第6章 幂函数、指数函数和对数函数 章末题型归纳总结-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

第6章 幂函数、指数函数和对数函数章末题型归纳总结 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：函数的图象 经典题型二：指对幂比较大小 经典题型三：指数型函数性质的综合问题 经典题型四：对数型函数性质的综合问题 经典题型五：幂函数型性质的综合问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：函数的图象 【典例1-1】下列各图中，存在反函数的函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）在同一坐标系下，函数与在其定义域内的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-4】（2024·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 经典题型二：指对幂比较大小 【典例2-1】（2024·高一·江苏南通·期中）已知，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高三·安徽亳州·阶段练习）三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·四川德阳·一模）已知，则，，的大小排序为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·安徽淮北·期中）令，，，则三个数、、的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知，，，那么a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·高一·河北唐山·阶段练习）设，，，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）三个数，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式2-6】（2024·高一·江苏南京·期中），，，则、、的大小顺序是 （用大于号连接）． 经典题型三：指数型函数性质的综合问题 【典例3-1】（2024·高一·北京通州·期中）已知指数函数的图象过点. (1)求函数的解析式 (2)试比较这三个数的大小，并说明理由; (3)若，求实数的取值范围. 【典例3-2】（2024·高一·北京密云·期末）已知函数. (1)若为奇函数， （ⅰ）求的值，并说明理由； （ⅱ）比较与的大小；（结论不要求证明） (2)若，使得，求的取值范围. 【变式3-1】（2024·高一·河南南阳·期中）已知函数且的图象经过点． (1)求的值； (2)比较与的大小； (3)求函数的值域． 【变式3-2】（2024·高一·浙江宁波·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求的取值范围. 【变式3-3】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设. (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最小值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围. 【变式3-4】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式3-5】（2024·高一·浙江·期末）已知函数（，且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值； (2)若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围． 经典题型四：对数型函数性质的综合问题 【典例4-1】（2024·高一·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【典例4-2】（2024·高一·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【变式4-1】（2024·高一·浙江衢州·期末）已知幂函数，对于任意给定的正实数，不等式恒成立， (1)求的值； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【变式4-2】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数为偶函数，且不为常值函数． （ⅰ）求实数，的值； （ⅱ）判断并利用单调性的定义证明的单调性． 【变式4-3】（2024·高一·四川成都·期中）已知函数，且． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【变式4-4】（2024·高一·上海·阶段练习）已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”． (1)①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式 ②求函数图象对称中心的坐标; (2)求函数图象对称中心的坐标; (3)已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由 (4)仿照题设中的真命题，将（3）中的命题改为一个真命题：___________ (5)已知函数图象对称中心坐标为，函数，若存在，，使得函数在区间上的值域为则实数m的取值范围为_______________ 经典题型五：幂函数型性质的综合问题 【典例5-1】（2024·高一·全国·课后作业）若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 【典例5-2】（2024·高一·河南商丘·期中）已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 【变式5-1】（2024·高三·安徽滁州·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围. 【变式5-2】（2024·高一·云南·阶段练习）已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 【变式5-3】（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知幂函数的定义域为R． (1)求实数的值； (2)若定义在上的函数，求的最值． 【变式5-4】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求出函数的解析式， (2)判断并证明在的单调性； (3)函数是R上的偶函数，当时，，求满足的实数的取值范围． 【变式5-5】（2024·高一·广东江门·期中）已知幂函数在是增函数． (1)求k的值，并写出函数的解析式； (2)对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使函数在区间上的最大值为5，若存在，求出m的值，请说明理由． 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例6-1】（2024·广西壮族自治区·其他类型）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·江苏省苏州市·单元测试）设函数的最小值为，则实数a的取值范围是  （    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·山西省·单元测试）已知且，且在区间上有恒成立，则实数a的取值范围是    A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·全国·其他类型）已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·辽宁省抚顺市·单元测试）若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2024·河南省·其他类型）已知幂函数满足，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． ②转化与化归思想 【典例7-1】（2024·全国·其他类型）若函数的值域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·全国·其他类型）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·浙江省·期末考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·江苏省南京市·期末考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·四川省·其他类型）已知且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ③数形结合思想 【典例8-1】（2024·天津市市辖区·期末考试）已知函数，，的零点分别为，，，则．（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·福建省·水平会考）下列图象中，最有可能是的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·河南省·其他类型）设函数则满足的x的取值范围是  （    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·安徽省·其他类型）若函数在R上为增函数，则函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如果，，那么函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【变式8-4】（2024·陕西省西安市·期末考试）已知，函数与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-5】（2024·全国·期末考试）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数章末题型归纳总结 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：函数的图象 经典题型二：指对幂比较大小 经典题型三：指数型函数性质的综合问题 经典题型四：对数型函数性质的综合问题 经典题型五：幂函数型性质的综合问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：函数的图象 【典例1-1】下列各图中，存在反函数的函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域， 所以要有反函数，则的定义域与值域建立一一对应关系，结合各个选项的图形，选项C满足题意， 故选：C. 【典例1-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）在同一坐标系下，函数与在其定义域内的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】若，则直线和函数均为上的单调递减函数，故可排除CD； 当，此时，满足图象B, 若，则直线和函数均为上的单调递增函数，比如时，此时A选项中的图象满足， 故选：AB 【变式1-1】（2024·高一·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 【变式1-2】（2024·高一·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 【变式1-3】若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C． 又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． 【变式1-4】（2024·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，为增函数， 且，与图象不符， 若，为减函数， 且，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以， 故选:C. 【变式1-5】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图示可知，的符号不确定，，故A、B错； ， 如上图，满足，故C不一定成立， 当时，由得，则，所以，故D正确． 故选：D 经典题型二：指对幂比较大小 【典例2-1】（2024·高一·江苏南通·期中）已知，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 所以. 故选: B. 【典例2-2】（2024·高三·安徽亳州·阶段练习）三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，由于，所以， 所以，即， 而，， 所以，所以，即，所以. 故选：D． 【变式2-1】（2024·四川德阳·一模）已知，则，，的大小排序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：设. 则，，， 又，所以，可得. 方法二：由. 得，即 ， 可得. 故选：D 【变式2-2】（2024·高一·安徽淮北·期中）令，，，则三个数、、的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，，，判断可得选项.由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以， 故选：D． 【变式2-3】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知，，，那么a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由指数函数的性质，可得，， 又由对数函数的性质，可得， 所以. 故选：C. 【变式2-4】（2024·高一·河北唐山·阶段练习）设，，，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 又因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 综上：. 故选：D. 【变式2-5】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）三个数，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以. 故选：D 【变式2-6】（2024·高一·江苏南京·期中），，，则、、的大小顺序是 （用大于号连接）． 【答案】 【解析】因为， ， ， 所以. 故答案为：. 经典题型三：指数型函数性质的综合问题 【典例3-1】（2024·高一·北京通州·期中）已知指数函数的图象过点. (1)求函数的解析式 (2)试比较这三个数的大小，并说明理由; (3)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）设函数为，则，解得，即； （2）函数在上单调递减，且， 故，即； （3）函数在上单调递减，，即， 故，解得，即. 【典例3-2】（2024·高一·北京密云·期末）已知函数. (1)若为奇函数， （ⅰ）求的值，并说明理由； （ⅱ）比较与的大小；（结论不要求证明） (2)若，使得，求的取值范围. 【解析】（1）（ⅰ），理由如下： 因为为奇函数，所以，即，化简得，所以. （ⅱ）,故. （2），，使得 令，所以，可转化为 只需即可， 令，图象开口向下，对称轴 当时，，所以. 【变式3-1】（2024·高一·河南南阳·期中）已知函数且的图象经过点． (1)求的值； (2)比较与的大小； (3)求函数的值域． 【解析】（1）因为的图象经过点， 所以，又且，所以． （2）因为，所以在上单调递增． 又因为，所以， 所以． （3）当时，，则， 所以，即， 所以的值域为． 【变式3-2】（2024·高一·浙江宁波·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求的取值范围. 【解析】（1）若， ， 因为，令，则， 又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值2； （2）设在上的值域为，在上的值域为， 由题意可知，，由（1）知， 因为，解得：或， 当时，且，则， 可得， 可得的最大值为，最小值为， 即，可得，解得：， 当时，且，， 可得， 可知，的最大值为，最小值为， 即，可得，解得：， 综上可知，的取值范围是. 【变式3-3】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设. (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最小值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围. 【解析】（1）因为，则的图象关于直线对称且在x轴上截得的线段长为4，的图象与x轴的交点分别为，，所以设. 该函数的图象经过点，解得，所以. （2）因为，其对称轴方程为， 当，即时，. 当，即时， 当，即时， 综上所述，当时，， 当时，， 当时，. （3）若对于任意，总存在，使得成立， 等价于 函数， 因为，所以，所以当时，取得最小值 当时，，所以，不成立 当时，，所以， 解得或，所以 当时，，所以，解得，所以 综上所述，a的取值范围是. 【变式3-4】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，， 由①，可得 ，②， 联立①和②，解得，，； （2）由，将（1）结论代入可得，（*）， 设，则，因时，是增函数，故得， 此时（*）为，即， 依题意，不等式在上恒成立. 而函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即时，取得最小值为4， 故，即. 【变式3-5】（2024·高一·浙江·期末）已知函数（，且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值； (2)若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围． 【解析】（1）因为函数是上的奇函数，所以恒成立. 所以恒成立恒成立恒成立， 即恒成立，所以. （2）， 设，则 因为在上单调递增，所以， 又，所以即， 所以是上的增函数. 在上只有一解. 问题转化为：关于的一元二次方程在只有一解. 设. ①若或. 当时，，故符合题意； 当时，，故不符合题意； ②若，或，在只有一解，故符合题意； 若，方程或，在上有两解，故不符合题意； ③若，此时方程在上只有一解. 综上可知：. 经典题型四：对数型函数性质的综合问题 【典例4-1】（2024·高一·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 【典例4-2】（2024·高一·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【解析】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【变式4-1】（2024·高一·浙江衢州·期末）已知幂函数，对于任意给定的正实数，不等式恒成立， (1)求的值； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为对于任意给定的正实数，不等式恒成立， 不妨设， 则， 所以在上为增函数， 所以，即， 所以或， （2）由已知， 要使函数不单调，则，则， （3）若函数的值域为， 则恒成立， 即恒成立， 所以， 【变式4-2】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数为偶函数，且不为常值函数． （ⅰ）求实数，的值； （ⅱ）判断并利用单调性的定义证明的单调性． 【解析】（1）①当时，令，则. 所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性； ②当时，，为奇函数；     ③当时，，所以不是奇函数， 又，所以不是偶函数. 综上，当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. （2）由（1） 知，若为偶函数，则， 所以的定义域为. （ⅰ）因为为偶函数，所以. 即， 所以，所以， 化简得・所以或. 当时，，不合题意； 当时，， 所以，为偶函数， 综上. （ⅱ）由（ⅰ）得， 在为减函数，在为增函数， 下面证明在为增函数， 设是的任意两个数，且， ， 因为， 因为，所以，. 所以， 所以，. 所以在为增函数， 因为为偶函数，所以在为减函数. 【变式4-3】（2024·高一·四川成都·期中）已知函数，且． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）由， 可得，解得：， 所以的定义域为，的定义域关于原点对称， 又， 所以是奇函数， （2），即， 当时，，解得：， 当时，，解得：. 综上，当时，得取值范围为， 当时，得取值范围为 【变式4-4】（2024·高一·上海·阶段练习）已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”． (1)①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式 ②求函数图象对称中心的坐标; (2)求函数图象对称中心的坐标; (3)已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由 (4)仿照题设中的真命题，将（3）中的命题改为一个真命题：___________ (5)已知函数图象对称中心坐标为，函数，若存在，，使得函数在区间上的值域为则实数m的取值范围为_______________ 【解析】（1）①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 所得图象对应解析式为， ②因为的定义域为，且， 所以为奇函数，即为奇函数， 所以的图象关于点对称. （2）， 由得的定义域为， 又，即， 所以为奇函数，所以的图象关于点对称. （3）假命题，理由如下： 不妨设，易知的图象关于直线成轴对称图形， 显然不存在如何实数和，使得函数是偶函数，故该命题为假命题. （4）若函数关于直线成轴对称，则， 即函数是偶函数，反之亦然. 故答案为：函数关于直线成轴对称的充要条件是函数是偶函数 （5）， 由解得的定义域为， 且，所以为奇函数， 所以的对称中心为，即， 所以 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 又函数在区间上的值域为， 所以， 即， 整理得， 则在上有两个不相等的实数解， 易知，所以， 由解得或， 令，则， 当且仅当，即时等号成立， 综上，实数m的取值范围为. 经典题型五：幂函数型性质的综合问题 【典例5-1】（2024·高一·全国·课后作业）若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 【解析】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1. （2）①，在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. ②由①知，在区间单调递增， 又由可得：，解得解得，所以实数t的取值范围是. 【典例5-2】（2024·高一·河南商丘·期中）已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得或（舍去） 所以. （2）假设存在实数使得的最小值为，即， 由（1）得， 令，则因为，所以，则，即，此时， 所以可化为，此时，即， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故， 所以由得，即，不满足题意，舍去； 当，即时，易知， 由得或（舍去），故； 当，即时，在上单调递减，故， 由得，不满足题意，舍去； 综上：存在使得的最小值为，故. 【变式5-1】（2024·高三·安徽滁州·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由为幂函数知，得或 为偶函数 ∴当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去 所以 （2），令在上的最小值为 ①当，即时，，所以 又，所以a不存在； ②当，即时， 所以.又，所以 ③当，即时， 所以.又 所以. 综上可知，a的取值范围为 【变式5-2】（2024·高一·云南·阶段练习）已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 【解析】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 所以实数的值为； （2）因为函数， 则函数， 函数在上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，又，所以， 从而，即， 所以函数在上单调递增. 【变式5-3】（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知幂函数的定义域为R． (1)求实数的值； (2)若定义在上的函数，求的最值． 【解析】（1）幂函数需要满足，解得或 当时，，其定义域为，不符合题意 当时，，符合题意，则 （2）由（1）得， 且易知在上单调递减，上单调递增 又因为，， 则时，的最小值为，最大值为 【变式5-4】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求出函数的解析式， (2)判断并证明在的单调性； (3)函数是R上的偶函数，当时，，求满足的实数的取值范围． 【解析】（1）根据题意，设幂函数的解析式为， 将点代入解析式中得，解得， 所以所求幂函数的解析式为 （2）幂函数在上是增函数． 证明：任取，，且， 则 ， 因为，， 所以， 即幂函数在上是增函数． （3）当时，， 而幂函数在上是增函数， 所以当时，在上是增函数． 又因为函数是上的偶函数， 所以在上是减函数． ，由，可得． 即， 所以满足的实数的取值范围为． 【变式5-5】（2024·高一·广东江门·期中）已知幂函数在是增函数． (1)求k的值，并写出函数的解析式； (2)对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使函数在区间上的最大值为5，若存在，求出m的值，请说明理由． 【解析】（1）由题意可得，解得或， 所以. （2）由（1）可得：， 且，即，可知开口向下，对称轴， 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 可知在区间上的最大值为， 解得或（舍去）； 当，即时，则在区间上单调递减， 可知在区间上的最大值为，不合题意； 综上所述：. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例6-1】（2024·广西壮族自治区·其他类型）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 由，，， ①当时，函数单调递减，此时， 函数单调递增，此时 由题意必有，解得， ②当时，函数单调递增，此时， 函数单调递减，此时 由题意必有，无解． 故实数 m的取值范围为 故答案选： 【典例6-2】（2024·江苏省苏州市·单元测试）设函数的最小值为，则实数a的取值范围是  （    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 当时，， 当时，取得最小值； 当时，， 由二次函数的性质可知在递减， 则， 由题意可得， 解得 故选 【变式6-1】（2024·山西省·单元测试）已知且，且在区间上有恒成立，则实数a的取值范围是    A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 “在区间上，恒成立”等价于“在区间上，”． ①当时，，即，解得，故； ②当时，，即，解得，故 综上，实数a的取值范围是 故选 【变式6-2】（2024·全国·其他类型）已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 函数对于一切实数均有成立， 令得，，又， ， 令得，，即， 当时，不等式恒成立， 当时，恒成立， 令，，则在上单调递增， ， 要使当时，恒成立， 则，且有，即， 所以 故选： 【变式6-3】（2024·辽宁省抚顺市·单元测试）若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 ①若且时，不等式成立，此时 ②若，此时不等式组的解为； ③若，不等式组无解， 综上实数a的取值范围是， 故选 【变式6-4】（2024·河南省·其他类型）已知幂函数满足，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 由幂函数的概念可知，，所以，解得或， 当时，，则，不满足题意， 当时，，则，满足题意， 则，其定义域为 令，则， 所以，， 所以当时，取得最小值， 故函数的值域为 故选 ②转化与化归思想 【典例7-1】（2024·全国·其他类型）若函数的值域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 设，则，且， 由题意，得的值域为， 且在上单调递减，在上单调递增， 对于A：当时，， 显然， 即选项A错误； 对于B：当时，， 显然， 即选项B错误； 对于C：当时，， 显然， 即选项C错误； 对于D：当时， 则由二次函数的性质，得： 当或，， 当时，， 即选项D正确． 故选： 【典例7-2】（2024·全国·其他类型）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 因为，且， 所以，即， 因为函数 在R上是单调递增函数， 所以函数在R上是单调递增函数， 所以当时，有， 因为， 所以有， 由， 因为函数在R上是单调递减函数， 所以函数在R上是单调递减函数， 因为，所以， 因此， 故选：A 【变式7-1】（2024·浙江省·期末考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 分别对，，两边取对数，得，，，， 由基本不等式得， 所以， 即，所以， 又，所以 故选： 【变式7-2】（2024·江苏省南京市·期末考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 ，， 故选： 【变式7-3】（2024·四川省·其他类型）已知且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 由且， 则，，， 由， 得， 即 得， 由， 则解得， 故 故选 ③数形结合思想 【典例8-1】（2024·天津市市辖区·期末考试）已知函数，，的零点分别为，，，则．（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 函数  ，  ，  的零点，即为  与  ，  ，  的交点， 作出  与  ，  ，  的图象， 如图所示，可知  故选：C 【典例8-2】（2024·福建省·水平会考）下列图象中，最有可能是的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 函数  的定义域为  ，因此函数  的图象总在y轴右侧，选项ABD不满足，C满足． 故选： 【变式8-1】（2024·河南省·其他类型）设函数则满足的x的取值范围是  （    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 作出函数的图像如图所示， 要使， 则或 即或 因此 故选： 【变式8-2】（2024·安徽省·其他类型）若函数在R上为增函数，则函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 函数且在R上为增函数， 所以， 又函数的定义域为，可排除A，B， 所以当时，单调递增， 又因为函数是偶函数，图象关于y轴对称， 所以函数在上单调递减，可排除D， 故选 【变式8-3】如果，，那么函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B  【解析】 当时，为增函数， 时，向下平移大于1个单位，得到， 如图所示： 故选 【变式8-4】（2024·陕西省西安市·期末考试）已知，函数与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 ， 则， 从而， ，函数与函数在定义域内都是单调递增； ，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同． 结合选项可知选 故选： 【变式8-5】（2024·全国·期末考试）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 因为函数为偶函数，所以D错误． 函数定义域满足，所以，所以定义域为，故C错误． 当时，，所以函数在递减，所以A正确，B错误． 故选 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$