03-第3章 不等式(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学不等式单元复习课件系统梳理了不等式的性质、解法及应用，涵盖不等式比较、均值不等式求最值、二次不等式与恒成立问题等核心内容，通过典型例题将知识点与题型逻辑串联，帮助学生构建完整的不等式知识网络。 其亮点在于注重“问题情境-数学抽象-逻辑推理”的复习路径，如通过“企业处理厨余垃圾的成本优化”问题，引导学生用数学眼光发现数量关系，运用均值不等式和二次函数性质解决实际问题，培养数学建模与运算能力。分层设计的题型（基础选择到综合解答）满足不同学生需求，教师可通过典型错题精准定位薄弱环节，提升复习效率。

第3章 不等式 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知a>b>0,则下列结论中正确的有 （ ） A. > 　     B. >  C.若d<c<0,则ad<bc　     D.ab<ba     C     解析　若c=0,则 , 无意义,故A错误; 因为a>b>0,所以0< < ,故B错误; 若d<c<0,则-d>-c>0,又a>b>0,所以-ad>-cb>0,即ad<bc,故C正确; 若a=3,b=2,则ab=9>ba=8,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知实数a>1,b>0,a+b=3,则 + 的最小值为 （ ） A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     解析　因为a>1,所以a-1>0,又a+b=3,所以a-1+b=2,所以 + = [(a-1)+b] =   ≥  = ,当且仅当 = ,即a=5-2 ,b=2 -2时取等号,所以 + 的最小值 为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,则ab的最大值为 （ ） A. 　　　　　    B. 　　　　　    C.3　　　　　    D.4     A     解析　因为1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,所以1≤(a-b)2≤4,9≤(a+b)2≤16,所以-4≤-(a-b)2≤-1,所以5≤(a+b)2- (a-b)2≤15,即5≤4ab≤15,所以 ≤ab≤ ,则ab的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.“-3<m<1”是“不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0对任意的x∈R恒成立”的（ ） A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0, ①当m=1时,不等式为-1<0,恒成立; ②当m≠1时,若不等式对任意的x∈R恒成立,则 解得-3<m<1. 综上所述,若不等式对任意的x∈R恒成立,则m的取值范围为{m|-3<m≤1}. ∵{m|-3<m<1}⫋{m|-3<m≤1},∴“-3<m<1”是“不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0对任意的x∈R恒成立”的 充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知a=2+ ,b=3- ,c=2+ ,则 （ ） A.a>b>c　    B.b>a>c　    C.c>b>a　    D.c>a>b     A     解析    a-b=-1+ + = -1. 因为 - =2 -7, >72, 所以 + > ,所以 >1, 所以a-b= -1>0,即a>b. 因为b=3- >3- = ,c=2+ <2+ = ,所以b>c. 综上,a>b>c. 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知关于x的不等式组 的解集中恰有两个整数解,则实数k的取值范围为 （ ） A.(-10,-8)∪(6,8)　    B.[-10,-8)∪(6,8] C.(-10,-8]∪[6,8)　    D.[-10,-8]∪[6,8]     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　解x2-x-2>0,得x<-1或x>2. 解2x2+(k+2)x+k=0,得x=- 或x=-1. 当k≥2时,解2x2+(k+2)x+k≤0,得- ≤x≤-1.因为不等式组的解集中恰有两个整数解,所以-4<- ≤-3,解 得6≤k<8. 当k<2时,解2x2+(k+2)x+k≤0,得-1≤x≤- .因为不等式组的解集中恰有两个整数解,所以4≤- <5,解得-1 0<k≤-8. 综上,实数k的取值范围为(-10,-8]∪[6,8). 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知正实数a,b满足2a+b=3ab,则下列结论中错误的是 （ ） A.ab的最大值是 　    B.2a+b的最小值是  C.a+2b的最小值是3　    D.b- 的最小值为2 -3     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,3ab=2a+b≥2 ,所以3 ≥2 ,所以ab≥ ,当且仅当a= ,b= 时取等号,故A中结论 错误. 对于B,结合A知2a+b=3ab≥ ,当且仅当a= ,b= 时取等号,故B中结论正确. 对于C,因为2a+b=3ab,所以 + =3,所以3(a+2b)=(a+2b)· =5+ + ≥5+2 =9,当且仅当a= b=1时取等号,所以a+2b≥3,故C中结论正确. 对于D,b- =b+ -3≥2 -3=2 -3,当且仅当b= 时取等号,故D中结论正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.设实数x,y满足x> ,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立,则实数k的最大值为 （ ） A.12　    B.24　    C.2 　    D.4      B     解析　令a=2x-3,b=y-3,因为x> ,y>3,所以a>0,b>0, 则k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2可转化为k≤ ,即 + ≥k,而 + =  + ≥ + =12 ≥24 =24,当且仅当a=b=3时等号同时成立,所以k≤24,所以 实数k的最大值为24. 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(1,2),则下列说法正确的是 （ ） A.a>0 B.b+c>0 C.关于x的不等式ax2+cx+b<0的解集为(-3,1) D.若c3+bc+a≤0,则a+b+2c的最大值为1     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 整理,得 所以b+c=-a<0,故A正确,B错误. ax2+cx+b=ax2+2ax-3a=a(x2+2x-3)<0,又a>0,所以x2+2x-3<0,解得-3<x<1,故C正确. c3+bc+a=8a3-6a2+a=a(8a2-6a+1)≤0,又a>0,所以8a2-6a+1≤0,解得 ≤a≤ ,所以 ≤a+b+2c=a-3a+4a=2a ≤1,故a+b+2c的最大值为1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知实数x,y满足x2+y2+xy=4,则 （ ） A.-2≤y≤2　    B.- ≤x+y≤  C.-4≤x-y≤4　    D. ≤x2+y2≤8     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由题可知关于x的方程x2+yx+y2-4=0必有实数根,所以Δ=y2-4(y2-4)≥0,解得- ≤y≤ , 故A错误;对于B,x2+y2+xy=(x+y)2-xy=4,又xy≤ ,所以 ≤4,解得- ≤x+y≤ ,当且仅当x =y= 时,不等式x+y≤ 的等号成立,当且仅当x=y=- 时,不等式- ≤x+y的等号成立,故B正确; 对于C,x2+y2+xy=(x-y)2+3xy=4,又-xy≤ ,所以 ≤4,解得-4≤x-y≤4,当且仅当x=-y=2时,不等式 x-y≤4的等号成立,当且仅当x=-y=-2时,不等式-4≤x-y的等号成立,故C正确;对于D,由xy≤ 可知x2+ y2+xy=4≤ ,即 ≤x2+y2,当且仅当x=y=± 时,等号成立,由x2+y2+xy=4得x2+y2-4=-xy,又-xy≤  ,所以x2+y2-4≤ = ,所以 ≤4,即x2+y2≤8,当且仅当-x=y=±2时,等号成立,所 以 ≤x2+y2≤8,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.已知正数a,b,c满足 若a,b,c恰好是三角形的三条边的长度,则a的可能取值为 （ ） A. 　    B. 　    C. 　    D.2     BC     解析　　由题意得 所以0<a<2,所以a一定不是唯一的最大边长. 不妨设c最大,则 ≤c<2,所以方程x2+(a-4)x+a2=0有两个正根,且在 ≤x<2时有解, 所以 解得 -1<a≤ . 结合选项,a的可能取值为 , . 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c, 三角形的面积S可由公式S= 求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海 伦-秦九韶公式,现有一个边的长度满足a+b=10,c=6的三角形,则此三角形面积的最大值为______.     12 解析　依题意得p= = =8,所以三角形的面积为 =4× ≤4×  =4× =12,当且仅当8-a=8-b且a+b=10,即a=b=5时等号成立,故此三角形面积的最大值为1 2. 第1讲　描述运动的基本概念 13.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为_______. {a|a≤2} 解析　当a>1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a},∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤1,解得a≤2,∴1< a≤2; 当a=1时,A={x|(x-1)2≥0}=R,B={x|x≥0},A∪B=R,符合题意; 当a<1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤a或x≥1}, ∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤a,恒成立,∴a<1. 综上,a的取值范围为{a|a≤2}. 第1讲　描述运动的基本概念 14.已知正实数a,b满足(1+a2) =72,则(1+a)b的最小值为______.     8  解析　因为(1+a2) =72,所以b2+a2b2-4· =72,所以b2= ,所以(1+a)2b2=[(1+a2)+2a]·  =72+4 + =72+4 + +8=80+4 + ≥80+2  =80+48=128,当且仅当4 = ,即a+ =6,即a=3±2 时取等号, 所以(1+a)b的最小值为 =8 . 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知正实数a,b,c满足a2+b2+c2=3. (1)若a=1,证明: + ≥2; (2)求ab+bc+ca的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由a=1,得b2+c2=2, (2分) 则 + = (b2+c2) =1+ + ≥2, 当且仅当b=c=1时,等号成立. (6分) (2)因为ab≤ (a2+b2),bc≤ (b2+c2),ac≤ (a2+c2),当且仅当a=b=c=1时,等号同时成立, (9分) 所以ab+bc+ac≤a2+b2+c2=3,即ab+bc+ca的最大值为3. (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)设命题p:对任意的x∈[1,4],不等式x2-4x+2≥m2-3m恒成立;命题q:存在x∈ ,使得不等式x2-x +m- ≥0成立. (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若p,q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得,在x∈[1,4]上,(x2-4x+2)min≥m2-3m. (2分) 易知当x=2时,y=x2-4x+2取得最小值,为-2, (3分) ∴-2≥m2-3m,解得1≤m≤2. 故当p为真命题时,实数m的取值范围是1≤m≤2. (5分) (2)存在x∈ ,使得不等式x2-x+m- ≥0成立, 即在x∈ 上, ≥0, (7分) 易知当x=0时,y=x2-x+m- 取得最大值,为m- , (8分) ∴m- ≥0,解得m≥ , ∴当q为真命题时,实数m的取值范围是m≥ . (10分) 第1讲　描述运动的基本概念 由(1)知当p为真命题时,实数m的取值范围是1≤m≤2. 若p为假命题,q为真命题,则 解得m>2; (12分) 若p为真命题,q为假命题,则 解得1≤m< . (14分) 综上所述,1≤m< 或m>2. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)已知a>0,b>0,且(a+b) =1. (1)求 + 的最小值; (2)是否存在a,b,使得 + 的值为 ?并说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵a>0,b>0,且(a+b) =1,∴a+b= , (2分) 又a+b≥2 ,当且仅当a=b= 时取等号, (4分) ∴ ≥2 ,∴ab≤ . (6分) (1)∵a>0,b>0,∴ + ≥2 = ≥4 ,当且仅当a=b= 时取等号. (8分) (2)不存在.理由如下:∵a>0,b>0,∴ + ≥2 = ,当且仅当2a=3b时,等号成立,又ab≤ ,当且 仅当a=b= 时,等号成立,∴ + > .(12分) ∵ < ,∴不存在a,b,使得 + 的值为 . (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃 圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70,最多为100. 日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y= x2+40x+3 200,且每 加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余 垃圾处于亏损还是盈利状态? (2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种: ①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元; ②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元. 如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案?为什么? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为 = + +40,x∈[70,100]. (2分) 又 + +40≥2 +40=2×40+40=120,当且仅当 = ,即x=80时,等号成立, (4分) 所以该企业日加工处理量为80时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低. (5分) 因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. (6分) (2)若该企业采用补贴方案①,设该企业每日获利y1元, 由题可得y1=100x- +2 300=- x2+60x-900=- (x-60)2+900. (8分) 因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(10分) 若该企业采用补贴方案②,设该企业每日获利y2元,由题可得y2=130x- =- x2+90x-3 200 =- ·(x-90)2+850. (12分) 第1讲　描述运动的基本概念 因为x∈[70,100],所以当x=90时,企业获利最大,最大利润为850元.(14分) 答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可. (17分) 答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案①只需要企业日加工处理量为70吨即可获得 最大利润,所以选择补贴方案①. (17分) 答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案②能够为社会做出更大的贡献,所以选择补贴 方案②. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1,x2,则称d=|x1-x2|为两根之间的距离,简 称“根距”.当d∈[n,n+1),n∈N时,称该一元二次方程有n级“根距”.例如d=2.68∈[2,3),则称该一元二 次方程有2级“根距”. (1)试用a,b,c表示“根距”d; (2)设关于x的方程(k-1)2x2+(2k2-3k+1)x+k2-2k+3=0有两个不等实根,求该方程的“根距”d的级数; (3)若a≠b,a,b∈{m|2m3-3m2+1=0},当x1<x2时,∀x∈(x1,x2),ax2+bx+c>0,求a,b的值,并确定当方程ax2+bx+c=0 的“根距”d的级数n的最小值为多少时,c至少可以取到两个整数值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的根为 , (2分) 不妨设x1= ,x2= , 则d=|x1-x2|= . (4分) (2)由题意得k-1≠0,Δ=(2k2-3k+1)2-4(k-1)2(k2-2k+3)=(k-1)2·(4k-11)>0,可得k> , (6分) 所以d=|x1-x2|= = , 设 =t,则k= ,t>0,所以d= = ≤ = ,当且仅当t= ,即k= 时等号成立, 因为k= > ,所以d∈ , (9分) 第1讲　描述运动的基本概念 因为 ∈[0,1),所以此方程的“根距”d是0级. (10分) (3)由2m3-3m2+1=0,得(m-1)2(2m+1)=0,所以m=1或m=- ,则a,b∈ , 因为当x1<x2时,∀x∈(x1,x2),ax2+bx+c>0,所以a<0, 因为a≠b,所以a=- ,b=1, (12分) 所以关于x的方程ax2+bx+c=0的“根距”d=|x1-x2|= =2 , 由2 ∈[n,n+1),得c∈ , (14分) 当 - ≤1,即n≤ ,n∈N时,c至多有1个整数值; 若n=4,则c∈ ,c仅有1个整数值2; 第1讲　描述运动的基本概念 若n=5,则c∈ ,c仅有1个整数值3; 若n=6,则c∈ ,c有2个整数值4和5. 综上,当关于x的方程ax2+bx+c=0的“根距”d的级数n的最小值为6时,c至少可以取到两个整数值. (17 分) 第1讲　描述运动的基本概念 $