精品解析：四川省遂宁市遂宁中学2025届高三上期10月月考（一诊模拟）数学试卷

遂宁中学介福校区高2025届第五期一诊模拟 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 5. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间内恰有3条对称轴，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程在区间上有解，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 函数的最小值为 10. 已知（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 11. 如果项数有限的数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，则（ ） A. 若，则 B. 若，则所有项的和为 C. 当时，所有项的和最大 D. 所有项的和不可能为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则______． 13. 已知，设函数，则______． 14. 如下图，正方形 的边长为 14 cm， 依次将 分为3:4的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形 . 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为， 为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是______________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 16. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人． （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关； 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 （2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7879 10.828 17. 已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． （1）求，的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求． 18. 已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，，，为的内角，，的对边，且满足． （1）证明：； （2）若，设，，，求四边形面积最大值． 19. 设函数． （1）已知对任意恒成立，求实数k的取值范围； （2）已知直线l与曲线分别切于点，其中． ①求证：； ②已知对任意恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 遂宁中学介福校区高2025届第五期一诊模拟 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2. 以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边上的点求出，再应用两角差正切公式求值即可. 【详解】由题意知：，而. 故选：C 3. 已知数列满足，则（ ） A 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得①， 所以时，②， ①-②得，所以，所以. 故选：B. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16第75百分位数为10 C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；利用独立性检验的思想判断D. 【详解】对于A，该校高一年级女生人数是，A正确； 对于B，由，得第75百分位数为，B正确； 对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确. 故选：C 5. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关键利用拆角求解，即，，然后利用和差角公式求值即可. 【详解】由， 结合，可得， 所以有， 故选：C. 6. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得. 【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数， 依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得， 且，解得. 故选：C. 7. 已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，利用的图象与性质，再结合条件，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又函数在区间恰有3条对称轴， 所以，解得， 故选：D. 8. 已知关于x的方程在区间上有解，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，方程转化为，结合单调性得，然后分离参数，利用导数求得最大值． 【详解】令，则是上的单调增函数， 原方程整理得，即， 若，则，若，则都不成立， 所以， 所以上有解，整理得， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，即的最大值是. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求最值，解题关键是引入函数，方程变形为，利用函数的单调性方程化简为，这样分离参数后利用导数求得最大值即可． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 函数的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A举反例即可；对B根据不等式性质即可判断；对C，利用指数函数单调性即可判断；对D举反例即可. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，当，则，则，故B正确； 对C，根据指数函数在上单调递增，且，则，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：BC. 10. 已知（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的部分图象求得，，值，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解. 【详解】对于AB，根据函数的部分图象知，， ，，故AB正确， 对于C，由五点法画图知，，解得， 由于，所以， . 令，则， 时，，时，， 当时，，当时，，当时，， 故在内有2个极值点，分别为，，故C错误， 对于D，，可得：， 故当此时取最大值，故D正确. 故选：ABD. 11. 如果项数有限的数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，则（ ） A. 若，则 B. 若，则所有项的和为 C. 当时，所有项的和最大 D. 所有项的和不可能为 【答案】BCD 【解析】 【分析】确定的和，结合二次函数性质，代入数据计算得到BCD正确，计算，A错误，得到答案. 【详解】记的各项之和为，，，，是首项为，公差为的等差数列， 可得， 所以， 当时，取到最大值，且最大值为626，故选项C正确； 当时，，故选项B正确； ，方程无正整数解，所以所有项的和不可能为，故选项D正确； 若，则，故选项A错误. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算出，再计算出. 【详解】，故， 又，故. 故答案为：3 13. 已知，设函数，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再求出，再通过换元，利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】解：由题意得，∴，∴的定义域为[1，3]， ， 设，， 则，在[0，1]上为增函数， ∴当即时，， 当即时，， ∴． 故答案为：5． 【点睛】易错点睛：本题容易忽略求函数的定义域导致出错.函数的问题，要注意定义域优先的原则. 14. 如下图，正方形 的边长为 14 cm， 依次将 分为3:4的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形 . 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为， 为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是______________. 【答案】21 【解析】 【分析】由题结合图形，通过数学归纳得出数列以6为首项，为公比的等比数列，求和分析即可. 【详解】由题意可知，，. 所以，同理可得，，， 因此由数学归纳的思想可知，. 设数列，则该数列以6为首项，为公比的等比数列， 所以， 因此， 又因为当时，, 所以若与正整数恒满足不等式，则的最小值是21. 故答案为：21. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期； （2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， 的最小正周期； 【小问2详解】 由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 16. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人． （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关； 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 （2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有，理由见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题干信息填写列联表，计算出卡方值，与7.879比较作出判断即可； （2）根据条件可知，由公式得到期望值. 【小问1详解】 平均车速超过人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 20 10 30 女性驾驶员人数 5 15 20 合计 25 25 50 ∵， ∴所以有的把握认为平均车速超过与性别有关. 【小问2详解】 根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为. 所以的可能取值为0,1,2,3，且， 数学期望为. 17. 已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． （1）求，的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)利用累乘法可求的通项公式，再利用等差数列的定义求的通项公式；(2)利用错位相减法求和. 【小问1详解】 证明：∵，∴，∴， ∴， 当时，上式成立，∴ 又因为，， 所以， 所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1），， 所以，① ，② 所以①②得， 所以． 18. 已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，，，为的内角，，的对边，且满足． （1）证明：； （2）若，设，，，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意知，解得，代入已知条件化简可得:,再由正弦定理将角化边即可得证； （2）由条件和（1）的结论可得为等边三角形，可得 ,化简为，由求得最大值. 【小问1详解】 解：因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数的最小正周期，解得， ∵， ∴， ， ， ， . 【小问2详解】 解：因为，，所以，所以为等边三角形， 所以 ， ∵，∴， 当且仅当，即时取最大值，的最大值为. 19. 设函数． （1）已知对任意恒成立，求实数k的取值范围； （2）已知直线l与曲线分别切于点，其中． ①求证：； ②已知对任意恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②1 【解析】 【分析】（1）利用参变量分离法可得出，其中，利用导数分别求出函数的最大值、函数的最小值，即可得出实数的取值范围； （2）①利用导数的几何意义可得出直线两种不同的方程，可得出，整理可得出，构造函数，其中，求出的取值范围，再由可证得结论成立； ②由可得，设，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得，结合可得出实数的取值范围. 小问1详解】 由已知可得，其中， 设，其中，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，； 令，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，， 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 ①因为，，则，， 所以，直线可表示为，即， 直线的方程也可表示为，即， 故有，所以，， 所以，，即， 设，其中，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 又因为，，所以，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 因为，则，， 所以，函数在上无零点， 因为，所以，存在，使得， 所以，，则； ②由①可知，，当时，， 由可得， 设，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以，，解得， 故实数的最大值为1. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$