分析】根据数轴的性质即可得． 【详解】解：在数轴上，在原点右边且与原点的距离是6个单位长度的点表示的数是6， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【考点09】数轴上的动点问题 【典例9】阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （3）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，利用数轴并结合即可得解； （4）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到、和所对应的点的距离之和，再结合数轴即可得解； （5）分情况讨论：当时，当时，当时，结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为； （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且， ∴ 结合数轴可得，这样的整数有，，，，； （4）解：∵表示数轴上数所对应的点到、和所对应的点的距离之和， ∴结合数轴可得，当时，由最小值，最小值为； （5）解：当时，，，故； 当时，，，故，此时当时，的值最大，为； 当时，，，故； 综上所述，的最大值为． 【变式9-1】在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动， ① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 【答案】(1)-60；80 (2)①8；44；②C；；30； 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离,正确理解题意是解题的关键． （1）利用线段的和差和数轴的定义即可求得C点和E点所代表的数； （2）①分别计算B 球第一次撞向右挡板E和B球第二次撞向右挡板E所经过的路径长，即可求得答案； ②计算A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为，则再经过路程，A球向左撞到C球，即知当C球向左行时，三个球运动的路程和为，所以可知C球正在运动，即可求得A 、B、C三球表示的数． 【详解】（1）解：A和C两球间的距离为 C球表示的数为； A球到挡板E的距离为， 挡板E表示的数为； 故答案为：；． （2）解：①， 秒后B 球第一次撞向右挡板E， ， ， 秒后B球第二次撞向右挡板E； 故答案为：8，44． ②当A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为， 再经过路程，A球向左撞到C球， 当C球向左行时，三个球运动的路程和为， 当三个球运动的路程和为时，C球正在运动； 此时，A 球在原C球的位置，表示的数为，B 球在原来球的位置，表示的数为30，C 球表示的数为． 故答案为： C；；30；． 【变式9-2】有理数，，，且． (1)在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示； (2)化简：． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据所给的范围确定数在数轴上的位置即可； （2）由题意可知，，，再化简即可． 本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，有理数，，，且 ∴如图所示： （2）解：，，，且， ，，， ． 【考点10】相反数的概念 【典例10】的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键．根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是, 故选：C． 【变式10-1】下列说法正确的是（   ） A．的相反数是 B．符号相反的数互为相反数 C．一个数和它的相反数可能相等 D．的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义，根据相反数的定义可各个选项进行一一分析进而得出答案即可． 【详解】解：A、根据的相反数是，故此选项错误； B、只有符号不同的两个数是互为相反数，故此选项错误； C、一个数和它的相反数可能相等，如0的相反数等于0，故此选项正确； D、的相反数是，故此选项错误； 故选：C． 【变式10-2】下列各数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】此题考查了相反数的判断，化简多重符号，先分别化简多重符号，再根据相反数定义判断即可 【详解】解：A. ，故与相等，不是互为相反数，故不符合题意； B. ，故与相等，不是互为相反数，故不符合题意； C. ，，故与相等，不是互为相反数，故不符合题意； D. ，故与是互为相反数，故符合题意； 故选：D 【变式10-3】下列各数中，互为相反数是（   ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号、相反数的定义，先化简多重符号，再根据相反数的定义逐项判断即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故与3不是互为相反数，不符合题意； B、，故与是互为相反数，符合题意； C、，故与不是互为相反数，不符合题意； D、，故与不是互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【考点11】相反数的性质运用 【典例11】若与互为相反数，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的知识，理解相反数的性质是解题关键．互为相反数的两个数的和是0，据此即可获得答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴． 故选：D． 【变式11-1】已知与互为相反数，则 (   ) A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据相反数数的和为0，得，求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查相反数，熟练掌握相反数的和为0是解题的关键． 【变式11-2】若3a+2与－8互为相反数，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】根据相反数的性质：互为相反数的两个数的和为列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程，相反数的性质，互为相反数的两个数的和为是解题关键． 【变式11-3】已知与互为相反数，则x等于 ． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴ 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 【考点12】绝对值定义、绝对值的性质 【典例12】足球是全球最具影响力的单项体育运动，它的质量有严格标准，若将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面四个足球的质量最接近标准的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的意义，先确定各数的绝对值，即可得出答案． 【详解】因为， 所以足球质量最接近标准的是． 故选：C． 【变式12-1】如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和绝对值的意义，根据绝对值的意义，求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式12-2】如图，某草莓采摘园采摘了A、B、C、D四筐草莓，每筐草莓以5千克为标准，超过的干克敖记为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的意义；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴最接近标准质量的是A； 故选：A． 【变式12-3】绝对值等于3的数是（   ） A． B．0 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的性质及其定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴绝对值等于3的数是3或， 故选：D． 【变式12-4】已知，且，则 ， ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义和性质，确定x，y的值，即可． 本题考查了绝对值的性质和意义，有理数大小比较，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或；或， ∵， ∴是负数或0； ∴或， ∴，， 故答案为：；． 【考点13】化简绝对值 【典例13】综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 【答案】(1)和的零点值为，4 (2) 【分析】本题主要考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目意思，以及进行分类讨论的思想． （1）根据零点值的定义进行计算即可； （2）零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；，分这三种情况化简求值即可． 【详解】（1）解：令， 解得：，， ∴和的零点值为，4； （2）解：令， 解得：，， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式． 【变式13-1】如图，数轴上的、两点分别表示有理数、，化简，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴判断有理数大小，以及绝对值化简，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据数轴判断的、正负，再结合绝对值意义化简，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， ， ， 故选：A． 【变式13-2】若，则值为（　　） A．3 或1 B．或0 C．3或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，分两种情况进行求解是关键． 根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或，； 当，时，， 当，时，， 综上，值为3或． 故选：C． 【考点14】绝对值的其他应用 【典例14】绝对值大于而不大于的所有正整数之和为（　　） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据题意得出绝对值大于而不大于的所有正整数为，再求和，即可求解． 【详解】解：绝对值大于而不大于的所有正整数为，其和为， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的分类，绝对值的意义，有理数的加法运算，理解题意解题的关键． 【变式14-1】绝对值大于3而小于6的所有整数之和为（    ） A．0 B．9 C． D．1 【答案】A 【分析】写出所有满足题意的整数，然后求和即可． 【详解】解：绝对值大于3而小于6的所有整数为 ∴他们的和为， 故选A． 【点睛】此题考查的是绝对值、比较大小、相反数及有理数的加法，掌握绝对值的定义和相反数的性质是解题关键． 【变式14-2】绝对值小于2022的所有整数的和为 ． 【答案】0 【分析】根据题意写出绝对值小于2020的所有整数，然后进行求解即可． 【详解】解：∵绝对值小于2022的所有整数是：0、±1、±2、…、±2021， ∴绝对值小于2022的所有整数的和为0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查有理数的运算和绝对值的应用，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键． 【变式14-3】绝对值不大于的所有负整数的和是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义可得绝对值不大于的所有负整数是，再求和即可． 【详解】解：绝对值不大于的所有负整数是， 它们的和是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义和有理数的加法运算，正确求得满足条件的负整数是关键． 1．下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义，绝对值，多重符号化简等知识点，将选项中的数准确化简是解本题的关键． 【详解】解：A、是正数，不符合题意； B、是正数，不符合题意； C、0不是正数，也不是负数，不符合题意； D、是负数，符合题意； 故选：D． 2．下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的概念，熟练掌握数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，是解题的关键．根据数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、没有正方向，错误； B、没有原点，错误． C、的单位长度不一致，错误； D、满足原点，正方向，单位长度，正确； 故选：D． 3．下列化简，正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多重符号化简，根据“奇负偶正”的方法进行化简即可求解． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A ． 4．已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和去绝对值，根据数轴分别判断，，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，，， ∴ ， ， 故选：． 5．已知，则的值可能是（  ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．利用绝对值的性质即可解决． 【详解】解：∵， ∴或， 故选：C． 6．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为21厘米的线段，则线段盖住的整点数是（    ） A．20个或21个 B．20个或22个 C．21个或22个 D．21个或23个 【答案】C 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提．分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可． 【详解】解：依题意得：①当线段起点在整点时覆盖22个数； ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖21个数． 故选：C． 7．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列各式①；②；③；④；一定成立的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查数轴及绝对值的性质，有理数加减法及绝对值的意义，熟知数轴上右边总比左边大是解题关键．先根据a、b在数轴上的位置判断a、b的符号及绝对值的大小，再对各个选项进行判断即可． 【详解】解：由图知， ，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确； 综上所述：正确的结论有①③④，共3个， 故选：C． 8．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】此题考查了利用数轴解决问题的能力，关键是能确定出此题的变化规律． 找出在翻转的过程中，顶点A、B、C、D分别对应数的规律，再根据可以得到答案． 【详解】∵每4次翻转为一个循环组依次循环， ∴， ∴翻转2016次后正方形在数轴上的方向和题干中一致， ∴此时点A对应的数为2016 ∴翻转2017次后，数轴上数2017所对应的点是B． ∴翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是C． ∴翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是D． 故选D． 9．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 根据题意得出每4个数为一循环，分别为0、3、2、1，得出数轴上表示的点与第506组第3个数重合，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：每4个数为一循环，分别为0、3、2、1， ， ∴数轴上表示的点与第506组第3个数重合，即为2， 故选：C． 10．如果某车间运进1.8吨货物记作吨，那么运出0.7吨货物记作 吨． 【答案】 【分析】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵运进1.8吨货物记作吨， ∴运出0.7吨货物记作吨． 故答案为：． 11．   ．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案． 【详解】先化简：， ， 再求它们的绝对值， ，， ∵ ∴， 即， 故答案为：． 12．一个水文站测量河水的水位以警戒线为标准，把超过警戒线的高度记为正数，把低于警戒线的高度记为负数，一天五次测量数据如下： 次数 一 二 三 四 五 水位（厘米） 13 5 则第 次测量时水位离警戒线最近． 【答案】三/3 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数比较大小，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．比较各数绝对值的大小，根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位， ∴第三次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：三． 13．在数轴上，点表示的数为2，点与点相距8个单位长度，则点表示的数为 ． 【答案】或10/10或 【分析】本题考查的是数轴，根据题意得出两种情况：①点在表示2的点的左边；②点在表示2的点的右边分别求解即可 【详解】解：分为两种情况：①当点在表示2的点的左边时，数为； ②当点在表示2的点的右边时，数为， 所以，B表示的数为或10， 故答案为：或10 14．把下列各数填入它所属的集合内 ，，，0， (1)整数集合{____________________……}； (2)分数集合{____________________……}； (3)非负数集合{____________________……}． 【答案】(1)，0 (2)，， (3)， 0 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义． （1）根据整数的定义进行判断即可； （2）根据分数的定义进行判断即可； （3）根据非负数的含义进行判断即可． 【详解】（1）解：整数集合{， 0，……}； 故答案为：，0； （2）分数集合{，，，……}； 故答案为：，，； （3）非负数集合{， 0，……}． 故答案为：，0． 15．规定：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，表示最接近x的整数．例如：，，．按此规定： ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算．根据新定义计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：5 16．将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“”把这些数连接起来． ，，，，，． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确描点是解题的关键．先将，，，化简，然后在数轴上表示各数，按照数轴上右边的点表示的数比左边的大即可写出大小关系． 【详解】解： ，，，， 各数在数轴上表示如下： ， ． 17．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____． (2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____． (3)当是_____时，代数式． (4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，； (2)，或； (3)； (4)运动或秒后，． 【分析】（）根据绝对值的定义即可求解； （）去绝对值符号解方程即可； （）分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，然后分当在左侧时，当在右侧时两种情况分析即可求解； 本题考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴上数到原点的距离为， ∴在原点左边个单位时，的值为，在原点右边个单位时，的值为， 故答案为：，； （2）根据题意：与之间的距离表示为， 当时，；当时，； 故答案为：，或； （3）当时，，解得：， 当时，（舍去）， 当时，，解得：， 综上可知：当时，代数式， 故答案为：； （4）∵点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧， ∴点表示的数， 设运动时间为秒， ∵分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴当在左侧时， ，解得：； 当在右侧时， ，解得：； ∴运动或秒后，． 18．先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了绝对值方程的解法，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键，对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． （1）根据题中所给解法求解即可； （2）根据的最小值为，得出表示的点与表示的点的距离为，求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 当，即时，原方程可化为：，解得：， 当，即时，原方程可化为：，解得． ∴原方程的解是：或． （2）解：的最小值为， 表示的点与表示的点的距离为， ，， 或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$