精品解析：安徽省亳州市利辛县张村镇复兴中学 、报国中学联考2024—-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若线段，，则（ ） A. B. 4 C. D. 2. 关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，一定在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且的周长是12，则的周长是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 6. 已知点，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象开口向上 B. 时，y随x增大而减小 C. 该函数图象与x轴一定有交点 D. 若点和都在该函数图象上，则 9. 《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述，如图是小孔成像原理示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（a，b，c为常数，且）关于直线对称，与x轴的其中一个交点坐标为，下列结论中：①；②关于x的一元二次方程的解是；③；④，其中不正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式是________________________． 12. 如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 13. 如图，在中，，，，的顶点在轴的正半轴上，点，点在第一象限，且直角边平行于轴，反比例函数且的图象经过点和边的中点，则的值为__________． 14. 已知二次函数（其中a是常数，且） （1）若该函数的图象经过点，则a的值为___________． （2）若且当时，其对应的函数值y均为正数，则a的取值范围是___________ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，求值 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标． （2）求该抛物线与x轴的交点坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． （1）求y与x之间的函数表达式（不写出自变量的取值范围）． （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路40米要比每天修建30米提前多少天完成此项工程？ 18. 如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式．为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少米？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19 已知二次函数，完成下列任务． （1）完成下表，并画出该函数的图象； x … 0 1 … y … 4 … （2）根据图象，完成下列填空： ①当时，y随x的增大而 ； ②当时，x取值范围是 ． 20. 如图，一次函数（是常数且）与反比例函数图象交于，两点． （1）求，和的值； （2）直接写出关于的不等式的解集：_______； （3）点是轴上一个动点，若的面积为9，则点的坐标为_________． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N． 【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 七、（本题满分12分） 22. 根据某个体经营商店销售某种农副产品所提供的素材，请你解决下列任务： 如何设计最佳销售方案，使得某商店获得最大利润 材料1 该商店销售一种农副产品，进价是；销售过程中不亏损 材料2 当地物价部门规定此种农副产品的售价不得高于． 材料3 统计该商店每天的销售量与销售单价（元），所绘制出的函数图象是一条线段，如图． 问题解决 任务1 建立函数模型 求该商店日销售该种产品的销售量与销售单价（元）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务2 设计最佳销售方案 该商家如何定价可使得该产品取得日销售的最大利润，并求出日销售的最大利润． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，，于点D，于E，． （1）求证： （2）如图2，若点P为的中点，连接．求证：； （3）在（2）的条件下，直接写出的值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若线段，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数．先统一单位，再根据线段的比的意义求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 2. 关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：C． 3. 下列各点中，一定在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可． 【详解】解：由得 A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此及可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B 5. 已知，，且的周长是12，则的周长是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，注意掌握两个相似三角形的对应角相等，周长的比等于相似比．由题意直接根据相似三角形的周长比等于相似比进行分析计算即可． 详解】解：∵，， ∴的周长的周长， ∵的周长为12， ∴的周长为， 故选：A． 6. 已知点，，都在双曲线上，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象得出此函数在每一象限内的增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：双曲线上中， 双曲线在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， ，， 点，在第四象限，在第二象限， ，． ． 故选：B． 7. 一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由得二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象和反比例函数的图象得：， ∴二次函数开口向上，故排出A、C选项 ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， 综上可得B选项符合题意， 故选：B． 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象开口向上 B. 时，y随x增大而减小 C. 该函数图象与x轴一定有交点 D. 若点和都在该函数图象上，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的二次项系数，得出开口向下，对称轴，由此判断A和B选项；因为，则判断C选项；因为开口向下，所以越靠近对称轴的所对应的值越大，据此即可作答． 【详解】解：∵的二次项系数， ∴开口向下，故A选项是错误的； ∵， ∴对称轴， ∵开口向下， ∴在对称轴的的左边，y随x增大而增大；在对称轴的的右边，y随x增大而减小， 则时，y随x增大而减小， 故B是正确的， ∵， ∴， ∴该函数图象与x轴没有交点， 故C选项是错误的； ∵开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的值越大， ∵点和都在该函数图象上，且， ∴， 故D选项是错误的； 故选：B． 9. 《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述，如图是小孔成像原理示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．据小孔成像原理可知，利用它们的对应边成比例就可以求出之长． 【详解】解：如图过O作直线，交于F， 则， 依题意， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别是它们的高， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，抛物线（a，b，c为常数，且）关于直线对称，与x轴的其中一个交点坐标为，下列结论中：①；②关于x的一元二次方程的解是；③；④，其中不正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的对称轴、开口方向则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对②进行判断；由对称轴方程得到，当时，，则可对③进行判断；当时，，且是抛物线的最大值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线（a，b，c为常数，且）关于直线对称，与x轴的其中一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解是，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ， 当时，，即， ∴， ∴， 故③正确； 当时，，且是抛物线的最大值， 当时，，即 当时，， ∴， 综上所述：，故④不正确； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系，关键是明确顶点的对称以及抛物线开口方向的变化．先求得原抛物线顶点坐标关于轴对称的坐标，根据开口方向和大小不变，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向下 该抛物线关于轴对称后的新抛物线的顶点坐标为，开口向下 该抛物线关于轴对称后的新抛物线表达式为 故答案为：． 12. 如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 13. 如图，在中，，，，的顶点在轴的正半轴上，点，点在第一象限，且直角边平行于轴，反比例函数且的图象经过点和边的中点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理求得的长，设，则，进而表示出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 设，则 ∵直角边平行于轴， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与结合图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 14. 已知二次函数（其中a是常数，且） （1）若该函数的图象经过点，则a的值为___________． （2）若且当时，其对应的函数值y均为正数，则a的取值范围是___________ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入进行计算求解； （2）由可知抛物线开口向下上，求得对称轴为直线，代当时，得到，解不等即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得． 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，， ∴二次函数轴的交点坐标为． 又∵二次函数的对称轴是：直线． ∵， ∴抛物线开口向下． ∵当时对应的函数值均为正数， ∴当时，， 解得， ∴． 故答案为：． 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一元一次不等式的解法．解题的关键是：（1）将代入二次函数解析式；（2）求出二次函数轴的交点坐标和对称轴，列出不等式． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，求的值 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，设，得出，再把代入进行运算化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设， 得出， ∴把代入， 得． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标． （2）求该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）按照配方法把化为，即可求出顶点坐标； （2）由列出一元二次方程，解方程即可求得抛物线与轴的交点坐标． 本题考查二次函数与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质和熟练解一元二次方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， 当时，， ，， 故该抛物线与x轴的交点坐标分别为，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． （1）求y与x之间的函数表达式（不写出自变量的取值范围）． （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路40米要比每天修建30米提前多少天完成此项工程？ 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 经过点， ， ， 表达式为； 【小问2详解】 解：依题意，∵表达式为 ∴当时，， 当时，， （天）， 工程队提前15天完成此项工程． 18. 如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式．为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少米？ 【答案】3.15米 【解析】 【分析】根据货车的宽度可求出当时的值，用其减去即可求出结论．本题考查了二次函数的应用，代入求出值是解题的关键． 【详解】解：∵一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过）， ∴当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离， （米）． 答：货车的限高应是3.15米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数，完成下列任务． （1）完成下表，并画出该函数的图象； x … 0 1 … y … 4 … （2）根据图象，完成下列填空： ①当时，y随x的增大而 ； ②当时，x的取值范围是 ． 【答案】（1），图象见解析 （2）①减小；② 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别将x的值代入函数解析式求出y值，再描点，连线作出图象； （2）观察图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 描点画出函数图象如图： 【小问2详解】 解：①， ∴对称轴为直线，而 ∴当，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； ②当时，，解得或， ∴直线与抛物线的两个交点的横坐标为0和2， 而由①知顶点为，即时，， ∴由图象可知时，， 故答案为：． 20. 如图，一次函数（是常数且）与反比例函数的图象交于，两点． （1）求，和的值； （2）直接写出关于的不等式的解集：_______； （3）点是轴上的一个动点，若的面积为9，则点的坐标为_________． 【答案】（1），， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图象解不等式、坐标与图形，掌握反比例函数与一次函数图象与性质是解题的关键． （1）将点，坐标分别代入函数表达式即可得到答案； （2）根据图象位置关系，找出直线在反比例函数图象的上方时的取值范围即为答案； （3）设点坐标为，一次函数交轴于点，作轴，轴，得到，，，然后利用，列出方程解之即可． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数都经过， 则， 解得：，， 【小问2详解】 解：根据图象可知，当或时，直线在反比例函数图象的上方，满足 不等式的解集为或． 故答案为：或． 【小问3详解】 解：根据题意，设点坐标为，一次函数交轴于点，作轴，轴，如图 ， ， 由（1）可知， 当时，，即 ，即 解得：或 故答案为：或． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N． 【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 【答案】[填空]（1）；（2）1；（3）；[论证]见解析；[猜想] 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是通过构造三角形的中位线为使用平行线分线段成比例作铺垫． [填空]（1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； [论证]见上述解析； [猜想] 仿照（1）求解即可． 【详解】[填空]：解：（1）取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：1； （3）取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为：; [论证]：上述已证明； [猜想]解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． 七、（本题满分12分） 22. 根据某个体经营商店销售某种农副产品所提供素材，请你解决下列任务： 如何设计最佳销售方案，使得某商店获得最大利润 材料1 该商店销售一种农副产品，进价是；销售过程中不亏损 材料2 当地物价部门规定此种农副产品的售价不得高于． 材料3 统计该商店每天的销售量与销售单价（元），所绘制出的函数图象是一条线段，如图． 问题解决 任务1 建立函数模型 求该商店日销售该种产品的销售量与销售单价（元）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务2 设计最佳销售方案 该商家如何定价可使得该产品取得日销售的最大利润，并求出日销售的最大利润． 【答案】任务一：；任务二：，144元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，二次函数的应用，找准等量关系列出函数式，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 任务一：根据题意设，利用待定系数法求解即可； 任务二：设利润为，有，根据二次函数的性质和的取值范围即可得到答案． 【详解】解：任务一：根据题意设， 则 解得：， 销售量与销售单价的函数表达式为 任务二：设利润为元，则定价为元，有 开口向下，对称轴为 时，随的增大而增大 当时，，取得最大值，最大值为 答：商家定价可使得该产品取得日销售的最大利润，最大利润为144元． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，，于点D，于E，． （1）求证： （2）如图2，若点P为的中点，连接．求证：； （3）在（2）的条件下，直接写出的值为 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证得即可求证； （2）连接，可推出是等腰直角三角形，结合点P为的中点可得，；证得，即可求证； （3）连接，证得，可推出是等腰直角三角形，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 证明：连接，如图所示： 由（1）可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵点P为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴ 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由（2）可知：，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟记相关定理内容，作出正确的辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$