四川省遂宁中学2024-2025学年高三上期10月月考（一诊模拟）数学试卷

遂宁中学介福校区高2025届第五期一诊模拟 数学试题 参考答案 1．【答案】C【详解】由，则，所以，又，所以.故选：C 2．【答案】C【详解】由题意知：，而. 3．【答案】B【详解】由题意可得①，所以时，②，①-②得，所以，所以. 4．【答案】C【详解】对于A，该校高一年级女生人数是，A正确；对于B，由，得第75百分位数为，B正确；对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误；对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确. 5．【答案】C【详解】由，结合，可得，所以， 6．【答案】C【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数，依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得，且，解得. 7．【答案】D【解析】因为，所以，又函数在区间恰有3条对称轴，所以，解得，故选：D. 8．【答案】B【详解】令，则是上的单调增函数，原方程整理得，即，若，则，若，则都不成立，所以，所以在上有解，整理得，设，则，时，，递增，时，，递减，所以，即的最大值是. 9．【答案】BC【详解】对A，当时，，故A错误；对B，当，则，则，故B正确；对C，根据指数函数在上单调递增，且，则，故C正确；对D，当时，，故D错误.故选：BC. 10．【答案】ABD【解析】对于AB，根据函数的部分图象知，，，，故AB正确，对于C，由五点法画图知，，解得，由于，所以，.令，则，时，，时，，当时，，当时，，当时，，故在内有2个极值点，分别为，，故C错误，对于D，，可得：，故当此时取最大值，故D正确.故选：ABD. 11．【答案】BCD【解析】记的各项之和为，，，，是首项为公差为的等差数列，可得，所以，当时，取到最大值，且最大值为626，故选项C正确；当时，，故选项B正确； ，方程无正整数解，所以所有项的和不可能为，故选项D正确；若，则，故选项A错误.故选：BCD 12．【答案】3【详解】，故，又，故. 13．5，【详解】由题意得∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝[f (x)]2＋f (x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5．] 14．【答案】21【详解】由题意可知，，.所以，同理可得，，，因此由数学归纳的思想可知，.设数列，则该数列以6为首项，为公比的等比数列，所以，因此，又因为当时，,所以若与正整数恒满足不等式，则的最小值是21.故答案为：21. 15．【答案】(1)(2).【详解】（1），的最小正周期； （2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根，即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令，作出的图象与直线，如图.由图知，当时，的图象与直线有两个交点，实数的取值范围为. 平均车速超过人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 20 10 30 女性驾驶员人数 5 15 20 合计 25 25 50 16．【答案】【详解】（1）∵， ∴所以有的把握认为平均车速超过与性别有关. （2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为.所以的可能取值为0,1,2,3，且，数学期望为. 17．（1）证明：∵，∴，∴，∴，当时，上式成立，∴又因为，，所以，所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列，所以，所以． （2）由（1），，所以，①，②所以①②得， 所以． 18． 解:（1）由题意知:,解得:, （2）因为,所以,所以为等边三角形 , ,, 当且仅当即时取最大值,的最大值为 . 19．【答案】(1)(2)①证明见解析；②1【详解】（1）由已知可得，其中，设，其中，则，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以，；令，其中，则，当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以，，综上所述，实数的取值范围是. （2）①因为，，则，，所以，直线可表示为，即，直线的方程也可表示为，即，故有，所以，，所以，，即，设，其中，则，令，其中，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，又因为，，所以，存在，使得，当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，因为，则，，所以，函数在上无零点，因为，所以，存在，使得，所以，，则；②由①可知，，当时，，由可得，设，其中，则对任意的恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以，，解得，故实数的最大值为1. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 遂宁中学介福校区高2025届第五期一诊模拟 数学试题 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1． 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2．以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（    ） A． B． C． D．3 3．已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 4．下列说法错误的是（    ） A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 5．已知角满足，则（   ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于x的方程在区间上有解，则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．函数的最小值为 10．已知（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为 11．如果项数有限的数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，则（    ） A．若，则 B．若，则所有项的和为 C．当时，所有项的和最大 D．所有项的和不可能为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12．已知函数，则 ． 13．已知f (x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f (x)]2＋f (x2)，则g(x)max－g(x)min＝________． 14．如下图，正方形 的边长为 14 cm， 依次将   分为3:4的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形 . 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为， 为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是 . 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．(本题13分）已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 16．(本题15分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人． (1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关； 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 (2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．(本题15分）已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． (1)求，的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求． 18．(本题17分）已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减;如图,四边形中,,,为的内角的对边， 且满足. （1）证明：； （2）若，设，, ，求四边形面积的最大值. 19．(本题17分）设函数． (1)已知对任意恒成立，求实数k的取值范围； (2)已知直线l与曲线分别切于点，其中． ①求证：； ②已知对任意恒成立，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$