精品解析：重庆市巴蜀中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

高2027届高一（上）学月考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存、满分150分，考试用时120分钟、 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 若实数，则最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 5. 设集合，则如下的4个图形中能表示定义域为，值域为的严格单调函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合不是空集，若是充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，集合的积集 B. 若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个 C. 若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个 D. 存在4个正实数构成的集合，使其积集 8. 已知，不等式在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数定义域为 D. 若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的非空子集的个数是______． 13. 若在上单调递增，则实数的取值范围为______． 14. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有______人． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式（其中）． （1）若不等式解集为，求的值； （2）若，试求该不等式的解集． 17. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质A；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质． （1）试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件； （2）若函数在区间上具有性质A，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上同时具有性质A和性质，求实数的取值范围． 19. 对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点． （1）试判断点是否领先于点，并说明理由； （2）若点领先于点，试证明：点领先于点． （3）对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2027届高一（上）学月考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存、满分150分，考试用时120分钟、 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定形式可得结果. 【详解】全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是. 故选：C． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后代值计算可得出的值. 【详解】由题意，，令，则， 所以函数解析式为， 所以，则． 故选：B. 3. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B，再根据交集概念计算即可. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即，于是． 故选：B. 4. 若实数，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】用配凑法结合基本不等式求解即可； 【详解】实数 ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最大值为， 故选：A. 5. 设集合，则如下的4个图形中能表示定义域为，值域为的严格单调函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义域、值域和严格单调函数的概念易得结果. 【详解】对于A，函数的定义域为，不是集合，故A错误； 对于B，定义域和值域都满足题意，且符合严格单调函数，故B正确， 对于C，存在和轴平行的一段图象，故不是严格单调函数，故C错误； 对于D，对定义域中除0以外的任一都有两个与之对应， 不符合函数关系，故D错误. 故选：B. 6. 已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求解即得. 【详解】由是的充分不必要条件，得是的非空真子集， 则，解得，而当时，，当时，符合题意， 所以实数的取值范围为. 故选：C 7. 设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，集合的积集 B. 若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个 C. 若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个 D. 存在4个正实数构成的集合，使其积集 【答案】C 【解析】 【分析】利用积集的定义可判断A，设，其中，利用积集定义分析积集中元素的大小关系可判断B和C，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾可判断D. 【详解】对于A，因为，故集合中所有可能的元素有， 即，故A错误； 对于B，设，不妨设， 因为， 所以中元素个数小于等于10个， 如设，则， 所以积集中元素个数的最大值为10个，故B错误； 对于C，因为， 所以中元素个数大于等于7个， 如设， 此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故C正确； 对于D，假设存在4个正实数构成的集合，使其积集， 不妨设，则集合的积集， 则必有，其4个正实数的乘积， 又或，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合， 使其生成集，故D错误 故选：C. 8. 已知，不等式在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，原不等式转化为，两边同时平方并化简得，由此分析出，进而得到，由此可解出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵上述不等式恒成立， ∴，即（否则取，则左边，矛盾）， 此时不等式转化为， ∴，解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查转化与化归思想，属于难题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的定义域为 D. 若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用相等函数概念，复合函数定义域，结合不等式恒成立计算即可. 【详解】对于A，函数的定义域为的定义域为， 故函数与不是同一个函数，A不正确； 对于B：因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为，B正确 对于C，不等式， 则解集为，C不正确 对于D，当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是，D不正确， 故选：ACD 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐个计算判断即可. 【详解】对于A，由，利用基本不等式，可得，解得， 又（当且仅当时，等号成立）， 而，所以，所以，故A正确； 对于B，由，利用基本不等式，化简, 得（当且仅当时，等号成立）， 解得，即，故B错误； 对于C，由，利用基本不等式, 化简得（当且仅当时，等号成立）， 解得，故C错误； 对于D，，又，即， 由B选项知，所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的非空子集的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据集合中元素的特点求出集合的元素个数，再根据集合非空子集的个数的计算方法得到结果. 【详解】由题意得，所以该集合的非空子集个数为． 故答案为：. 13. 若在上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性结合一次函数、二次函数性质列式求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有______人． 【答案】46 【解析】 【分析】根据题意，把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图和容斥原理可知，当取最大值时最大，验证可得最终结果. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理人组成集合， 选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则， 由 ， 可得， 当且仅当时，最大，此时． 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件． 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46人． 故答案为：46． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由绝对值不等式的解法先得到，再由集合的补集和并集运算得到结果； （2）由得到，考虑和两种情况，分类讨论得到结果. 【小问1详解】 当时， 又，则或， 故或． 【小问2详解】 由得， 当时，，符合题意； 当时，化简得， 要使得，需要，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 16. 已知关于的不等式（其中）． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，试求该不等式解集． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解集的特点，利用韦达定理可得结果； （2）对参数分类讨论，当时不等式化为一元一次不等式，当时，讨论不等式对应的一元二次方程的两根的大小关系易得结果. 【小问1详解】 由条件知且1，3是方程的两个根， 所以由韦达定理可得，解得或， 当或时，方程均化为，此时， 符合条件，所以或. 【小问2详解】 因式分解得 当时，不等式为，解集为； 当时，方程的根为． 作差比较 若，则开口向下且， 不等式的解集为； 若，则开口向下与轴有唯一交点且， 不等式的解集为； 若，则开口向下且， 不等式的解集为. 综上所述，时，解集为；时，解集为； 时，解集为；时，解集为． 17. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式求最小值，再解一元二次不等式即可； （2）的最小值求出来，后得到，再根据题意列不等式组，解不等式组即可. 【小问1详解】 当且仅当即取得等号． 要使得命题为真命题，只需要，解得 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 令．当时． 要使得命题为真命题，只需要，故． 因为命题和命题中至少有一个为真命题情况较多，先考虑对立情况，即命题和命题 都是假命题，此时或，可得． 所以命题和命题中至少有一个为真命题时，实数的取值范围是． 18. 设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质A；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质． （1）试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件； （2）若函数在区间上具有性质A，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上同时具有性质A和性质，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义以及充分、必要条件分析判断； （2）分析可知在区间上单调递增，结合单调性的定义分析求解； （3）分析可知在区间上单调递增，在区间上单调递增，结合对勾函数单调性分析求解. 【小问1详解】 若函数在区间上具有性质， 对任意且， 由条件可知 变形可得，即， 所以在区间上单调递增，即充分性成立； 若函数位区间上单调递增，如在任意区间上单调递增， 但，故不符合性质，即必要性不成立； 所以“在区间上具有性质”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 【小问2详解】 若具有性质A，即可知在区间上单调递增． 对任意，且， 则， 因为，则， 可得恒成立，则， 所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 由条件可知，具有性质A，即在区间上单调递增； 由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增； 由对勾函数可知：的增区间为， 的增区间为， 要使得条件成立，需要或， 解得或， 所以实数的取值范围是或． 19. 对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点． （1）试判断点是否领先于点，并说明理由； （2）若点领先于点，试证明：点领先于点． （3）对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3），该集合中有1个元素 【解析】 【分析】（1）结合题中新定义，采用分析证明即可； （2）结合题中新定义，通过分式变形证明即可； （3）结合题中新定义，将问题转变为，先考虑变量，再考虑即可； 【小问1详解】 由条件，证是否成立，即证， 即证，即证，即证，该式显然正确， 所以点领先于点． 【小问2详解】 要证点领先于点，即证， 即证， 即证，由条件点领先于点知该式显然成立，即证． 【小问3详解】 由条件知，有， 即，有， 先考虑变量，需要恒成立，所以，有， 再考虑变量，存在即可，所以，解得， 又因为，故，易知该集合中有1个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$