精品解析：湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

邵阳二中2024—2025高一上学期第一次月考 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“积跬步”， “积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，所以． 故选：A 3. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合、元素之间的关系，结合集合与集合之间的有关系逐一判断即可. 【详解】①：根据子集的定义可知，显然本序号不正确； ②：根据子集的定义可知是正确的，显然本序号正确； ③：空集是任何集合的子集，所以本序号正确； ④：空集是任何集合的子集，所以本序号不正确； ⑤：集合是两个元素，是单元素集合，这两个集合不可能相等，所以本序号不正确； ⑥：显然是集合中的元素，所以，因此本序号不正确， 正确的个数是， 故选：B 4. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数. 【详解】因为，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 6. 已知x>1，则的最小值是（ ） A. 2＋2 B. 2－2 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】用换元法变形．然后由基本不等式得最小值． 【详解】因为，设， ，当且仅当，即，时，等号成立． 故选：A 7. 若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 分离参数使不等式化为，使乘以利用基本不等式求出的最小值即可求解. 【详解】将不等式化为，只需当时，即可， 由 ， 当且仅当时取等号，故,故m的最大值为9. 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于中档题. 8. 在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用新定义可得关于的不等式化为，化为，通过对分类讨论即可得出． 【详解】解：由运算， 关于的不等式化为， 即， ①当时，其解集是， 由于其解集是，的子集， ，解得，． ②当时，其解集是， 由于其解集是，的子集， ，解得，． ③当时，其解集是， 由于其解集是，的子集，，解得 综上可知：．实数的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题正确理解新定义和熟练掌握分类讨论的思想方法、一元二次不等式的解法、子集的含义是解题的关键，属于中档题． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若则. D. 若，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值可判断AB均为假命题，再由作差法以及不等式性质可得C为真命题，D为假命题. 【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：ABD 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不等式得到，代入即可判断D. 【详解】对于A，，即， 当且仅当，即，时等号成立，故A错误； 对于B，因为， 当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，则， 所以， 当时，取最小值，故C错误； 对于D，由得，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（ ） A. 如果，则两个项目组同时完工 B. 如果，则甲项目组先完工 C. 如果，则甲项目组先完工 D. 如果，则乙项目组先完工 【答案】AC 【解析】 【分析】设总工程量为，计算出甲、乙两个项目组做工程的时间，利用作差法可得出结论. 【详解】设总工程量为， 甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作， ，， 乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作， ， 当时，，，，即甲、乙项目组同时完工； 当时，，， ，，即甲项目组先完工， 故选：AC. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分；） 12. 命题，的否定是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式回答即可. 【详解】命题“，”的否定形式是“”. 故答案为：. 13. 已知集合，若，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，舍去； 当时，或（舍去），此时，满足题意； 综上，. 故答案为：. 14. 已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分；） 15. 已知全集，，，或. （1）求，； （2）求. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用集合的交集和并集运算求解即可； （2）直接利用集合的交集和补集运算求解即可. 【小问1详解】 因为全集，，， 所以，. 【小问2详解】 由题知，或， 所以或. 16. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案. （2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案. 【小问1详解】 ，因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 因为是成立的必要不充分条件，所以⫋， 当时，，得 当时，． 解得 ， 所以实数的取值范围是 17. 已知实数、满足：. （1）求和的最大值； （2）求的最小值和最大值. 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解； （2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； 【小问2详解】 ∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为. 18. 使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”，随着光伏发电成本持续降低，光伏产业已摆脱了对终端电站补贴政策的依赖，转向由市场旺盛需求推动的模式，中国光伏产业已进入平价时代后的持续健康发展的成熟阶段，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费万元.为了节能环保，决定修建一个可使用年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下，当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和为（单位：万元）. （1）用表示； （2）该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值. 【答案】（1），. （2），最小值为万元. 【解析】 【分析】（1）根据电费与的关系求，结合题意求； （2）利用基本不等式求的最小值. 【小问1详解】 由题意可得，当时，，则， 所以该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和，. 【小问2详解】 由（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 即该合作社应修建面积为的太阳能面板，可使最小，且最小值为万元. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳二中2024—2025高一上学期第一次月考 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知x>1，则的最小值是（ ） A. 2＋2 B. 2－2 C. 2 D. 2 7. 若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若则. D. 若，则. 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 11. 甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（ ） A. 如果，则两个项目组同时完工 B. 如果，则甲项目组先完工 C. 如果，则甲项目组先完工 D. 如果，则乙项目组先完工 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分；） 12. 命题，的否定是___________． 13. 已知集合，若，则实数______ 14. 已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分；） 15. 已知全集，，，或. （1）求，； （2）求. 16. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知实数、满足：. （1）求和的最大值； （2）求的最小值和最大值. 18. 使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”，随着光伏发电成本持续降低，光伏产业已摆脱了对终端电站补贴政策的依赖，转向由市场旺盛需求推动的模式，中国光伏产业已进入平价时代后的持续健康发展的成熟阶段，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费万元.为了节能环保，决定修建一个可使用年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下，当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和为（单位：万元）. （1）用表示； （2）该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $