不等式讲义-江苏省南京市2024-2025学年高一上学期期中数学专题复习

2024-2025学年度南京市上学期期中针对练习 不等式部分 知识点1 等式的基本性质 知识点2 不等式的性质 知识点3 一元二次不等式的解集 知识点4 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为， 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 知识点4 二次函数的零点 一般地,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零　自变量x的值,即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. （1）函数的零点不是点,而是一个实数,是函数的图象与x轴交点的横坐标,也是函数值为零时自变量x的值,也是函数相应的方程的实数根. （2）一般地,一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)的根就是一次函数y＝ax＋b(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为一次函数y＝ax＋b(a≠0)的零点 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）是的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（22-23高一上·江苏南京·期中）“”是 “”的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知均为实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022高一上·江苏南京·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·江苏南京·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（    ） A．若a＜b，则 B．若a＞b＞0，则 C．若a＞b，则 D．若，则a＞b 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 11．（2022高一上·江苏南京·期中）已知，若，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列选项中正确的有（    ） A．若集合，且，则实数的取值所组成的集合是. B．若不等式的解集为，则不等式的解集为. C．已知函数的定义域是，则的定义域是. D．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是. 13．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一上·江苏南京·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C． D． 15．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知命题p：函数有零点，命题，.若p，q全为真命题，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 三、填空题 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）若正数，，满足，，则的最大值是 . 18．（2022高一上·江苏南京·期中）已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成 个真命题． 19．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知实数，且，则的最小值是 ． 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知不等式的解集为，则的取值范围是 . 21．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是 . 22．（22-23高一上·江苏南京·期中）多种原因导致国际原材料价格不断上涨.2021年11月，海关总署统计了当年前10个月我国主要大宗商品进口情况，数据如下表： 前10个月我国主要大宗商品进口情况 商品 进口量 增幅 进口均价（每吨） 增幅 铁矿砂 9.33亿吨 ↓4.2% 1139元 ↑61% 原油 4.25亿吨 ↓7.2% 3128.3元 ↑35.6% 大豆 7908.3万吨 ↓5% 3531.8元 ↑30.2% 初级形状的塑料 2833.7万吨 ↓15.8% 1.15万元 ↑30.4% 成品油 2233.6万吨 ↓7.1% 3893.6元 ↑33.8% 钢材 1184.3万吨 ↓30.3% 8302.1元 ↑46.4% 未锻轧铜及铜材 442.9万吨 ↓21% 6.07万元 ↑37.4% 数据来源：海关部署 原材料价格的不断上涨导致终端产品被动提价.由于钢材和铜材这两种原料价格上涨，某出口企业决定根据这两种原料的增幅，对某种产品分两次提价，现有三种提价方案： 方案甲：第一次提价%，第二次提价%； 方案乙：第一次提价%，第二次提价%； 方案丙：第一次提价%，第二次提价%. 其中，那么在三种方案中，提价多的是方案 . 四、解答题 23．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 24．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 25．（22-23高一上·江苏南京·期中）（1）解不等式：； （2）证明不等式：. 26．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知. (1)求的最小值 (2)求的最小值. 27．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合． (1)设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C⊆（A∩B），求a的取值范围： (2)设m为实数，集合，若x∈（A∪B）是x∈D的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由． 28．（23-24高一上·江苏南京·期中）第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 29．（22-23高一上·江苏南京·期中）2022年8月17日，为进一步捍卫国家主权和领土完整，中国人民解放军东部战区继续开展围绕某岛的军事演习，海陆空三军联手展开全域作战演练，各类现役主力装备悉数登场，其中解放军长航时无人机远海作战能力再一次强力震慑住了敌对势力.例如两型侦察干扰无人机可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌方通讯设施的电磁压制和干扰，甚至压制敌方的防空系统.为了检验实战效果，某作战部门对某处战场实施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离的比值成正比，比例系数为常数.现已知相距36的两处配置两架无人机干扰源，其对敌干扰的强度分别为和，线段上任意一点处的干扰指数等于两机对该处的干扰指数之和，设. (1)试将表示为的函数，并求出定义域； (2)当时，试确定“干扰指数”最小时所处的位置. 30．（22-23高一上·江苏南京·期中）某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为百元．若氦气日产量不足，日均额外成本为（百元）；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成． (1)写出总成本（百元）关于日产量的关系式 (2)当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本 参考答案： 1．C 【详解】因为，且 ， 所以， 所以是的充要条件. 故选：C 2．A 【详解】，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．B 【详解】由不等式性质可知，若，则有， 取，显然，但不满足， 所以“”是 “”的充分不必要条件. 故选：B 4．B 【详解】由题意得：存在，成立为真命题， 又因为：，当且仅当，即：取等号， 所以：，故B项正确. 故选：B. 5．D 【详解】由题意均为实数，且， 则，故，A错误； 取，满足条件，但是，B，C错误； 由知，，故，即 ，D正确， 故选：D. 6．C 【详解】解：因为，所以， 所以等价于， 因为， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为 故选：C 7．C 【详解】由题意关于的不等式的解集是， 可知是方程的两个实数根，且， 则，则， 故即，即或 ， 即不等式的解集是， 故选：C. 8．D 【详解】当时，，选项A错误； ，所以，所以选项B错误； 时，，所以选项C错误； 时，，所以选项D正确. 故选：D 9．ABD 【详解】由题， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于C，令满足，但，所以C错误； 对于D，因为，所以不同时为0，则，所以D正确； 故选：ABD 10．BC 【详解】依题意，关于的不等式的解集为或， 所以，A选项错误. ，即， 所以， 所以不等式的解集为，B选项正确. ，C选项正确. ，即， 解得，所以不等式的解集为，D选项错误. 故选：BC 11．ACD 【详解】因为，，， 所以且，则，故A、C正确； 所以，所以，故D正确； 当，时满足且，但是，故B错误； 故选：ACD 12．BCD 【详解】对于A，当时，方程无解，则； 当时，由方程，解得，可得或，解得或， 综上所述，的解集为，故A错误； 对于B，由题意可知：方程的解为，且， 由韦达定理可得，，则，， 解得，， 则不等式为 由，则不等式变为，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，则，所以函数的定义域为， 对于函数，则，解得，所以其定义域为，故C正确； 对于D，由题意可得，解得或， 设，其对称轴为，则，解得， ，，解得， 综上所述，的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 13．AC 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以，所以C正确， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：AC 14．ABD 【详解】当时，，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 若且，则， 当或时取等号，B正确； 由，故， 当时，不成立，故等号取不到，C错误； ，当且仅当时取等号，D正确， 故选：. 15．ACD 【详解】命题p：函数有零点为真命题时， 若，则，函数无零点，不合题意； 故，则，即或； 命题，为真命题时， 由于时，单调递减，故， 若p，q全为真命题，则或， 结合各选项可知实数a的取值可以是 ， 故选：. 16．ACD 【详解】对于A，由可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确； 对于B，命题“”的否定是“”，故不正确； 对于C，由解得或，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确； 对于D，由解得且，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确， 故选：ACD 17． 【详解】由题意，所以，当且仅当时等号成立， ，即的最小值是. 故答案为：． 18．3 【详解】由不等式性质，得；； ．故可组成3个真命题． 故答案为：3. 19． 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以，即， 所以的最小值是， 故答案为： 20． 【详解】由于不等式的解集为， 所以， 解得. 故答案为： 21．或 【详解】因为命题“，使得”是真命题， 则，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 22．丙 【详解】设提价前的价格为，则甲方案提价后的价格为： 乙方案提价后的价格为： 丙方案提价后的价格为： 因为，所以 即 所以 故提价多的是方案丙. 故答案为：丙 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以； （2）因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 因为， 综上． 24．(1) (2)18 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 25．（1）或；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题设，整理得，解得或， 所以原不等式的解集为或 （2）由，且时等号成立， 所以，得证. 26．(1) (2)2 【详解】（1）由得，即， ，则， 因为，所以， 当且仅当，即时取得“=”， 所以的最小值为. （2）法一： 令，则，， 故由可得，整理得， ， 当且仅当，即，即时取“=”， 所以的最小值为2. 法二： 由可得，又， ， 当且仅当，即时取得“=”， 所以的最小值为2. 27．(1)； (2)存在；. 【详解】（1）， 所以，，所以， （1）由已知得， ①时，，此时满足题意； ②时，，要满足题意需 综上所述，a的取值范围是； （2）由已知得，由题意得D是的真子集 ， 所以， 要满足题意需（等号不同时成立） 答：满足条件的m存在，取值范围是． 28．(1)50 (2)至少应达到万件，商品的每件定价为20元 【详解】（1）设定价为元，则销售量为万件， 由已知可得，， 整理可得，，解得， 所以，该商品每件定价最多为50元. （2）由已知可得，，. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元. 29．(1)，定义域为 (2)“干扰指数”最小时所处位置在距离A点处 【详解】（1）由题意，点受A干扰指数为，点受干扰指数为，其中， 从而点处干扰指数：， 又， 故定义域为. （2）当，时， , 当且仅当,即时，等号成立. 故“干扰指数”最小时所处位置在距离A点处. 30．(1) (2)当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元 【详解】（1）若每天生产氦气，则需生产天，，则； 若氦气日产量不足，则氦气的平均成本为百元； 若氦气日产量大于等于，则氦气的平均成本为百元； . （2）当时，（当且仅当，即时取等号）， 当时，取得最小值； 当时，，令，则， ，则当，即时，取得最小值； 综上所述：当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元. 学科网（北京）股份有限公司 $$