精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高26届 高二上期 10月月考 数学试题 一、单选题 1. 若事件A与B互为互斥事件，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件概率公式即得. 【详解】∵事件A与B互为互斥事件，， ∴. 故选：D. 2. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 3. 已知，，下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算，垂直的坐标表示及模的公式求解. 【详解】，故A错误； ，则不垂直，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 4. 已知点，且直线与直线垂直，则的值为（ ） A. 或0 B. 0或7 C. 0 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解． 【详解】当时，直线的斜率不存在，直线 的斜率为 此时直线的方程为，直线的方程为，故; 当时， 则 解得， 综上，或. 故选：B. 5. 如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可求解. 【详解】因为:， 所以：.又因为：， 所以：， 所以：. 故C项正确. 故选：C. 6. 若过点的直线与过点的直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. -2 C. -2或3 D. 2或-3 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行有，结合斜率的两点式列方程，即可求参数a的值. 【详解】由过点，可确定斜率存在， 故直线与平行，则，即， 解得：或. 当时，，此时方程为：，的方程为：重合，故舍去，； 当时，，此时方程为：，的方程为：符合， 故选：A. 7. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系后计算即可得. 【详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，， ∴， ，. 故选：B． 8. 如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 异面直线、所成的角为 C. 几何体的体积为 D. 平面与平面间的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线平行、异面直线所成角、几何体体积、面面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于四边形是矩形，所以， 由于，平面，所以平面， 由于平面平面，所以平面. 由于平面，所以， 由于，所以平面，由于平面， 所以，同理可证得， 所以, 所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确. 由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角）， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 即异面直线、所成的角为，B选项正确. 将几何体补形为正方体，如下图所示， 所以，C选项错误. 由上述分析可知，由于平面，平面， 所以平面.同理可证得平面， 由于，所以平面平面. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， ，平面与平面间的距离，即到平面的距离， 所以距离为，D选项正确. 故选：C 二、多选题 9. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可解答. 【详解】因为事件指两弹都没击中飞机，第一枚击中第二枚没中，第一枚没中第二枚击中，两弹都击中飞机； “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中； “至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中. 所以，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：ABC. 10. 已知点P是平行四边形所在平面外的一点，若，，，则以下结论正确的是（ ）． A. 是锐角 B. 是平面的一个法向量 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，，得，因此是锐角，A正确； 对于B，由，，得， ，则与不垂直，即不是平面的法向量B错误； 对于C，由，，得， 而，显然与不共线，C错误； 对于D，由，得，而，, 因此，即，D正确. 故选：AD 11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ） A. 四面体是鳖臑 B. 与所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式和距离公式，准确运算，逐项判定，即可求解. 【详解】以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 对于A中，， 因为， 所以， 即， 所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确； 对于B中，， 则与所成角的余弦值为， 所以B正确； 对于C中，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则点到平面的距离为，所以C错误； 对于D中，由，直线方 向上的单位向量是， 则到的距离为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间线面垂直结合空间向量运算求解. 【详解】∵l⊥α，则∥， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的几何意义，作图分析可知. 【详解】表示过点和点的直线斜率， 如图， 因为，结合图形可知或， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率的求法求解即可. 【详解】设事件分别表示甲两轮猜对1个，2个成语，事件分别表示乙两轮猜对1个，2个成语，则 ，， ，， 设事件为““星队”在两轮活动中猜对3个成语”， 则，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以 ， 故答案为： 四、解答题 15. 某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型去求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （2）利用古典概型去求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 【小问1详解】 甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务， 每个岗位至少有一名志愿者． 基本事件（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙）， （乙，甲丙），（甲，丙乙）共有6个， 其中甲乙两人同时参加A岗位服务的是（甲乙，丙）只有1个， 故甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为； 【小问2详解】 甲乙两人不在同一岗位有：（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个， 故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点． （1）求的长； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】（1）3；（2）． 【解析】 【分析】以，，的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， （1）求出，的坐标，利用空间向量的模长公式，即可求出的长； （2）在空间直角坐标系下，求出，的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】（1）以，，的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，可得， 所的长为3． （2）由（1）的坐标系，可得，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值． 17. 如图，已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点. （1）求点E到直线BF的距离 （2）求与平面所成角的正弦值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线的距离，从而得解； （2）利用（1）中结论，求得向量与平面的法向量，利用向量法求得线面角的正弦值，从而得解. 【小问1详解】 因为正方体的棱长为， 以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 则在的投影长度为，且， 所以点E到直线BF的距离为. 【小问2详解】 由（1）得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 设与平面所成角为，， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投． （1）求小明得3分的概率； （2）试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大． 【答案】（1） （2）选择都在乙处投篮通过率更大 【解析】 【分析】（1）由对立事件和相互独立事件性质求解即可； （2）分别求出：小明选择都在乙处投篮及小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率，比较即可. 【小问1详解】 设小明在甲处投进为事件A，在乙处投进为事件B， 于是，， 小明得3分的概率． 【小问2详解】 小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率 ， 小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率 ， ，所以选择都在乙处投篮通过率更大． 19. 棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，. （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置. 【答案】（1）由题意，连接交于，则，连接， 在中，，，， ∴，∴， ∴，由于平面平面，所以底面， 所以以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 由于，，， 则，∴. （2） （3）点在的延长线上且使. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合，即可证得； （2）分别求得平面和平面的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得的坐标和平面的法向量，结合，求得，即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量， 则，即，取，可得， 同理，可得平面的法向量， 所以， 又由图可知成钝角，所以二面角的平面角的余弦值是. 【小问3详解】 假设在直线上存在点，使平面， 设，，则， 得，， 设平面，则，设， 得到，不妨取， 又因为平面，则即得. 即点在的延长线上且使. 【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高26届 高二上期 10月月考 数学试题 一、单选题 1. 若事件A与B互为互斥事件，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知，，下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，且直线与直线垂直，则的值为（ ） A. 或0 B. 0或7 C. 0 D. 7 5. 如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若过点的直线与过点的直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. -2 C. -2或3 D. 2或-3 7. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 异面直线、所成的角为 C. 几何体的体积为 D. 平面与平面间的距离为 二、多选题 9. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（　） A. B. C. D. 10. 已知点P是平行四边形所在平面外的一点，若，，，则以下结论正确的是（ ）． A. 是锐角 B. 是平面的一个法向量 C. D. 11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ） A. 四面体是鳖臑 B. 与所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离为 D. 点到直线的距离为 三、填空题 12. 已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________. 13. 已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________. 14. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是________ 四、解答题 15. 某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点． （1）求的长； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 17. 如图，已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点. （1）求点E到直线BF的距离 （2）求与平面所成角的正弦值； 18. 某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投． （1）求小明得3分的概率； （2）试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大． 19. 棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，. （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $