10.2事件的相互独立性　说课课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2 事件的相互独立性 （2019人教A版《必修2》第十章） 一、内容和内容解析 （一）教材分析 本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 （二）内容解析 1.新旧教材内容对比 （1）. 与实验教材相比，人教A版《高中数学》中概率内容有强调，有淡化，有增有减，有教学顺序的前后调整，也有概念重构，改编力度是很大的. 我们可以关注到，顺序和内容都有较大的调整，尤其“事件的相互独立性”由实验教材的选修2-3课程调整到了新教材的必修课程，且强化升级为单独的一节（2021新高考数学Ⅰ卷的第8题凸显了这一深刻的变化）。 表1：两版教材“概率”内容比较 实验教材数学必修3第三章 新版教材必修第2册第十章 3.1 随机事件的概率 3.1.1随机事件的概率 3.1.2概率的意义 3.1.3概率的基本性质 10.1 随机事件与概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2事件的关系和运算 10.1.3古典概型 10.1.4 概率的基本性质 3.2古典概型 3.2.1古典概型 3.2.2随机数的产生 10.2事件的相互独立性 3.3 几何概型 3.3.1几何概型 3.3.2均匀随机数的产生 10.3 频率与概率 10.3.1频率的稳定性 10.3.2随机模拟 （2）. “事件的相互独立性”在实验教材选修2-3中，有承上启下的作用，既是条件概率的后续，又为介绍二项分布的产生背景做好了铺垫.实验教材继续以条件概率中“三名同学抽取奖券”为引例，从“有放回抽取”的角度，分析得出即P(B|A)=P(B)，从而得到P(AB)=P（A)P(B). 两个事件相互独立的概念就是以上结果的一般化，且实验教材只给出一个例题，以生活中常见的抽奖活动为背景，用事件的独立性计算随机事件的概率. 实验教材是利用条件概率的概念演绎推理得到事件相互独立的定义，而新教材对此进行了重构，没有从条件概率角度引入，而是结合有限样本空间，利用归纳推理形式得出概念，并且增加了例题，从反例角度对概念进行深化辨析理解，改写力度是非常大的. （3）.新教材对本内容的编写情况：结合具体的两个典型的抛硬币试验和有放回摸球随机试验(古典概型)，先根据实际问题背景做出直观判断，再利用古典概型进行计算验证，从两个试验的共性，即P(AB)=P(A)P(B)，归纳出“独立性”的概念. 新教材给出的例题增加到3个，例题1是一个反例，实际是对概念的辨析理解，例题2和例题3分别从不告知独立性和直接声明互不影响两个不同的视角，利用事件独立性计算随机事件的概率. 在新旧教材过渡的阶段，而我们更要关注每一部分内容在章节中的地位、安排和要求，要走出旧教材的思维定势，加强新教材的理解和使用是必经之路. 2.蕴含的数学思想和方法 通过探究事件的概率与交事件的概率的关系，得到事件的独立性的定义，体现了数学问题的研究遵循了由特殊到一般的思路。 在互斥事件与对立事件的研究中，往往通过计算事件A的对立事件，这体现了正难则反的转化思想 。 3.知识的上下位关系 事件的独立性问题是定义在概率基础上的，而概率又是定义在概率空间基础上的，这与第一单元中的有限样本空间与随机事件有着很大的不同，因此要注意事件的独立性与互斥事件等的区别与联系。 二、目标和目标解析 （一）知识目标 1.能结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义。 2.结合古典概型，会利用事件独立性计算事件的概率。 3.通过对实例的分析，会进行简单的应用。 （二）素养目标 1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.直观想象，数学运算：相互独立事件概率的计算4.数学抽象：相互独立事件的概念 三、教学问题诊断分析 1. 大多数学生一般倾向于认为连续发生的事件总是有联系的，不仅如此，他们在决策时通常会受到之前发生的事件的结果的影响，例如，对于问题“连续拉掷一枚均匀的硬币，如果前4次的结果都是‘反面朝上’，那么第5次最可能的结果是什么？”一些学生会回答“最有可能是正面”(或者回答“最有可能是反面”). 学生的决策可能受到“代表性启发式” 错误概念的影响，这种错误概念会导致忽视事件之间的独立性，教学中，在给出独立性的数学形式定义之前，教师应首先选择符合独立性直观意义的例子，促进学生直观地认识，并结合实例使学生进一步明晰随机试验的意义. 2. 学生的另一个错误的认知是，相互独立的事件不能同时发生，这导致他们经常把独立事件与互斥事件混淆. 事件的独立性与互斥性是两对不同属性的概念，事件A与B相互独立是从概率的角度来下的定义，其本质是P(AB)=P(A)P(B)，强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率大小没有影响，而事件A与B互斥是从事件运算的角度来下的定义，强调的是两个事件不能在任一随机试验中同时发生. 教学中应提供不同背景的随机试验，让学生经历用直观与定义两种方式判断给定的两个事件是否独立，促进学生对独立性的理解. 三、教学问题诊断分析 教学难点：在实际情境中判断事件的独立性，用适当的符号表示随机试验的结果。 教学重点：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关的概率计算问题。 四 教学过程设计 环节一：回顾旧知，引出新课（节引言） 问题1.积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关，那么，这种关系是怎样的呢？ 师：在上一节课，通过研究A∩B= Φ以及A∩B ≠ Φ ，分别得到P(A∪B)的计算公式，你能说出在随机事件下它们的具体含义吗？ 问题2. 当A∩B ≠Φ时，如何得到P(A∩B)即P(AB)的计算公式呢? 环节二：创设情境，生成概念 情境与活动一（探究） 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B 试验1：分别抛掷两枚匀质的硬币， A=“第一枚硬币正面朝上”， B=“第二枚硬币反面朝上”。 试验2：一个袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球。 A= “第一次摸到的球标号小于3”， B=“第二次摸到的球标号小于3” 师：你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ 生1：试验1是不会的，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响 试验2也是不会的，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响 。（直观判断的方式） 追问：分别计算P(A), P(B) ,P(AB),你有什么发现？ 生2：在试验2中，样本空间Ω={（m,n）|m, n ∈{1,2,3,4} } A= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3) ,(2,4)} B ={(1,1),(1,2),( 2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1) ,(4,2)} P(A)= P(B)P(AB) =, 因此P(A)•P(B) =P(AB) 。（概率计算的方式） 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 生3：可以画一个二维表格，辅助思考更有条理，很直观 师：我们从特殊情况出发，得到一般性的结论：对任意事件A,B，如果满足P(AB) =P(A)•P(B) 成立，则称事件A与事件B互相独立。 因为必然事件Ω总会发生，不可能事件总不会发生，都不受任何事件是否发生的影响，因此，它们与任何事件相互独立。 设计意图：选择两个符合独立性直观意义的试验，促进学生感悟事件的独立性.体现了由特殊到一般的原则。 环节三：辨析概念，提高认识 问题3：有学生认为相互独立的事件一定不能同时发生， 你认为呢？ 追问1：我们先来看一下，交事件之间的特殊情况，即互斥事件。互斥事件是否为独立事件呢？ 生4：既然互斥事件不能同时发生，说明它们之间是有影响的，事件A与B互斥，则事件A与B一定不相互独立。 追问2：能否用数学语言说得更明白些？ 生5：若事件A与B互斥，则AB= Φ，所以P(AB)=0,但P(A)>0, P(B)>0,P(A)•P(B) ≠P(AB),因此A与B一定不相互独立。 追问3：很好，但是为什么P(A)>0, P(B)>0，有无等于0的可能？ 生5：应该加上A与B为非不可能事件。 追问4：相互独立的两个事件能否是互斥事件？ 生6：若事件A与B相互独立，则A与B一定不互斥 。 设计意图：通过问题使学生明白互斥事件与独立事件之间的关系 情境与活动二（探究） 环节四：深化理解，触类旁通 问题4：互为对立的两个事件是非常待殊的一种事件关系，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以探究1中实验(2)的有放回摸球试验为例，分别验证事件A与 ，事件与B，事件与是否独立？你有什么发现？请给出你的推理过程. 师生活动：可以分组解决不同的问题，先独立思考，再合作交流，教师应关注学生如何解释他们的判断，如何推理. 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 可以画一个二维表格，辅助计算很明显（先特殊后一般） 环节四：深化理解，触类旁通 利用韦恩图，辅助证明很明显 A AB B 设计意图：通过探究具体的问题，体会相互独立的两个事件A与B 、A与 ，与B， 与 之间的概率关系，培养学生借助图形理解数学问题的能力，发展直观想象，数学抽象、数学建模的核心素养。 环节五：巩固新知，解决问题 例1 .一个袋子中有标号为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。采用不放回方式从中任意摸球两次。设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件A=“第二次摸出球的标号小于3”那么事件A与B是否相互独立？ 从概率角度分析，不同的抽样方式对总体均值的估计效果是不同的，我们要有意识地去比较，因此，这道题是探究1的变式，从而体会抽样方式不同，某个事件发生的概率也会存在差异 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 可以画一个二维表格，辅助计算很明显 例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶的概率为0.8，乙的中靶的概率为0.9，求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）恰有一人中靶； （3）两人都脱靶； （4）至少有一人中靶。 师生活动：先分析随机试验，用集合语言表示随机事件.由于涉及较多的符号推理与运算，应给予学生充分的时间独立研究，并鼓励学生表达交流运算与推理的过程. 设计意图：利用事件独立的性质，计算较复杂事件的概率。 例3.甲、乙两人组成的“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为0.75，乙甲每轮猜对的概率为0.6。在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响。求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率。 师生活动：教师指导学生分析问题.由于问题比较复杂，解题时可以借助于表格，使得表述的条理更加清晰. 设计意图：让学生综合利用事件的互斥关系的性质与事件的独立性计算两个事件积的概率，同时培养学生良好的思考习惯. 环节六：课堂小结 1.通过本节课的学习，你能说一说，事件A与事件B相互独立的含义是什么？如何判断事件A与B是相互独立的？如何判断事件A与B是互斥的？你能说一说二者的区别吗？ 2. 解决概率问题关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. 判断两个事件是否相互独立的方法： (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． 设计意图：一方面引导学生反思本节课的重点，另一方面为了促进学生对容易混淆的事件进行比较、澄清。 2.目标检测设计 1.分别抛掷两枚匀质的硬币，设事件 A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”，事件 C=“两枚硬币朝上的面相同”，A，B，C中哪两个互相独立？ 设计意图：考查在熟悉的情境下，学生能否正确判断事件的独立性。 1.作业 教科书第249页练习第1，2，3题. 环节七：布置作业 2.设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b}，B= {a,c} ，C ={a，d}，请验证A,B,C三个事件两两独立，但P(ABC)≠ P(A) P(B) P(C). 设计意图：通过具体实例，让学生验证教材247页旁注内P(ABC)= P(A) P(B) P(C)一般来说是不正确的. 菠萝梅奥环 三个环两两独立，但三个环无法分离 三个事件A,B,C相互独立应该同时满足： ① P(ABC)=P(A)P(B)P(C) ② P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) (事件A,B,C两两独立) 3.【2021年新高考数学|卷第8题】 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ). A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 设计意图： 体验高考题，侧重加强对“事件的相互独立性”定义的考查 $$