第一章、第二章培优训练卷2025-2026学年 浙教版八年级数学上册

2025年新浙教版八年级第一学期数学第一章、第二章培优训练卷答案 一、选择题 1、下列命题中，假命题是（　　） A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．有一边相等的两个等边三角形全等 D．三边对应相等的两个三角形全等 A：正确。根据全等三角形的判定定理（SAS），两个三角形中如果有两个角和其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。 B：错误。面积相等的两个三角形不一定全等，因为三角形的面积不仅与边长有关，还与高有关。 C：正确。等边三角形的三边都相等，所以如果两个等边三角形有一边相等，那么它们的三边都相等，根据全等三角形的判定定理（SSS），这两个三角形全等。 D：正确。根据全等三角形的判定定理（SSS），如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。 答案：B。 2、下列命题：①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 命题①：正确。有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，因为等腰三角形的两个底角相等，所以三个角都是60°，因此是等边三角形。 命题②：正确。等腰三角形两腰上的高相等，因为等腰三角形的两腰相等，所以它们的高也相等。 命题③：正确。等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，因为等腰三角形的底边中点是底边的垂直平分线与底边的交点，所以它到两腰的距离相等。 命题④：错误。等腰三角形的两边长分别为5和6，但未明确指出哪条边是腰，所以有两种情况：5-5-6或6-6-5，周长分别为16或17。 答案：C。 3、如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB'＝74°，则∠ACD的度数为（　　） A．8° B．9° C．10° D．12° 根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，即∠BCD = ∠B'CD。 因为∠ACB = 90°，∠ACD = ∠B'CD，所以∠ACD = (90° - 74°) / 2 = 8°。 答案：A。 4、如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（　　） A．21° B．23° C．25° D．30° 因为AD是高线，所以∠ADC=90°。 因为∠ADF=69°，所以∠DAF=90°-69°=21°。 因为AE是角平分线，所以∠BAE=∠DAF=21°。 因为∠C=65°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-21°-65°=94°。 因此∠B=180°-∠BAC-∠BAE=180°-94°-21°=65°。 答案：B。 5、如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 根据直角三角形斜边中线的性质，OP是AB的一半。 因为AB的长度不变，所以OP的长度也不变。 答案是：D。 6、如图，在△ABC中，已知S△ABD：S△ACD＝2：1，点E是AB的中点，且△ABC的面积为9cm2，则△AED的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 因为E是AB的中点，所以AE=EB。 因此S△AED: S△EBD=1: 1。 又因为S△ABC: S△ACD=2: 1，所以S△EBD: S△ACD=1: 1。 因此S△AED=S△EBD=S△ACD。 设S△AED=x，则S△EBD=x，S△ACD=x，S△ABC=2x+x+x=4x。 已知S△ABC=9cm²，所以4x=9cm²，x=2.25cm²。 因此△AED的面积为2.25cm²。 答案：C。 7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，点D在BC的垂直平分线上，BE=AB，BD平分∠ABE，则∠E的度数为（ ） A.30° B. C. D.无法确定 因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=α。 因为点D在BC的垂直平分线上，所以BD=CD。 因为BD平分∠ABE，所以∠ABD=∠DBE。 因为BE=AB，所以∠ABE=∠BEA。 因为∠ABE+∠BEA+∠E=180°，所以∠E=180°-2α。 答案：C。 8、如图，在长方形中，点为中点，将沿翻折至，若，，则与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 因为点M为CD中点，所以CM=DM。 因为△MBC沿BM翻折至△MBE，所以∠CMB=∠EMB。 因为∠AME=α，所以∠CME=180°-α。 因为∠ABE=β，所以∠CBE=90°-β。 因为∠CMB+∠CME+∠EMB+∠CBE=180°，所以(180°-α)/2+α+(90°-β)=180°。 解得α+3β=180°。 因此α与β之间的数量关系为α+3β=180°。 答案：A 9、如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE；②BF＝DE；③∠BFE＝∠BAE；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 因为AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，所以△ABC≌△AEF（SAS）。 因此∠BAC=∠EAF，∠ACB=∠AFE，∠ABC=∠AEF。 ①因为∠AFC=∠AFE，所以∠AFC=∠ACB，因此∠AFC=∠AFE（正确）。 ②因为BF=DE，所以AF=AE，因此BF=DE（正确）。 ③因为∠BFE=∠BAE，所以∠BFE=∠AEF，因此∠BFE=∠BAE（正确）。 ④因为∠BFD=∠CAF，所以∠BFD=∠AFD，因此∠BFD=∠CAF（错误）。 因此正确的结论有3个。 答案：C。 10.如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上（且E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（　　） A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF与EF的大小关系不确定 因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD。 因为DE⊥DF，所以∠EDF=90°。 因为∠BDE+∠CDF=90°，∠CDF+∠CFD=90°，所以∠BDE=∠CFD。 因此△BDE∽△CFD。 因此BE/CF=BD/CD=1。 因此BE=CF。 因为EF<BE+CF，所以BE+CF>EF。 因此BE+CF与EF的大小关系为BE+CF>EF。 答案：A。 二、填空题 11、如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______° 答案：66.5° 解析：因为∠B=47°，所以∠DAC=180°-47°=133°。因为∠ACF=47°，所以∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，所以∠EAC=133°/2=66.5°。 12、如图，在△ABC中，DE是AB边的垂直平分线，交AB、BC于点E、D．连接AD．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为　 　cm． 答案：12cm 解析：因为DE是AB边的垂直平分线，所以AD=BD。因为AC=5cm，△ADC的周长为17cm，所以AD+DC=17-5=12cm。因为AD=BD，所以BD+DC=12cm，即BC的长为12cm。 13、已知在△ABC中，，点、分别在边和上，且，若，则的度数是 ． 答案：20° 解析：因为AB=AC，所以∠B=∠C。因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED。因此，∠EDC=∠B+∠C-∠ADE-∠AED=2∠B-∠BAD=2(180°-∠B-∠BAD)-∠BAD=180°-2∠B-2∠BAD=180°-2(40°+∠B)=100°-2∠B。因为∠B+∠C+∠BAC=180°，所以∠B=40°。因此，∠EDC=100°-2×40°=20°。 14、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　 　． 因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，所以AB=5。 因为AD=AC，所以AD=3。 因为AE⊥CD，所以∠AFE=90°。 因为∠AFE=90°，所以∠AFC=90°-∠FAC。 因为∠AFC=90°-∠FAC，所以∠B=∠AFC。 因为∠B=∠AFC，所以BE=AE。 因为AE=AB-BE，所以AE=5-BE。 因为AE=5-BE，所以BE=2.5。 所以，BE的长是2.5。 15、如图，，，，，点M为的中点，， ． 答案：6 解析：因为AB=AE，AD=AC，所以∠BAE=∠CAD=90°。因为∠BAC=∠DAE，所以△ABC≌△ADE（SAS）。因此，DE=BC。因为点M为BC的中点，所以BM=CM=1/2BC。因为AM=3，所以BM²+AM²=AB²，即(1/2BC)²+3²=AB²。因为AB=AE，所以AB²=AE²=AD²+DE²，即AB²=AD²+BC²。因此，DE=6。 16、如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°． 恒成立的结论有 　 　．（把你认为正确的序号都填上） 因为△ABC和△CDE是正三角形，所以AB=BC=AC，CD=CE=DE，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=∠CDE=60°。 因为AB=BC=AC，CD=CE=DE，所以AD=BE。 因为AD=BE，所以①成立。 因为∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=∠CDE=60°，所以∠ABP=∠DCQ=60°。 因为∠ABP=∠DCQ=60°，所以∠APB=∠DQC。 因为∠APB=∠DQC，所以PQ∥AE。 因为PQ∥AE，所以②成立。 因为 ，所以 ， 。 因为 ，所以 。 因为 ，所以 和 是正三角形。 因为 和 是正三角形，所以 ， 。 因为 ， ，所以 。 因为 ，所以③成立。 因为 ，所以 。 因为 ，所以④不成立。 因为 ，所以 。 因为 ，所以⑤成立。 所以，恒成立的结论有①②③⑤。 三、简答题 17、如图，中，延长AC到点F，过点F作于点E，FE与BC交于点D，若DE=DC． (1)求证：BD=DF；(2)若AC=3cm,AB=5cm，求CF的长度． （1） 证明：BD=DF 由于DE=DC，所以∠DEC=∠DCE。 因为FE⊥AB，所以∠AEC=90°。 根据三角形外角性质，∠DCE = ∠A + ∠ACE。 因为∠ACB=90°，所以∠ACE + ∠ECB = 90°。 因此，∠A + ∠ACE + ∠ECB = 90°。 又因为∠A + ∠B = 90°，所以∠ACE + ∠ECB = ∠B。 根据三角形内角和定理，∠B + ∠BDC + ∠DCB = 180°。 因为∠BDC = ∠DEC + ∠EDB = 2∠DEC，所以2∠DEC + ∠DCB = 90°。 又因为∠DEC = ∠DCE，所以2∠DCE + ∠DCB = 90°。 因此，∠BDC = 90° - ∠DCB。 同理，∠BDF = 90° - ∠DCB。 所以∠BDC = ∠BDF。 根据等角对等边原则，BD=DF。 （2） 求CF的长度 在Rt△ABC中，AC=3cm，AB=5cm，根据勾股定理，BC=4cm。 因为BD=DF，所以CF=CD+DF=CD+BD=BC=4cm。 18、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AB，AE，CD相交于点F。 （1）若∠DCB=50°，求∠CEF的度数。 （2）求证：∠CEF=∠CFE。 （1） 求∠CEF的度数 因为∠DCB=50°，所以∠CDB=90°-50°=40°。 因为CD⊥AB，所以∠ADC=90°。 因此，∠CAD=90°-40°=50°。 因为AE平分∠CAB，所以∠CAE=∠EAB=25°。 所以∠CEF=∠CAE+∠ACE=25°+90°=115°。 （2） 证明：∠CEF=∠CFE 因为∠CEF=115°，∠CFE=180°-∠C-∠CEF=180°-90°-115°=115°。 所以∠CEF=∠CFE。 19、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过AC的中点E作FG∥AD，交BA的延长线于点F，交BC于点G． （1）求证：AE＝AF； （2）若BCAB，AF，求BC的长． （1） 证明：AE=AF 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。 因为FG∥AD，所以∠AFG=∠BAD，∠AGF=∠CAD。 所以∠AFG=∠AGF。 根据等角对等边原则，AE=AF。 （2） 求BC的长 因为BC= AB，所以设AB=x，则BC= x。 在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC= 。 因为E是AC的中点，所以AE=AF= AC= 。 根据题意，AF= ，所以 ，解得x= 。 因此，BC= 。 20、△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F． （1）说明：OF与CF的大小关系； （2）猜想：BE、CF、EF之间存在何种数量关系？并说明理由． （1） 说明：OF与CF的大小关系 因为BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，所以∠OBC=∠OCB。 因为EF∥BC，所以∠OBC=∠BOF，∠OCB=∠COF。 所以∠BOF=∠COF。 根据等角对等边原则，OF=CF。 （2） 猜想：BE、CF、EF之间存在何种数量关系？并说明理由。 猜想：BE+CF=EF。 理由：因为EF∥BC，所以∠OEF=∠OCB，∠OFE=∠OBC。 因为∠OBC=∠OCB，所以∠OEF=∠OFE。 根据等角对等边原则，OE=OF。 因为OF=CF，所以OE+OF=CF+OE=BE+CF。 又因为OE+OF=EF，所以BE+CF=EF。 21、在解答“判断由长为2、、的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的： 解：设a＝2，b、c，因为， 所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形． 你认为小明的解答正确吗？请说明理由． （1） 小明的解答是否正确？ 小明的解答是错误的。 （2） 理由 小明在计算过程中出现了错误。正确的计算过程如下： 设a=2，b= ，c= 。 则a²+b²=2²+( )²= ，c²=( )²= 。 因此，a²+b²≠c²。 但是，这并不意味着a、b、c不能组成直角三角形。 事实上，a²+c²=2²+( )²= ，b²=( )²= 。 所以a²+c²=b²。 这意味着a、b、c可以组成直角三角形，其中∠B是直角。 22、如图，在△ABC中，AC=BC，F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连结OB。 （1）求证：△OBC为等腰三角形。 （2）若∠ACF=23°，求∠BOE的度数。 （1） 证明：△OBC为等腰三角形 因为AC的垂直平分线交AC于点D，所以OA=OC。 因为F是AB的中点，所以OF是△ABC的中位线。 所以OF∥AC，OF= AC。 因此，∠OFC=∠ACF=23°。 因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA。 又因为OF∥AC，所以∠AOF=∠OAC，∠COF=∠OCA。 所以∠AOF=∠COF。 因此，∠OFC=∠COF=23°。 根据等角对等边原则，OF=CF。 因为OF= AC，所以CF= AC。 所以OB=OC。 因此，△OBC为等腰三角形。 （2） 求∠BOE的度数 因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB。 因为OF是△ABC的中位线，所以OF∥AC。 所以∠OFC=∠ACF=23°。 因为OF=CF，所以∠COF=∠OFC=23°。 因此，∠OBC=∠OCB=23°。 所以∠BOC=180°-2×23°=134°。 因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB=23°。 所以∠BOE=∠BOC-∠COE=134°-23°=111°。 23、阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝50°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　 　； 如图2，∠O＝　 　； 如图3，∠O＝　 　； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　． （2）如图5，点O是△△ABC两条内角平分线的交点，则∠O＝　 　． （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝110°，∠2＝125°，求∠A的度数． （1） 直接求出下列角度的度数 如图1，∠O=65°； 如图2，∠O=115°； 如图3，∠O=25°； 如图4，∠BO₂O₁=70°。 （2） 求∠O的度数 因为点O是△ABC两条内角平分线的交点，所以∠O=90°+ ∠A。 因为∠A=50°，所以∠O=90°+ ×50°=115°。 （3） 求∠A的度数 因为∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O₁、O₂，所以∠1= ∠ABC，∠2= ∠ABC+ ∠ACB。 因为∠1=110°，∠2=125°，所以 ∠ABC=110°， ∠ABC+ ∠ACB=125°。 解得∠ABC=330°，∠ACB=45°。 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠A=180°-330°-45°=105°。 24、如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，AC＝20cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AB→BC→CA运动，回到点A停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）如图①，当△ABP的面积等于△ABC面积的一半时，求t的值； （2）如图②，点D在BC边上CD＝4cm，点E在AC边上，CE＝5cm，ED⊥BC，ED＝3cm，在△ABC的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边AC→CB→BA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，以A，P，Q为顶点的三角形恰好与△EDC全等，求点Q的运动速度． （1） 求t的值 因为AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，所以△ABC的面积= ×12×16=96cm²。 因为点P从点A出发，沿着三角形的边AB→BC→CA运动，所以当点P在AB边上时，△ABP的面积= ×AP×h。 当△ABP的面积等于△ABC面积的一半时， ×AP×h=48。 因为h=12，所以AP=8。 因为点P的速度为2cm/s，所以t=8÷2=4s。 （2） 求点Q的运动速度 因为ED⊥BC，ED=3cm，CD=4cm，CE=5cm，所以△EDC的面积= ×3×4=6cm²。 因为点P从点A出发，沿着三角形的边AB→BC→CA运动，点Q从点A出发，沿着边AC→CB→BA运动，所以当点P在AB边上，点Q在AC边上时，△APQ的面积= ×AP×AQ×sin∠A。 当△APQ的面积等于△EDC面积时， ×AP×AQ×sin∠A=6。 因为AP=8，sin∠A= ，所以AQ= 。 因为点Q的速度为v，所以t= 。 因为t=4，所以v=5cm/s。 当点P在BC边上，点Q在CB边上时，△APQ的面积= ×AP×AQ×sin∠B。 当△APQ的面积等于△EDC面积时， ×AP×AQ×sin∠B=6。 因为AP=16，sin∠B= ，所以AQ=10。 因为点Q的速度为v，所以t= 。 因为t=4，所以v=9cm/s。 综上所述，点Q的运动速度为5cm/s或9cm/s。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年新浙教版八年级第一学期数学第一章、第二章培优训练卷 一、选择题 1、下列命题中，假命题是（　　） A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．有一边相等的两个等边三角形全等 D．三边对应相等的两个三角形全等 2、下列命题：①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB'＝74°，则∠ACD的度数为（　　） A．8° B．9° C．10° D．12° 4、如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（　　） A．21° B．23° C．25° D．30° 5、如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 6、如图，在△ABC中，已知S△ABD：S△ACD＝2：1，点E是AB的中点，且△ABC的面积为9cm2，则△AED的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，点D在BC的垂直平分线上，BE=AB，BD平分∠ABE，则∠E的度数为（ ） A.30° B. C. D.无法确定 8、如图，在长方形中，点为中点，将沿翻折至，若，，则与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 9、如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE；②BF＝DE；③∠BFE＝∠BAE；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10.如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上（且E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（　　） A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF与EF的大小关系不确定 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 二、填空题 11、如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______° 12、如图，在△ABC中，DE是AB边的垂直平分线，交AB、BC于点E、D．连接AD．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为　 　cm． 13、已知在△ABC中，，点、分别在边和上，且，若，则的度数是 ． 14、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　 　． 15、如图，，，，，点M为的中点，， ． 16、如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°． 恒成立的结论有 　 　．（把你认为正确的序号都填上） 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 三、简答题 17、如图，中，延长AC到点F，过点F作于点E，FE与BC交于点D，若DE=DC． (1)求证：BD=DF；(2)若AC=3cm,AB=5cm，求CF的长度． 18、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AB，AE，CD相交于点F。 （1）若∠DCB=50°，求∠CEF的度数。 （2）求证：∠CEF=∠CFE。 19、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过AC的中点E作FG∥AD，交BA的延长线于点F，交BC于点G． （1）求证：AE＝AF； （2）若BCAB，AF，求BC的长． 20、△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F． （1）说明：OF与CF的大小关系； （2）猜想：BE、CF、EF之间存在何种数量关系？并说明理由． 21、在解答“判断由长为2、、的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的： 解：设a＝2，b、c，因为， 所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形． 你认为小明的解答正确吗？请说明理由． 22、如图，在△ABC中，AC=BC，F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连结OB。 （1）求证：△OBC为等腰三角形。 （2）若∠ACF=23°，求∠BOE的度数。 23、阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝50°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　 　； 如图2，∠O＝　 　； 如图3，∠O＝　 　； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　． （2）如图5，点O是△△ABC两条内角平分线的交点，则∠O＝　 　． （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝110°，∠2＝125°，求∠A的度数． 24、如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，AC＝20cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AB→BC→CA运动，回到点A停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）如图①，当△ABP的面积等于△ABC面积的一半时，求t的值； （2）如图②，点D在BC边上CD＝4cm，点E在AC边上，CE＝5cm，ED⊥BC，ED＝3cm，在△ABC的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边AC→CB→BA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，以A，P，Q为顶点的三角形恰好与△EDC全等，求点Q的运动速度． 学科网（北京）股份有限公司 $