第2章 特殊三角形 单元检测(B卷·能力提升）-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第2章 特殊三角形 单元检测(B卷·能力提升) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．2，4，5 B．4，6，7 C．6，8，10 D．5，11，12 2．在△ABC中，AB＝12，BC＝5，AC＝13，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．30 C．60 D．78 3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（　　） A．72° B．65° C．50° D．36° 4．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　） A．28° B．59° C．60° D．62° 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为40°，则顶角的度数为（　　） A．50° B．120° C．50°或120° D．50°或130° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠A＝50°，则∠FDE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 9．如图，∠BOC＝8°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 10．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EF＝BG，则DF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11．若x，y满足|x﹣3|+（y﹣6）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为　 　． 12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝　 　． 13．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为　 　． 14.如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m．求出A1C和这块木板的长度． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上（均不与点A、B、C重合），且∠1＝∠C＝42°，若BD＝CE，则∠BAC＝　 　度，∠BAD＝　 　度． 16．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称． 18．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，连接AD与CE且相交于点F，有∠BAD＝∠BCE．求证：△AFC为等腰三角形． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F． （1）试判断△ADF的形状，并说明理由； （2）若AF＝BE＝2，∠F＝30°，求△ABC的周长． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M． （1）求证：△CDM是等腰三角形； （2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度． 21．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 22．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点． （1）求证：FG⊥DE； （2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度． 23．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． 24．（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明； （3）拓展延伸：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，请直接写出AF2的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 特殊三角形 单元检测(B卷·能力提升) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．2，4，5 B．4，6，7 C．6，8，10 D．5，11，12 【思路点拨】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【解析】解：A．22+42＝20≠52，不能构成直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； B．42+62＝52≠72，不能构成直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； C．62+82＝100＝102，能构成直角三角形，故该选项正确，符合题意； D．52+112＝146≠122，不能构成直角三角形，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．在△ABC中，AB＝12，BC＝5，AC＝13，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．30 C．60 D．78 【思路点拨】根据AB＝12，BC＝5，AC＝13，证明△ABC是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可． 【解析】解：∵AB＝12，BC＝5，AC＝13， ∴AB2＝144，BC2＝25，AC2＝169， ∵169＝25+144， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC为直角三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的应用，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（　　） A．72° B．65° C．50° D．36° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论． 【解析】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝25°， ∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　） A．28° B．59° C．60° D．62° 【思路点拨】根据∠C＝90°，AD＝AC，且AE＝AE，求证△CAE≌△DAE（HL），∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，再由∠C＝90°，∠B＝28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数． 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE， ∴△CAE≌△DAE（HL）， ∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB， ∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°， ∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°， ∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证△CAE≌△DAE，此题稍微有点难度，属于中档题． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为40°，则顶角的度数为（　　） A．50° B．120° C．50°或120° D．50°或130° 【思路点拨】分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【解析】解：①当为锐角三角形时可以画图，如图①， 高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°； ②当为钝角三角形时可画图为如图②， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°， 所以该等腰三角形的顶角为50°或130°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠A＝50°，则∠FDE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【思路点拨】根据SAS证明△FBD≌△DCE得出∠BDF＝∠DEC，再结合平角的定义以及三角形内角和定理即可求解． 【解析】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△FBD与△DCE中， ， ∴△FBD≌△DCE（SAS）， ∴∠BDF＝∠DEC， ∵∠A＝50°， ∴∠C＝＝65°， ∴∠BDF+∠CDE＝∠DEC+∠CDE＝180°﹣∠C， 又∵∠BDF+∠CDE＝180°﹣∠FDE， ∴∠FDE＝∠C＝65°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【思路点拨】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值． 【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC， ∴CM＝＝， 即PC+PQ的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置． 8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【思路点拨】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解． 【解析】解：如图，分情况讨论： ①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想． 9．如图，∠BOC＝8°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AA2的度数，∠A2A1A3的度数，∠A3A2A4的度数，∠A4A3A5的度数，…，依此得到规律，再根据∠Ak+1AkAk+2＜90°即可求解． 【解析】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…， 则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…， ∵∠BOC＝8°， ∴∠A1AA2＝（2×8）°，∠A2A1A3＝（3×8）°，∠A3A2A4＝（4×8）°，∠A4A3A5＝（5×8）°，…，∠Ak+1AkAk+2＝[（k+2）•8]° 由题意（k+2）•8＜90， 解得k＜， 由于k为整数，故k＝9，可以画9条线段，n＝11． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等知识，根据规律列出不等式是解题的关键． 10．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EF＝BG，则DF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【思路点拨】由题知△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，再根据EF＝BG，证明出△ADE≌△DEF，即可得出答案． 【解析】解：∵S正方形ABCD＝5，四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝． ∵四边形EFGH为正方形， ∴EH＝EF＝FG＝HG． 由题可知：△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH． ∵EF＝BG， ∴EF＝AF， ∴E是中点， 即AE＝EF， ∴． ∴△ADE≌△DEF（SAS）． 即DF＝AD＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解题关键在于根据题意证明全等． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若x，y满足|x﹣3|+（y﹣6）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为　15　． 【思路点拨】根据非负数的性质求出x，y的值，再根据等腰三角形的定义即可解决问题． 【解析】解：∵|x﹣3|+（y﹣6）2＝0， 又∵|x﹣3|≥0，（y﹣6）2≥0， ∴x＝3，y＝6， 当x＝3为腰时，3+3＝6，不满足三角形三边的关系，故舍去， 当3为底时，6，6，3满足三角形三边关系， ∴等腰三角形的周长为15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质等知识．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝　　． 【思路点拨】勾股定理：在直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．据此求解即可． 【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝3， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，理解并掌握勾股定理是解题关键． 13．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为　45°或72°　． 【思路点拨】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可． 【解析】解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°， 当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°， 即：4x＝180， 解得：x＝45， 此时∠C＝∠B＝45°； 当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°， 即5x＝180， 解得：x＝36°， 此时∠C＝2∠B＝72°， 故答案为：45°或72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解答本题的关键，难度不大． 14．如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m．求出A1C和这块木板的长度 　 ． 【思路点拨】设A1C的长度是x m，在Rt△ABC和Rt△A1B1C中，根据勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题． 【解析】解：根据题意得：BC＝0.7m，BB1＝1.3m，AA1＝0.9m， 设A1C的长度是x m， 在Rt△ABC和Rt△A1B1C中，∠ACB＝90°，AB＝A1B1， ∴AB2＝AC2+BC2，A1＝A1C2+B1C2， ∴AC2+BC2＝A1C2+B1C2， 即（0.9+x）2+0.72＝x2+（1.3+0.7）2， 解得：x＝1.5， ∴A1C＝1.5m，AC＝0.9+1.5＝2.4（m）， ∴AB＝＝＝2.5（m）， 答：A1C的长度是1.5m，木板的长度是2.5m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 15.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上（均不与点A、B、C重合），且∠1＝∠C＝42°，若BD＝CE，则∠BAC＝　96　度，∠BAD＝　27　度． 【思路点拨】首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B＝∠C＝42°，再利用三角形内角和定理计算∠BAC的值；证明△CDE≌△BAD，结合全等三角形的性质证明△CAD为等腰三角形，进而可得∠CAD的值，然后由∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD求解即可． 【解析】解：∵AB＝AC，∠1＝∠C＝42°， ∴∠B＝∠C＝42°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝96°， ∵∠ADC＝∠1+∠CDE＝∠B+∠BAD， 又∵∠1＝∠C＝∠B， ∴∠CDE＝∠BAD， 在△CDE和△BAD中， ， ∴△CDE≌△BAD（AAS）， ∴CD＝BA， ∵AB＝AC， ∴AC＝CD， ∴， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝96°﹣69°＝27°． 故答案为：96；27． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 16．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 　7或或　． 【思路点拨】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时．（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时； 【解析】解：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时， ∵AC＝CD＝4，BC＝3， ∴BD＝CD+BC＝7； （2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD． 在Rt△BDE中DE＝2，BE＝5， ∴BD＝＝； （3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E， 在Rt△BDE中，DE＝4．BE＝7， ∴BD＝＝， 故答案为7或或． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称． 【思路点拨】利用轴对称的性质作图即可． 【解析】解：由轴对称的性质可作图如下，阴影部分即为所作； ． 【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，连接AD与CE且相交于点F，有∠BAD＝∠BCE．求证：△AFC为等腰三角形． 【思路点拨】根据AAS推出△ABD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出AB＝BC，求出AE＝CD，根据AAS推出△AEF≌△CDF即可． 【解析】证明：∵在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（AAS）， ∴AB＝BC， ∵BE＝BD， ∴AE＝CD， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴AF＝CF， ∴△AFC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，能求出AF＝CF是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F． （1）试判断△ADF的形状，并说明理由； （2）若AF＝BE＝2，∠F＝30°，求△ABC的周长． 【思路点拨】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论； （2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到． 【解析】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， 而∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形； （2）∵AF＝AD＝2，∠F＝30°， ∴∠ADF＝∠F＝30°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∴DB＝2BE＝4， ∴AB＝AD+DB＝6， ∵∠F＝30°， ∴∠C＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴△ABC的周长为18． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F＝∠FDA，即可推出结论． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M． （1）求证：△CDM是等腰三角形； （2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度． 【思路点拨】（1）根据题意和图形，可以求得∠CDM＝∠CMD，然后即可证明结论成立； （2）根据勾股定理可以求得BC的长，再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得CM的长． 【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠CBD+∠CDB＝90°，∠ABD+∠BME＝90°， ∵∠BME＝∠CMD， ∴∠ABD+∠CMD＝90°， ∴∠CDB＝∠CMD， ∴CM＝CD， ∴△CDM是等腰三角形； （2）解：作DF⊥AB于点F，如图所示， ∵∠DCB＝90°，BD平分∠ABC， ∴DC＝DF， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC＝＝＝6， ∵S△ABC＝S△BCD+S△ADB， ∴＝， 即， 解得CD＝DF＝3， 由（1）知：CM＝CD， ∴CM＝3， 即CM的长度为3． 【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【思路点拨】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可； （2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可； （3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t； ②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12（cm），易求得t； ③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t． 【解析】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm， BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm， ∵∠B＝90°， PQ＝＝＝2（cm）； （2）解：根据题意得：BQ＝BP， 即2t＝8﹣t， 解得：t＝； 即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形； （3）解：分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ ∴BQ＝AQ， ∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC＝＝10（cm）， ∴CQ＝AQ＝AC＝5（cm）， ∴BC+CQ＝11（cm）， ∴t＝11÷2＝5.5秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12（cm）， ∴t＝12÷2＝6秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE＝＝＝4.8（cm） ∴CE＝＝3.6cm， ∴CQ＝2CE＝7.2cm， ∴BC+CQ＝13.2cm， ∴t＝13.2÷2＝6.6秒． 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． 22．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点． （1）求证：FG⊥DE； （2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度． 【思路点拨】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判定EF＝DF，可得△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一，可证得FG⊥DE； （2）由∠A＝60°，可求得∠EFD＝60°，可判定△DEF是等边三角形，根据直角三角形斜边上的中线得EF＝DF＝8，由等边三角形的性质即可求解． 【解析】（1）证明：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点， ∴EF＝DF＝BC， ∴△DEF是等腰三角形， ∵G是ED的中点， ∴FG⊥DE； （2）解：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线． ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点，BC＝16， ∴EF＝DF＝BC＝BF＝CF＝8， ∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°， ∴∠EFD＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∵G是ED的中点， ∴EG＝DE＝EF＝4， ∴FG＝＝＝4． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 23．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． 【思路点拨】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB； （2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB． 【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点E是AB的中点， ∴CE平分∠ACB，AE＝BE， ∴∠BCE＝30°， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠BCE＝30°． ∵∠ABC＝∠D+∠BED， ∴∠BED＝30°， ∴∠D＝∠BED， ∴BD＝BE． ∴AE＝DB． （2）解：AE＝DB； 理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示： ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形． ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF． 在△DEB和△ECF中， ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EF， ∴AE＝BD． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 24．（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 　BD＝CE　，位置关系是 　BD⊥CE　； （2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明； （3）拓展延伸：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，请直接写出AF2的长． 【思路点拨】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答； （2）证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAF≌△CAG，得到BF＝CG＝13，证明△CFG是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【解析】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠BCE＝45°+45°＝90°， 故答案为：BD＝CE，BD⊥CE； （2）2AD2＝BD2+CD2，理由是： 如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴DE2＝CE2+CD2， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴DE＝AD， ∴2AD2＝BD2+CD2； （3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG， 则△FAG是等腰直角三角形， ∴∠AFG＝45°， ∵∠AFC＝45°， ∴∠GFC＝90°， 同理得：△BAF≌△CAG， ∴CG＝BF＝13， Rt△CGF中，∵CF＝5， ∴FG＝12， ∵△FAG是等腰直角三角形， ∴AF2+AG2＝FG2， ∴2AF2＝144， ∴AF2＝72． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$