精品解析：辽宁省沈阳市第四十三中学教育集团2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度九年级（上）沈阳市第四十三中学教育集团 阶段限时作业反馈（第一次） 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其中卯的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3. 已知，在中，，若，则长为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 8. 如图：已知大矩形宽，小矩形宽，小矩形在平移过程中保持，则重叠部分的四边形的面积是（ ）． A. B. 12 C. 6 D. 9. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点D是边上一点，点E在边上，已知，下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲：． 乙：若，则． 丙：当时，点D为的中点．下列说法正确的是（ ） A. 只有甲正确 B. 甲和丙都正确 C. 乙和丙都正确 D. 三个都正确 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为______． 13. 如图，在宽为、长为的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块作为小麦试验田，假设试验田面积为，则道路的宽为________． 14. 如图，中，，于点，点是的中点，线段的延长线与边交于点．若，，则的长为______ 15. 如图，正方形的边长为3，点E为上一点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，点A，B的对应点分别为F，G，连接，则的长为______________________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）解方程：； （2）． 17. 阅读材料，解答问题： 解方程： 解：设，则原方程可化为． 解得，． 当时，，∴；当时，，∴； ∴原方程有四个解：，，，． 以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程：． 18. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为除现金之外的一种常见的支付方式．在一次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付． （1）乙使用“微信”支付的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择“支付宝”支付的概率． 19. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． （1）像的长度为________； （2）如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 21. 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． （1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 22. 在平面直角坐标系中，对于点P和图形N，给出如下定义：如果图形N上存在点Q，使得，那么称点P为图形N的“拉手点”． 已知点，． （1）在网格图中描点，，，并判断其中线段的“拉手点”为______； （2）若直线上存在线段的“拉手点”，求b的最大值并画出b取最大值时的直线； （3）点O是边长为a的正方形的对角线的交点．若正方形边上存在线段的“拉手点”，直接写出a的取值范围， 23. 数学活动课上，学习小组进行探究活动，各小组提出了以下问题，请你解答． （1）如图1，在中，，点D在边上，连接，，过点B作于点E； ①求证：； ②求证：． （2）如图2，在中，，，点D是中点，点E是中点，连接，点F在线段的延长线上，连接，，求：的值． （3）如图3，在中，，，点D在边上，，点E在边上，连接，； ①直接写出的长； ②在①的条件下，将绕点D顺时针旋转后得到（点A、E的对应点为点、），旋转角，当时，直线与边相交于点K，请画图并求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级（上）沈阳市第四十三中学教育集团 阶段限时作业反馈（第一次） 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其中卯的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可，具有空间概念是解题的关键． 【详解】解：从左面看只能看到左面部分的形状图象，即：， 故选：B． 2. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可，一元二次方程的一般形式为． 【详解】解：关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为、、， 故选：A． 3. 已知，在中，，若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数定义列式得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵sinA= , BC=4， ∴sinA= , 解得：AB=6． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了利用正弦三角函数进行计算，掌握正弦三角函数定义是解题关键． 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】由的取值可快速判断，根据可知方程有两个不相等的实数根． 【详解】由得， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，可以利用的值进行快速判断方程根的个数． 5. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面积比是相似比的平方直接求解即可． 【详解】解：四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， ， 则四边形与四边形的相似比为：，面积比为； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似图形面积比，解题关键是熟记相似图形面积比等于相似比的平方． 7. 一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.4左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得，a=15． 经检验，a=15是原方程的解 故选：C． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 8. 如图：已知大矩形宽，小矩形宽，小矩形在平移过程中保持，则重叠部分的四边形的面积是（ ）． A. B. 12 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，解直角三角形，如图，过点作的垂线段，交于点，可得，再解直角三角形求得，即可求得平行四边形的面积，利用解直角三角形求得平行四边形的底边长是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的垂线段，交于点， 小矩形宽， ， ， 根据题意可得， 四边形为平行四边形， 平行四边形以为底，底边上的高为， ， 故选：A． 9. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得：门高尺、宽尺，门对角线的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：门对角线的长为尺， 门高尺、宽尺， 根据勾股定理可得：． 10. 如图，在中，，点D是边上一点，点E在边上，已知，下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲：． 乙：若，则． 丙：当时，点D为的中点．下列说法正确的是（ ） A. 只有甲正确 B. 甲和丙都正确 C. 乙和丙都正确 D. 三个都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；设,当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得，掌握相应的判定和性质是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ，， ， ， 故甲同学正确； ，，， ， ， 故乙同学正确； 设， 当时， ， ， ， ， ， ， 为的中点， 故丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 12. 若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，然后把的长代入计算即可，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫作把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．特别要注意线段的黄金分割点有两个． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 13. 如图，在宽为、长为的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块作为小麦试验田，假设试验田面积为，则道路的宽为________． 【答案】##1 米 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为 ，宽为的矩形，根据试验田面积为，即可得出关于x的一元二次方程，化简后即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为，宽为的矩形，依题意得 ， 化简得． 解得：，（不合题意舍去） 故答案为：． 14. 如图，中，，于点，点是的中点，线段的延长线与边交于点．若，，则的长为______ 【答案】## 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识．作交的延长线于点，则，得，求得，，则，再证明，进而求得，，则，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，则， ， ，，， ， 于点， ， ，， ，， 点是的中点， ， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为3，点E为上一点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，点A，B的对应点分别为F，G，连接，则的长为______________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．连接，过点作于点，过点作于点．根据正方形的性质，可求得，可求出，根据翻折的特征，证明，得到，而，再根据等腰三角形三线合一性质，，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，如图所示， 四边形为正方形，边长为3，， ，，， 为等腰直角三角形，， ， 在中，， ， 四边形沿直线折叠得到四边形，根据翻折的特征， ，， ， ，， ， ， 又 ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）解方程：； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算，锐角三角函数值 ，熟练掌握计算法则是解题的关键． （1）利用配方法解方程； （2）根据零指数幂，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值计算． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ． 17. 阅读材料，解答问题： 解方程： 解：设，则原方程可化为． 解得，． 当时，，∴；当时，，∴； ∴原方程有四个解：，，，． 以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设，则原方程可化为，然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用公式法求得的值，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【详解】解：设， 则原方程可化为， 解得， 或， 解得或． 18. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为除现金之外的一种常见的支付方式．在一次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付． （1）乙使用“微信”支付的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择“支付宝”支付的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，概率公式，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： 共有3种支付方式，其中“微信”支付有1种， 乙使用“微信”支付的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将“微信”记为，“支付宝”记为，“银行卡”记为， 列表如下： 甲 乙 共有9种等可能出现的结果，其中甲、乙两人恰好都选择“支付宝”支付的情况有1种， 甲、乙两人恰好都选择“支付宝”支付的概率． 19. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． （1）像的长度为________； （2）如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】（1）厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； 【小问2详解】 解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 21. 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． （1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可； （2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ，， ，． ， ． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为； 【小问2详解】 解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G． 由题意可知，四边形为矩形， ． 在中，， ． ， ， ，． ，， ，． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为． 22. 在平面直角坐标系中，对于点P和图形N，给出如下定义：如果图形N上存在点Q，使得，那么称点P为图形N的“拉手点”． 已知点，． （1）在网格图中描点，，，并判断其中线段的“拉手点”为______； （2）若直线上存在线段的“拉手点”，求b的最大值并画出b取最大值时的直线； （3）点O是边长为a的正方形的对角线的交点．若正方形边上存在线段的“拉手点”，直接写出a的取值范围， 【答案】（1）， （2）b的最大值为，如图， （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，主要考查坐标与图形，一次函数的应用以及勾股定理等知识，掌握函数中的新定义问题是解题的关键． （1）根据“拉手点”的定义求解即可； （2）分两种情况求出的最大值即可； （3）分线段在正方形外部和内部两种情况，由勾股定理求出正方形的边长即可． 【小问1详解】 解：由图可知，，，到直线的最小值为， 在点，，中，线段的“拉手点”是，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把点，代入可得， ， 解得， 可得直线的解析式为， 直线和直线平行， 当直线在点上方时，过点作垂直直线，交于点，与轴交于点，当时，取最大值， 可得， ， ， 的最大值为； 【小问3详解】 解：当线段在正方形内部时，如图， 即过，则； 当线段在正方形外部时，过点作于点， ， 是等腰直角三角形， 当时，， ， ， 当正方形上存在线段的“拉手点”， 则的取值范围为． 23. 数学活动课上，学习小组进行探究活动，各小组提出了以下问题，请你解答． （1）如图1，在中，，点D在边上，连接，，过点B作于点E； ①求证：； ②求证：． （2）如图2，在中，，，点D是中点，点E是中点，连接，点F在线段的延长线上，连接，，求：的值． （3）如图3，在中，，，点D在边上，，点E在边上，连接，； ①直接写出的长； ②在①的条件下，将绕点D顺时针旋转后得到（点A、E的对应点为点、），旋转角，当时，直线与边相交于点K，请画图并求出的值． 【答案】（1） ①证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②证明：如图1，作于点F， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）①证明，进而可证； ②作于点F，证明可证结论成立； （2）设，求出，作交于点F，证明，从而可得； （3）①作于H，作于N，作，交延长线于点M，可求出，在求出，可得，在求出．证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出的长； ②延长交于点K，则，由旋转的性质可知，，，连接，则，，，由勾股定理求出．作交于点N，可求出，作交于点N，可得，设，则，，由可求出，进而可求出的值． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 设， ∵， ∴，． ∵点D是BC中点， ∴． ∵点E是DC中点， ∴． 如图2，作交于点F， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 ①如图3-1，作于H，作于N，作，交延长线于点M， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3-2，延长交于点K，则， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 连接，则， ∴，， ∵， ∴． 作交于点N， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $