精品解析：浙江省宁波大学青藤书院2024—-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024青藤10月八上培优考 1. 若等腰三角形的一个内角为100°，则它的顶角为________． 【答案】100° 【解析】 【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【详解】解：①当这个角是顶角时，则顶角为100°； ②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为：100°． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，关键是分情况进行分析． 2. 若不等式组有解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是关键．利用不等式组取解集的方法：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了，即可得到的范围． 【详解】解：∵不等式组有解， ∴的取值范围是， 故答案：． 3. 如果的三边长分别为，，3，则x的取值范围是______，的三边长分别为7，5，3，若这两个三角形全等，则______． 【答案】 ①. ； ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解不等式组，全等三角形的性质．利用三角形三边关系得到不等式组，解不等式组即可求解；根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x的值判断即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴x的取值范围是； ∵与全等， ∴且，或且， 解得：， 故答案为：． 4. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质等等．过点作轴于点，根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后利用等腰三角形的性质可得的长，即可得点的横坐标，同样的方法分别求出点的横坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，即点的横坐标为， 同理可得：点横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 归纳类推得：点的横坐标为（为正整数）， 则点的横坐标为， 故答案为：． 5. 同学们玩过五子棋吗?它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在图中什么位置就获得胜利了? 【答案】黑棋放在（2，0）或（7，－5）的位置就获得胜利了 【解析】 【分析】根据①②两棋的位置可确定坐标轴的位置，根据比赛规则，黑棋只要在虚圆处就是胜利了；根据所建立的坐标系即可确定两个虚圆的坐标． 详解】解：根据题意，建立直角坐标系，坐标原点如图所示： 则黑棋放在（2，0）或（7，-5）的位置就获得胜利了。 【点睛】本题考查了利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． 6. 若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集不在，可得关于的不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 由不等式在时恒成立，得 ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 7. 如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，连接，利用全等三角形将的长转化为的长即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵与关于直线l对称，且是边长为2的等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P在点C位置时，取得最小值为的长度4， 所以的最小值是4． 故答案为：4． 8. 如图，沿折叠使点A落在点处，分别是平分线，若，则_______． 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，折叠的性质．设相交于点G，利用角平分线的定义可得到，从而可得的度数，由折叠可得的度数，利用三角形外角的性质即可求得的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，设相交于点G， ∵分别是平分线， ∴， ∴ ， ∴， 由折叠得， ∴， ∴； 故答案为：140． 9. 若，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据“” ，当且当时取等号，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当且当时取等号， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 10. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式可得，其解集是，故有，所以；将其代入不等式中即可求得该不等式的解集． 【详解】解：不等式系数化1得， ，且＞0， 该不等式解集为是， ， ， ∵＞0， ∴＞0， 解得， 将代入不等式得， ， 移项得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算． 11. 若，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．由，推出，由，得到，由此求得，进一步计算说明当，也成立，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，，即， ∴时，成立， 即时，． 综上，时，． 故答案为：． 12. 已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，分时，时，两种情况画出图形，结合中线和角平分线的性质即可求解 【详解】依题意得，，故． （1）若时，如图1所示， ∵，，， ∴， ∴， ∵是中线， ∴ 又∵平分， ∴与点M到的距离相等， ∴ ∴在中，， ∴， ∴， ∴，． 在中，，． 在中，． （2）若时，如答案图2所示．同理可得．综上所述，． 13. 若，且，，设，则t的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 14. 如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积公式，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质及三角形的面积得出，再根据，代入数据进行计算即可得到答案，熟练掌握“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ， 平分，，， ， 同理可得， ， ，的面积是6， ， ， ， 的面积是9， ， ，即， ， 故答案为：． 15. 如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点落在的中点处，折痕为，那么的长为 __． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质求出，利用三角函数求出，设，则，在中，勾股定理得，代入数值求出x即可． 详解】解：过点A作于点，过点作于点， ， ，， 点为的中点，， ， ∵，， ∴， ， 由翻折可得， 设，则， 在中，， 即， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，翻折的性质，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在x轴的上方作正方形，点，，将正方形向左平移m个单位，得到正方形，记正方形与重叠的区域（不含边界）为W： （1）当时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为______； （2）若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）3 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、图形的平移、解一元一次不等式组，利用数形结合思想是解题关键． （1）点A和点D的坐标，当时，如图1，即可得出答案； （2）如图2，图3，根据平移性质可得，，，，利用图形列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，点，以为边在x轴的上方作正方形， ∴正方形的边长， ∵轴，轴， ∴点A的坐标为，点D的坐标为； 当时，如图1， ∴，，，， ∴正方形和重叠的区域（不含边界）内整点为： ，，，共3个， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：如图2，图3， ∵将正方形向左平移个单位长度， ∴，，，， ∵区域W内恰有3个整点， ∴或， ∴或． 17. 两条直角边长分别是整数a，b（其中），斜边长是的直角三角形的个数为______． 【答案】31 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方数的概念．由勾股定理求得，得到是1到4023奇数，且是完全平方数，据此求解即可． 【详解】解：∵两条直角边长分别是整数a，b（其中），斜边长是， ∴， ∴是奇数， ∵b是整数，， ∴是1到4023奇数，且是完全平方数， ∴是，，，，共有31个， ∴数a可以是3，5，，63， ∴满足条件的直角三角形的个数为31， 故答案为：31． 18. 若不等式对任意正整数n都成立，且a是正整数，求a的最小值． 【答案】a的最小值是2023． 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．先利用错位相减法，得到第n个式子的最大值，求得前n项和，然后求不等式的解． 【详解】解：设，， ∴， ∴的值随n的增大而减少， ∴当时，有最大值，， ∴， ∴， ∴a的最小值是2023． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024青藤10月八上培优考 1. 若等腰三角形一个内角为100°，则它的顶角为________． 2. 若不等式组有解，则的取值范围是___________． 3. 如果的三边长分别为，，3，则x的取值范围是______，的三边长分别为7，5，3，若这两个三角形全等，则______． 4. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的横坐标为______． 5. 同学们玩过五子棋吗?它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在图中什么位置就获得胜利了? 6. 若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是_________________． 7. 如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是______． 8. 如图，沿折叠使点A落在点处，分别是平分线，若，则_______． 9. 若，则的最小值为______． 10. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是________． 11. 若，则x的取值范围是______． 12. 已知最大边上的高线和中线恰好把三等分，，则__________． 13. 若，且，，设，则t取值范围为______． 14. 如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是______． 15. 如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点落在的中点处，折痕为，那么的长为 __． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在x轴的上方作正方形，点，，将正方形向左平移m个单位，得到正方形，记正方形与重叠的区域（不含边界）为W： （1）当时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）个数为______； （2）若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围． 17. 两条直角边长分别是整数a，b（其中），斜边长是直角三角形的个数为______． 18. 若不等式对任意正整数n都成立，且a是正整数，求a的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$