精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2025届高三上学期10月期中考试数学试题

大庆中学2024--2025学年度上学期期中考试 高三年级数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可. 【详解】由， 得， 所以. 故选：B. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于命题，分别取、即可判断. 【详解】对于命题，当时，，故为假命题，为真命题； 对于命题，当时，，故为真命题，为假命题. 所以和q都是真命题. 故选：B. 3. 已知. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律得，结合向量数量积的定义求夹角余弦值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 4. 心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，也叫安静心率，一般为 60～100 次/分.某生统计了自己的八组心率，如下为：80，76，，80，83，81，85，平均数为80分且，是两个相邻的自然数，则这组数据的第75分位数是多少（ ） A. 79 B. 80 C. 81 D. 82 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，的值，然后将数据按从小到大的顺序排序，再求第75分位即可. 【详解】由题知，则， 因为，是两个相邻的自然数，所以，， 将这八个数据按从小到大的顺序排列为：76，77，78，80，80，81，83，85， 又， 所以这组数据的第75分位数是. 故选：D. 5. 已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系可知，结合椭圆的定义可得轨迹方程. 【详解】由已知圆和， 可知，，，，且， 又动圆与圆内切，同时与圆外切， 则，， 所以， 所以动点到两个定点，的距离之和为定值， 即满足椭圆的定义， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且长轴长度，焦距，即，， 所以， 椭圆方程为， 故选：C 6. 已知函数，若函数图象上关于原点对称的点恰有3对，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由时，函数的图象与函数的图象关于原点对称，转化为与的图象至少有3个交点，作出函数的图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，函数， 则时，函数的图象与函数的图象关于原点对称， 又因为时，， 画出与的图象，如图所示， 要使得与的图象至少有3个交点， 则满足且， 即，可得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：C. 7. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意转化为圆锥的体积公式，以及高的关系，即可求解. 【详解】设沙漏下半部分的圆锥的容积为，沙子堆成的圆台体积为， 该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为．由题意可知，即， 则，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为． 故选：B 8. 设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ） A. 0 B. e C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设零点为，则在直线上，根据的几何意义将问题转化为点到直线的距离问题，利用导数求解可得. 【详解】设零点为，则，在直线上， 的几何意义为点到原点距离的平方， 其最小值为原点到直线的距离的平方，， 设且，， 所以在单调递减，所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：关键在于利用几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后利用导数求解即可. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（ ） A. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 B. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用诱导公式将函数变为正弦型三角函数；再利用三角函数图象间的变换规律即可得出答案. 【详解】 由三角函数图象间的变换规律知： 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象； 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 故选：BC． 10. 已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（ ） A. 若为直角三角形，则圆的面积为 B. C. 直线PM与抛物线C相切 D. 直线PN与抛物线C有两个交点 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：分析可知直线MN过焦点F且与x轴垂直，可得，进而可得结果；对于B：分析可知，即可得结果；对于CD：，求直线AM的方程，与抛物线联立，结合以及对称性分析判断. 【详解】记抛物线C的焦点为，坐标原点为O， 则圆的圆心为F，半径． 对于选项A：由抛物线与圆的对称性可知，点M，N关于x轴对称， 若为直角三角形，则， 则直线MN过焦点F且与x轴垂直，则，圆的面积为，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C，D：设，由抛物线定义可知，， 又因为，则，所以直线PM的方程为， 与抛物线C：联立可得，，则， 故，所以直线PM与抛物线C相切， 由抛物线与圆的对称性可知直线PN也与抛物线C相切，故C正确，D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则（ ） A. 在单调递减，则 B. 若，则函数存在2个极值点 C. 若，则有三个零点 D. 若在恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导函数判断函数单调区间，从而得到极值点，然后就可以得到函数大致图像就可以判断函数零点问题。函数在某个区间内恒成立问题可以通过分离参数的方法得到对应函数，利用导函数求函数最值，从而判断参数的取值范围. 【详解】由题可知， 对于选项A：由题意可知：是解集的子集，当时，显然恒成立，当时，， ∵，∴，即，∴，故选项A错误； 对于选项B：若，，则有两个解， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以函数存在2个极值点，故选项B正确； 对于选项C：若，则时，，，单调递增， ，单调递减，，单调递增， 所以有极大值，有极小值，∴三次函数有三个零点，故选项C正确； 对于选项D：当时，恒成立， 当，令，则，令，， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减； ∴，则； 当，令，则，令， ∴当时，，单调递增； ∴，则； 综上所述：若在恒成立，则，故选项D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 13. 已知角，为锐角，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由同角三角函数的基本关系求得，再由两角和的正切公式结合即可得解. 【详解】因为角、为锐角，所以， 又，所以， 所以，又， 所以. 故答案为：. 14. 已知为中不同数字的种类，如与视为不同的排列，则的不同排列有______个（用数字作答）；所有的排列所得的平均值为______. 【答案】 ①. 256 ②. 【解析】 【分析】利用分步计数原理求解第一空即可，求解出每一个排列的均值再求平均值即可. 【详解】由题意可知，的不同排列有个； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，所有的256个的排列所得的的平均值为：. 故答案为：256，. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知为锐角三角形，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理化简原式得到，结合即可得到答案； （2）根据正弦定理和辅助角公式化简，结合与三角函数值域相关知识求解答案即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得，， 所以， 所以， 又因为为锐角三角形，所以，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以的取值范围为. 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据导数与函数单调性、极值的关系即可求解； （2）结合函数单调性对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 ， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 17. 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：∵在梯形中，， ，，为的中点， ∴，，， ∴是正三角形，四边形为菱形， ∴，， ∵， 又∵平面ABC， ∴平面ABC， ∵平面， ∴平面⊥平面ABC. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是菱形，从而证明平面ABC，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 存在，，理由如下： ∵平面，OP⊥AC， ∴，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， 设， ∵，， ∴， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， ∴线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 18. 甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响. （1）假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性； （2）假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是，设为甲未获得连续3次胜利的概率. ①求，； ②证明：. 【答案】（1）甲猜测错误. （2）①，； ②证明：考察， 分为情形一：第局甲输； 情形二：第局甲赢，局甲输 情形三：第局甲赢，局甲赢，局甲输 由题意分为三种情形，如下： 情形一 第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为. 情形二 第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为. 情形三 第场赢了，第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为. 由全概率公式得.① 因此.② ①②得，又因为， 所以当，时，. 【解析】 【分析】（1）设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，由独立事件的乘法公式分别求出若甲与丙比赛，则甲获胜的概率和甲先与乙比赛，则甲获胜的概率再比较大小即可； （2）①为1减去甲获得连续3次胜利的概率，为1减去甲获得连续3次和4次胜利的概率；②考察，分为情形一、二、三，结合独立事件的乘法公式和全概率公式计算即可； 【小问1详解】 设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙的技术比丙高， 若甲与丙比赛，则甲获胜的概率为： 若甲先与乙比赛，则甲获胜的概率为： 显然，故甲应先与乙比赛有优势，故甲猜测错误. 【小问2详解】 ①， ②略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是考察时能够把情况分为三种，再结合全概率计算比较大小. 19. 已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线性质计算即可； （2）设直线l方程及坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii）联立直线方程求出坐标，并求出，利用三角形面积公式及范围计算即可. 【小问1详解】 由题意知：，解得，双曲线方程为. 【小问2详解】 因为直线斜率不为0，设直线方程为，易知， 设，联立，得， 则，且， （i） ； （ii）由题可得：. 联立可得：，即，同理. ， 故， 且， . 【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2024--2025学年度上学期期中考试 高三年级数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ） A. B. 1 C. D. 5 2. 已知命题，命题，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，也叫安静心率，一般为 60～100 次/分.某生统计了自己的八组心率，如下为：80，76，，80，83，81，85，平均数为80分且，是两个相邻的自然数，则这组数据的第75分位数是多少（ ） A. 79 B. 80 C. 81 D. 82 5. 已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若函数图象上关于原点对称的点恰有3对，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（ ） A. 1 B. C. D. 8. 设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ） A. 0 B. e C. D. 1 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（ ） A. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 B. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 10. 已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（ ） A. 若为直角三角形，则圆的面积为 B. C. 直线PM与抛物线C相切 D. 直线PN与抛物线C有两个交点 11. 已知函数，则（ ） A. 在单调递减，则 B. 若，则函数存在2个极值点 C. 若，则有三个零点 D. 若在恒成立，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则______． 13. 已知角，为锐角，，，则的值为______． 14. 已知为中不同数字的种类，如与视为不同的排列，则的不同排列有______个（用数字作答）；所有的排列所得的平均值为______. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知为锐角三角形，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响. （1）假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性； （2）假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是，设为甲未获得连续3次胜利的概率. ①求，； ②证明：. 19. 已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $