第2章特殊三角形单元复习题2024-2025学年浙教版八年级数学上册

浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形单元复习题 一、单选题(共10题；共40分) 1．（4分）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列交通标志是轴对称图形的是（　　）. A． B． C． D． 3．（4分）在下列图形中，（　　）一定是轴对称图形． A．平行四边形 B．梯形 C．圆 D．三角形 4．（4分）下列图形不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，在 中， 是 的角平分线， 于点 ， ， ， ，则 长是（　　） A．1 B． C． D．2 6．（4分）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）有以下命题：①同位角相等，两直线平行；②对顶角相等；③若，则；④若，，则．它们的逆命题是真命题的有（　　）． A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 8．（4分）如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点C在上，角的顶点A在上，如果边与的交点D是的中点，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．两个全等三角形的对应角相等 B．若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形 C．两个全等三角形的面积相等 D．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数 10．（4分）在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(共4题；共20分) 11．（5分）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则　 　． 12．（5分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为　 　． 13．（5分）如图，等边中，点为线段上一动点，为边作等边（、、顺时针排列）．将沿对称得到，若，，则　 　（用含，的式子表示）． 14．（5分）如图，在中，，，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，连接，为的中点，则线段长的最小值是　 　． 三、解答题(共4题；共32分) 15．（8分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度． 16．（8分）如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动、且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）（2分）出发1秒后，求的周长； （2）（3分）当t为几秒时，平分； （3）（3分）问t为何值时，为等腰三角形？ 17．（8分）如图，在四边形中， ，E为 上一点．将四边形沿折叠，使点重合，求折痕的长． 18．（8分）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，求这个等腰三角形各边的长. 四、综合题(共5题；共55分) 19．（10分）某某市环保部门计划在某东西向的高速公路边上建设和两个垃圾焚烧发电厂，处理市产生的可燃物垃圾并发电供市使用．垃圾焚烧过程中会产生灰渣、粉尘、二噁英等有害物质，对环境产生污染，因此垃圾焚烧处理厂的选址要求距离城市超过．根据研究，垃圾焚烧发电厂对城市的污染程度，其中（单位：表示垃圾焚烧发电厂到城市的距离，为污染比例系数，不同垃圾焚烧发电厂对城市的污染程度不同，的值越大，污染程度越大．已知，垃圾焚烧发电厂对城市的污染比例系数分别为1和4，市到高速公路的距离为． （1）（5分）如图，若市恰好在垃圾焚烧发电厂的北偏东方向，垃圾焚烧发电厂到市的距离比垃圾焚烧发电厂到市距离的一半多，求垃圾焚烧发电厂到市的距离；（用含的式子表示） （2）（5分）在（1）的条件下，判断哪个垃圾焚烧发电厂对A市的污染程度更大，并说明理由． 20．（10分）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，其两点间距离公式为． 例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成或． （1）（3分）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为　 　； （2）（3分）已知，试求A，B两点的距离； （3）（4分）已知三个顶点坐标为，请判断此三角形的形状，并说明理由． 21．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交CB于点P.按下列要求用直尺和圆规作图.（不写作法，保留作图痕迹） （1）（6分）过点P作CB的垂线交AB于点Q. （2）（6分）证明：PQ=AQ 22．（12分）如图，点 ， ， ， 四点共线，且 ， ， . （1）（6分）求证： ； （2）（6分）若 ， ，求线段 的长. 23．（14分）已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F． （1）（6分）当点F在线段BD上时，如图1，线段DF，CE，CF之间的数量关系是　 　； （2）（8分）当点F在线段DB的延长线上时，如图2． ①（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请重新写出正确的结论，并写出证明过程； ②若△ABC和△ADE的边长分别是和，DF=3，求BE的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12； 再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC= =13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm. 所以h的取值范围是11≤h≤12. 故答案为：C 【分析】由题意可知：当筷子垂直放置在杯内壁时，筷子在杯内的长度最小，杯外的长度最大；当筷子斜放置在杯内壁且与底面圆直径、杯壁构成直角三角形时，筷子在杯内的长度最大，杯外的长度最小，分别计算h的值，即可求解. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B.是轴对称图形，故B选项符合题意； C.不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故D选项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、梯形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、圆一定是轴对称图形，故此选项符合题意； D、三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断得出答案. 4．【答案】A 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 于点 ， ， ， ∴ BD=2DE， 设DE=x，则BD=2DE=2x， ∴ ， ∴ ， 解得： 作 于点 ， 是 的角平分线， ， ， ， ∴ ， ∴ 在Rt△CDF中， ， ∴ 故答案为：B. 【分析】作DF⊥AC于点F，设DE=x，用勾股定理可求得x的值，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DF，再根据等腰直角三角形的性质可得CF=DF=DE，在直角三角形CDF中，用勾股定理可求解. 6．【答案】B 【解析】【解答】连接AC，CF，如图： ∵正方形ABCD，正方形CEFG， ∴∠ACB=∠ACD=∠GCF=∠ECF=45°， ∴∠ACF=∠ACD+∠GCF=45°+45°=90°， ∴△ACF是直角三角形， ∵点H是AF的中点， ∴CH=AF， ∵BC=1，CE=3，△ABC和△CEF均是等腰直角三角形， ∴AC=BC=，CF=CE =， 由勾股定理可得：AF=， ∴CH=AF=， 故答案为：B. 【分析】先证出△ACF是直角三角形，再利用勾股定理及直角三角形斜边上中线的性质求出CH=AF=即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：①同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，成立； ②对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不符合题意； ③若，则的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，符合题意； ④若，，则的逆命题是若，则，或，， 故不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据逆命题和真命题的定义逐项判断即可。 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】 12．【答案】 【解析】【解答】解：连接AB，AD，如图所示： ∵AD＝AB＝ ， ∴DE＝ ， ∴CD＝ ． 故答案为： ． 【分析】利用勾股定理计算求解即可。 13．【答案】 【解析】【解答】解：作出关于AC对称的如图， ∴ ∵为等边三角形， ∴ ∴ ∵为等边三角形， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点B，C，E在同一条直线上， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：2a-b. 【分析】作出关于AC对称的根据对称的性质得到：然后根据等边三角形的性质得到：利用"SAS"证明，得到：根据角的运算证明点B，C，E在同一条直线上，此时，进而根据即可求解. 14．【答案】9 15．【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2． 解得：x＝3.2 答：折断处离地面的高度是3.2尺． 【解析】【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程求解即可 16．【答案】（1） （2） （3）当为或或或时，为等腰三角形． 17．【答案】 18．【答案】解：①如图， AB+AD=6cm，BC+CD=15cm ∵AD=DC，AB=AC ∴2AD+AD=6cm ∴AD=2cm ∴AB=4cm，BC=13cm ∵AB+AC＜BC ∴不能构成三角形，故舍去 ②如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm 同理得：AB=10cm，BC=1cm ∵AB+AC＞BC，AB-AC＜BC ∴能构成三角形 ∴腰长为10cm，底边为1cm 故这个等腰三角形各边的长为10，10，1. 【解析】【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，从而得到腰和底边的长，并运用三角形的三边关系对其进行检验，即可求解. 19．【答案】（1）； （2）时，厂、厂对市的污染一样严重；时，厂对市的污染严重；时，厂对市的污染严重． 20．【答案】（1）3 （2）解：由题意得； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【解析】【解答】解：（1）由题意得，两点的距离为， 故答案为：3； 【分析】（1）根据题意求出两点的距离为，即可作答； （2）利用勾股定理计算求解即可； （3）利用勾股定理求出AB，AC和BC的值，再求出 ， 最后求解即可。 21．【答案】（1）解：如图： （2）证明：∵AP 平分∠CAB ∴∠CAP=∠PAB ∵PQ⊥CB ， ∠C＝90° ∴AC∥PQ ∴ ∠CAP=∠APQ ∴ ∠PAB=∠APQ ∴ PQ=AQ 【解析】【分析】（1）利用作线段垂直平分线的方法，过点P作CB的垂线交AB于点Q，即可求解. （2）利用角平分线的定义可证得∠CAP=∠PAB，再证明AC∥PQ，利用平行线的性质可推出∠CAP=∠APQ，由此可证得∠PAB=∠APQ，利用等角对等边，可证得结论. 22．【答案】（1）证明：∵AC=BD， ∴AC+CD=BD+CD， ∴AD=BC， 在△ADE和△BCF中， ∴△ADE≌△BCF（ASA）； （2）∵△ADE≌△BCF， ∴∠ADE=∠BCF， ∴ ， ∵ ， ∴ . 【解析】【分析】（1）由线段的和差可得 AD=BC ，根据角边角可证三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得出 ∠ADE=∠BCF， 由等角对等边可得DG=CG，根据线段和差可得结果. 23．【答案】（1）DF=CE−CF （2）解：①不成立．DF=CE+CF． 证明：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60o． ∴∠BAD=∠CAE． ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴CE=BD，∠ACE=∠ABD． ∵AB⊥BD， ∴∠ABD=90o． ∴∠ACE=∠ABF=90o． ∵∠ABC=∠ACB=60o， ∴∠CBF=∠BCF=30o． ∴CF=BF． ∵DF=BD+BF， ∴DF=CE+CF． ②在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=（）2-（）2=4，BD=2． 由①，得CE=BD=2． CF=BF=1． ∴EF=BF=1． ∵∠BFE=∠CBF+∠BCF=60o， ∴△BEF是等边三角形． ∴BE=BF=EF=1． 【解析】【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAE，AC=AB，AE=AD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， AC=AB，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=90°， ∴∠FCB=∠FBC， ∴CF=CB， ∴CE=BD=DF+FB=DF+CF， 故答案为：DF=CE−CF； 【分析】 （1）证明△BAD≌△CAE（SAS）可得BD=CE，∠ACE=∠ABD=90°，从而求出∠FCB=∠FBC， 利用等角对等边可得CF=CB，从而求出CE=BD=DF+FB=DF+CF； （2）①不成立．DF=CE+CF． 证明：证△ABD≌△ACE（SAS）可得CE=BD，∠ACE=∠ABD．根据垂直的定义及等腰三角形的性质可求出∠CBF=∠BCF=30°，利用等角对等边可得CF=BF，从而求出DF= BD+BF=CE+CF．②由勾股定理可得 BD2=AD2-AB2 ，据此求出BD=2，由①可得CE=BD=2，CF=BF=EF=1，再证△BEF是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解. ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$