专题1.1 有理数全章知识典例详解（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版2024）

专题1.1 有理数全章知识典例详解 【浙教版2024】 知识点1 正数和负数 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 2．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零； 3．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、． 【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数． 【典例1】（2024秋•宿松县期末）在，0，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5|，，﹣24中，负数有　3　个． 【分析】先将各数化简，然后根据负数的定义判断即可． 【解答】解：是负数， 0既不是正数也不是负数， ﹣（﹣1.5）＝1.5是正数， ﹣|﹣5|＝﹣5是负数， 是正数， ﹣24是负数． ∴负数有3个． 故答案为：3． 【典例2】（2024春•长宁区期中）如果把“增加16%”记作“16%”，那么“　﹣8%　”表示“减少8%”． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：如果把“增加16%”记作“16%”，那么“﹣8%”表示“减少8%”． 故答案为：﹣8%． 【典例3】（2024春•绥棱县校级月考）小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向回家，小明向北走了800m记作“+800m”，小佳走的路程记作“﹣600m”．这时两人相距 　1400　m． 【分析】根据题意，因为他们行驶的方向相反，所以把两人各自行驶的路程相加即是两人相距的距离． 【解答】解：800+600＝1400（m）， 答：这时两人相距1400m． 故答案为：1400． 【典例4】（2024秋•海沧区期末）巴黎，北京，悉尼同一时刻的当地时间如表．若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为 　﹣6　． 城市 巴黎 北京 悉尼 时间 5：00 11：00 13：00 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为﹣6， 故答案为：﹣6． 知识点2 有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类： （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 【典例1】下列说法中正确的是 　③④⑤⑧　（填序号）． ①整数包括正整数和负整数； ②分数包括正分数、负分数以及0； ③有理数可分为正有理数、0、负有理数； ④0是整数，它既不是正数也不是负数； ⑤有理数不是整数就是分数； ⑥有理数是指整数、分数、0这三类； ⑦所有整数都是正数； ⑧非正整数就是0和负整数； ⑨正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数． 【分析】①利用整数的分类判断即可； ②利用分数的分类判断即可； ③利用有理数的分类判断即可； ④根据0既不是正数也不是负数判断即可； ⑤利用有理数的分类判断即可； ⑥利用有理数的分类判断即可； ⑦利用整数的分类判断即可； ⑧利用非正整数的定义判断即可； ⑨利用有理数的分类判断即可； 【解答】解：①整数包括正整数和负整数和0，故选项①错误； ②分数包括正分数、负分数，故选项②错误； ③有理数可分为正有理数、0、负有理数，故选项③正确； ④0是整数，它既不是正数也不是负数，故选项④正确； ⑤有理数不是整数就是分数，故选项⑤正确； ⑥有理数是指整数、分数，故选项⑥错误； ⑦所有整数是正整数数，负整数、0，故⑦错误； ⑧非正整数就是0和负整数，故选项⑧正确； ⑨正整数、负整数、正分数、负分数，0统称为有理数，故选项⑨错误． 答案：③④⑤⑧． 【典例2】（2024秋•平度市校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号里： ﹣2.5、3.14、﹣2、+72、﹣0.、π、、0、﹣0.010101． 正数集合{ 　3.14，+72，π，　…}； 分数集合{ 　　…}； 非负整数集合{ 　+72，0　…}． 【分析】根据整数集合包括所有的正整数、0和负整数，负分数指既是负数又是分数的数，进行解答即可． 【解答】解：正数集合{ 3.14，+72，π， ……} 分数集合{﹣2.5，3.14，﹣0.，，﹣0.010101……} 非负整数集合{+72，0……） 故答案为：3.14，+72，π，；﹣2.5，3.14，﹣0.，，﹣0.010101；+72，0． 【典例3】（2024秋•松滋市期中）在π，﹣8，2023，3.21，0，，+13.1，，﹣2.5中，正数有m个，负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为 　9　． 【分析】整数和分数统称有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数，根据以上内容求出m、n、k的值，再代入m﹣n+k求出答案即可． 【解答】解：π，﹣8，2023，3.21，0，，+13.1，，﹣2.5中，正数有π，2023，3.21，，+13.1，共5个，负整数有﹣8，共1个，分数有3.21，，+13.1，，﹣2.5，共5个， 所以m＝5，n＝1，k＝5， 即m﹣n+k＝5﹣1+5＝9． 故答案为：9． 知识点3 数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【典例1】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上表示﹣2的点离原点的距离是　2　个单位长度；表示+2的点离原点的距离是　2　个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有　2　个，它们表示的数分别是　2或﹣2　． 【分析】根据题意，由数轴上距离原点距离为2的点有2个，为﹣2和2，即可得出结果． 【解答】解：数轴上表示﹣2的点离原点的距离是2个单位长度；表示+2的点离原点的距离是2个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有2个，它们表示的数分别是2或﹣2． 故答案为：2；2；2；2或﹣2． 【典例2】（2024秋•巨野县校级月考）已知，，，四个有理数在数轴上所对应的点分别为A、B、C、D，则这四个点从左到右的顺序为　B，A，C，D　，离原点最近的点为　C　． 【分析】求得这四个数的绝对值，绝对值最小的离原点最近，根据有理数的比较方法得到从左到右的顺序即可． 【解答】解：||，||，||，|| ， ∴，， ∴这四个点从左到右的顺序为B，A，C，D，离原点最近的点为C． 【典例3】（2024秋•恩施市期末）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据；则被淹没的整数点有 　69　个，负整数点有 　52　个，被淹没的最小的负整数点所表示的数是 　﹣72　． 【分析】根据数轴的构成可知，﹣72和﹣41之间的整数点有：﹣72，﹣71，…，﹣42，共31个；﹣21和16之间的整数点有：﹣21，﹣20，…，16，共38个；依此即可求解． 【解答】解：由数轴可知， ﹣72和﹣41之间的整数点有：﹣72，﹣71，…，﹣42，共31个；﹣21和16之间的整数点有：﹣21，﹣20，…，16，共38个； 故被淹没的整数点有31+38＝69个，负整数点有31+21＝52个，被淹没的最小的负整数点所表示的数是﹣72． 故答案为：69，52，﹣72． 知识点4 相反数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 【典例1】（2024秋•乐至县校级月考）﹣1相反数是　1　；﹣2是　2　的相反数；　　与互为相反数． 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 【解答】解：﹣1相反数是1； ﹣2是2的相反数； 与互为相反数． 故答案为：1；2；． 【典例2】（2024秋•文峰区校级月考）化简：﹣[+（﹣7）]＝　7　，﹣[﹣（﹣2）]＝　﹣2　，+[﹣（+a）]＝　﹣a　． 【分析】直接根据相反数的意义解答即可． 【解答】解：﹣[+（﹣7）]＝﹣（﹣7）＝7， ﹣[﹣（﹣2）]＝﹣2， +[﹣（+a）]＝+（﹣a）＝﹣a． 故答案为：7，﹣2，﹣a． 【典例3】（2024秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 　4　． 【分析】直接利用去括号法则以及结合相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4， ∴[﹣（﹣x）]＝﹣4， ∴x＝﹣4， 则x的相反数是：4． 故答案为：4． 【典例4】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8，则这两点所表示的数分别是　4　和　﹣4　． 【分析】数轴上到两点间的距离相等的点所对应的数是表示这两个点所对应的数的平均数，根据题意求解即可． 【解答】解：两点的距离为8，则点A、B距离原点的距离是4， ∵点A，B互为相反数，A在B的右侧， ∴A、B表示的数是4，﹣4． 故答案为：4，﹣4． 【典例5】（2024秋•德惠市校级月考）已知m，n互为相反数，则2m+2n+2　2　. 【分析】直接利用相反数的定义代入得出答案． 【解答】解：∵m，n互为相反数， ∴m+n＝0， ∴原式＝2（m+n）+2﹣0 ＝2×0+2 ＝2． 故答案为：2． 知识点5 绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4．绝对值的拓展 （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 【典例1】（2024秋•天心区校级月考）已知|a|＝3，，且a＜0＜b，则a＝　﹣3　，b＝　　． 【分析】先求出a＝±3，，再根据a＜0＜b，得出a＜0，b＞0，问题随之得解． 【解答】解：∵|a|＝3，， ∴a＝±3，， ∵a＜0＜b， ∴a＜0，b＞0， ∴a＝﹣3，， 故答案为：﹣3； ． 【典例2】（2024秋•新吴区校级月考）如果|﹣x|，那么x＝　±　，|3.1﹣π|＝　π﹣3.1　． 【分析】利用绝对值的代数意义求值或化简即可． 【解答】解：∵|﹣x|＝||，即|x|， ∴x＝±， |3.1﹣π|＝π﹣3.1． 故答案为：±，π﹣3.1． 【典例3】（2024秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 　3　． 【分析】根据绝对值的非负性解决此题． 【解答】解：由题意得：|a﹣1|+|b﹣2|＝0． ∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0． ∴a＝1，b＝2． ∴a+b＝1+2＝3． 故答案为：3． 【典例4】（2024秋•鄂尔多斯月考）当a＝　4　时，代数式|a﹣4|+3有最小值是 　3　． 【分析】根据绝对值的非负性分析求解． 【解答】解：∵|a﹣4|≥0， ∴|a﹣4|+3≥3， ∴当|a﹣4|＝0，a﹣4＝0，即a＝4时， 代数式|a﹣4|+3的最小值是3， 故答案为：4；3． 【典例5】（2024秋•林州市期末）若x为有理数，则5﹣|x﹣2|的最大值为 　5　． 【分析】根据非负数的性质可得：﹣|x﹣2|≤0，那么5﹣|x﹣2|≤5即可求解． 【解答】解：∵﹣|x﹣2|≤0， ∴5﹣|x﹣2|≤5， ∴5﹣|x﹣2|有最大值5． 故答案为：5． 【典例6】（2024秋•中原区校级月考）绝对值不大于4的非负整数是 　0，1，2，3，4　． 绝对值大于1而小于3的整数是 　±2　． 【分析】即到原点距离小于或等于4的非负整数，利用数轴判断；求绝对值大于1且小于3的整数，即求绝对值等于2的整数．根据绝对值是一个正数的数有两个，它们互为相反数，得出结果． 【解答】解：依题意，可知绝对值不大于4的非负整数有0，1，2，3，4； 绝对值大于1且小于3的整数有±2， 故答案为：0，1，2，3，4；±2． 【典例7】（2024秋•邻水县期末）比较大小： 　＜　（填“＞”或“＜”）． 【分析】先算出两个数运算的结果，再进行比较即可． 【解答】解：， ， ∴， 故答案为：＜． 【典例8】（2024秋•呼和浩特期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、|a|、﹣b按从大到小的顺序排列，并用“＞”号连接，结果为 　b＞|a|＞a＞﹣b　． 【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|，据此即可求得a、b、|a|、﹣b的大小关系． 【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|， 则|a|＝﹣a，﹣b＜0，﹣a＜b，|a|＜|﹣b|， 那么b＞﹣a＞a＞﹣b， 即b＞|a|＞a＞﹣b， 故答案为：b＞|a|＞a＞﹣b． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 有理数全章知识典例详解 【浙教版2024】 知识点1 正数和负数 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 2．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零； 3．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、． 【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数． 【典例1】（2024秋•宿松县期末）在，0，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5|，，﹣24中，负数有　 　个． 【典例2】（2024春•长宁区期中）如果把“增加16%”记作“16%”，那么“　 　”表示“减少8%”． 【典例3】（2024春•绥棱县校级月考）小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向 回家，小明向北走了800m记作“+800m”，小佳走的路程记作“﹣600m”．这时两人相距 　 　m． 【典例4】（2024秋•海沧区期末）巴黎，北京，悉尼同一时刻的当地时间如表．若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为 　 ． 城市 巴黎 北京 悉尼 时间 5：00 11：00 13：00 知识点2 有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类： （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 【典例1】下列说法中正确的是 　 　（填序号）． ①整数包括正整数和负整数； ②分数包括正分数、负分数以及0； ③有理数可分为正有理数、0、负有理数； ④0是整数，它既不是正数也不是负数； ⑤有理数不是整数就是分数； ⑥有理数是指整数、分数、0这三类； ⑦所有整数都是正数； ⑧非正整数就是0和负整数； ⑨正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数． 【典例2】（2024秋•平度市校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号里： ﹣2.5、3.14、﹣2、+72、﹣0.、π、、0、﹣0.010101． 正数集合{ 　 　…}； 分数集合{ 　 …}； 非负整数集合{ 　 　…}． 【典例3】（2024秋•松滋市期中）在π，﹣8，2023，3.21，0，，+13.1，，﹣2.5中，正数有m个，负 整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为 　 　． 知识点3 数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【典例1】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上表示﹣2的点离原点的距离是　 　个单位长度；表示+2的点 离原点的距离是　 　个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有　 　个，它们表示的数分 别是　 　． 【典例2】（2024秋•巨野县校级月考）已知，，，四个有理数在数轴上所对应的点分别为A、B、 C、D，则这四个点从左到右的顺序为　 　，离原点最近的点为　 　． 【典例3】（2024秋•恩施市期末）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界 与数轴相交点的数据；则被淹没的整数点有 　 　个，负整数点有 　 　个，被淹没的最小的负整数点所 表示的数是 　 　． 知识点4 相反数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 【典例1】（2024秋•乐至县校级月考）﹣1相反数是　　；﹣2是　　的相反数；　　与互为相反数． 【典例2】（2024秋•文峰区校级月考）化简：﹣[+（﹣7）]＝　 　，﹣[﹣（﹣2）]＝　 　，+[﹣（+a）]＝　 　． 【典例3】（2024秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 　 　． 【典例4】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距 离为8，则这两点所表示的数分别是　 　和　 　． 【典例5】（2024秋•德惠市校级月考）已知m，n互为相反数，则2m+2n+2　 　. 知识点5 绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4．绝对值的拓展 （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 【典例1】（2024秋•天心区校级月考）已知|a|＝3，，且a＜0＜b，则a＝　 　，b＝　　． 【典例2】（2024秋•新吴区校级月考）如果|﹣x|，那么x＝　　，|3.1﹣π|＝　 　． 【典例3】（2024秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 　 　． 【典例4】（2024秋•鄂尔多斯月考）当a＝　 　时，代数式|a﹣4|+3有最小值是 　 　． 【典例5】（2024秋•林州市期末）若x为有理数，则5﹣|x﹣2|的最大值为 　 　． 【典例6】（2024秋•中原区校级月考）绝对值不大于4的非负整数是 　 　． 绝对值大于1而小于3的整数是 　 　． 【典例7】（2024秋•邻水县期末）比较大小： 　 　（填“＞”或“＜”）． 【典例8】（2024秋•呼和浩特期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、|a|、﹣b 按从大到小的顺序排列，并用“＞”号连接，结果为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$