精品解析：浙江省宁波市慈溪市慈吉实验学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

慈溪市慈吉实验学校2024学年第一学期教学调研测试 八年级数学试卷 考生须知： 1．全卷共4页，有三大题24小题，满分120分，测试时间110分钟． 2．请将学校、班级、姓名、学号、座位号、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷上各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列图形为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A 1，2，1 B. 2，3，6 C. 6，8，11 D. ， ，4 3. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 4 若a＞b，则（　　） A. a﹣1≥b B. b+1≥a C. 2a+1＞2b+1 D. a﹣1＞b+1 5. 等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1、O、P2三点所构成的三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 8. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（　　　） ①；②；③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 勾股定理是人类最伟大科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（　　） A. 正方形的面积 B. 正方形的面积 C. 正方形的面积 D. 的面积 二、（本题共6小题，每空4分，共24分） 11. 将“与9的差是负数”用不等式表示为“_____”． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 13. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，已知中与的周长分别为和，则线段的长等于_____． 14. 等腰中，，则______． 15. 如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 16. 如图，中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则___________． 三、解答题（本题共8小题，第17，18，19题各6分；第20，21题各8分；第22，23题各10分，第24题12分，共66分） 17. 解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1） （2） 18. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝，CD＝3，BC＝． （1）求∠ADC的度数． （2）求四边形ABCD的面积． 20. 如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形． 21. 拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）． 22. 如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠PBQ的度数． 23. 定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若是近直角三角形，，，则______． （2）在中，，，，若是的平分线． ①求证：为近直角三角形． ②求的长． 24. 【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 慈溪市慈吉实验学校2024学年第一学期教学调研测试 八年级数学试卷 考生须知： 1．全卷共4页，有三大题24小题，满分120分，测试时间110分钟． 2．请将学校、班级、姓名、学号、座位号、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷上各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列图形为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形， D、是轴对称图形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A. 1，2，1 B. 2，3，6 C. 6，8，11 D. ， ，4 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可． 【详解】解：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、6+8＞11，能组成三角形，故此选项符合题意； D、1.5+2.5=4，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和步骤是解题关键．根据作一个角等于已知角的作法和步骤解答． 【详解】在和中， ， ， ， 故选D． 4. 若a＞b，则（　　） A. a﹣1≥b B. b+1≥a C. 2a+1＞2b+1 D. a﹣1＞b+1 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的性质即可判断C． 【详解】解：A、若a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意； B、若a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意； C、∵a＞b，∴2a+1＞2b+1，符合题意； D、若a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5. 等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论． 【详解】解：若等腰三角形的三边长为：，满足三角形的三边关系， 则等腰三角形的周长为：； 若等腰三角形的三边长为：，满足三角形的三边关系， 则等腰三角形的周长为：, 综上，等腰三角形的周长为20或22； 故选：C． 6. 有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据等边三角形及直角三角形的判定定理解答就可． 【详解】①正确，符合等边三角形的判定定理； ②正确，因为12+32=（）2，所以三边分别是1，，3三角形是直角三角形； ③正确； ④错误，三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 7. 已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1、O、P2三点所构成的三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可知：OP2=OP=OP1，∠P1OP2=60°，即可判断△P1OP2等边三角形． 【详解】根据题意画出图形，如图， ∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称， ∴∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，OP2=OP=OP1． 又∵∠AOB=30°， ∴∠P1OP2=∠BOP1+∠BOP+∠AOP2+∠AOP=60°． ∴△P1OP2等边三角形． 故选：D． 【点睛】主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等． 8. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 9. 如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（　　　） ①；②；③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①证明∠A=∠DCB，AD=CD，∠ADE=∠CDF，根据ASA证明△得ED=FD，从而可判断①；②运用SAS证明△，得到，再由即可判断②；③当时，最短，从而可得，整理后代换即可判断③． 【详解】解：①∵， ∴△是等腰直角三角形 ∴∠ ∵点D是AB的中点， ∴，∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ 在△和△中 ∴△ ∴ ∴△是等腰直角三角形 ∴∠，故①正确； ②∵∠ ∴∠ ∴∠ 在△与△中 ∴△ ∴ ∵ ∴，故②正确； ③∵△是等腰直角三角形， ∴ ∵当时，最短， ∴ ∴ 即，故③错误； ∴综上，正确的是①②， 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（　　） A. 正方形的面积 B. 正方形的面积 C. 正方形的面积 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】证明，，从而得出． 【详解】解：如图，过点作于点，则是矩形，则 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可得， 依题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键． 二、（本题共6小题，每空4分，共24分） 11. 将“与9的差是负数”用不等式表示为“_____”． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键“负数”正确选择不等号．首先表示出与9的差为，再表示负数是，即可获得答案． 【详解】解：将“与9的差是负数”用不等式表示为． 故答案为：． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，已知中与的周长分别为和，则线段的长等于_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到，结合中垂线的定义得到，再由三角形周长计算公式推出即可得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， 中与的周长分别为和， ，， ， ， 故答案为：3． 14. 等腰中，，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是分为顶角，顶角，和底角三种情况来讨论． 根据等腰三角形的特点，分类讨论，结合三角形的内角和求解． 【详解】解：当顶角时，， ； 当为顶角时，； 当，为底角时，； 故答案为：或或． 15. 如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5． ∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 16. 如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键．延长交于点G，根据等腰三角形的判定和性质，得到，，，再利用垂直和折叠的性质，得到，进而推出是等腰直角三角形，得到，求出，然后由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式，得到，即可求出得长． 【详解】解：延长交于点G， ，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠性质可知，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，第17，18，19题各6分；第20，21题各8分；第22，23题各10分，第24题12分，共66分） 17. 解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1） （2） 【答案】（1），数轴表示见解析 （2），数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 18. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果. 【详解】解：（1）∵AE∥BF， ∴∠A=∠DBF， ∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 又∵AE=BF， ∴△ACE≌△BDF（SAS）， ∴∠E=∠F； （2）∵△ACE≌△BDF， ∴∠D=∠ACE=80°， ∵∠A=40°， ∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件. 19. 如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝，CD＝3，BC＝． （1）求∠ADC的度数． （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）135°；（2）4 【解析】 【分析】（1）连接BD，利用勾股定理逆定理证得△ABD是直角三角形，且∠ADB=∠ABD=45°，再证明△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，根据∠ADC= BDC+∠ABD求出度数； （2）根据四边形ABCD面积=，代入公式计算即可． 【详解】解：（1）如图，连接BD， ∵∠A＝90°，AB＝AD＝， ∴， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=∠ABD=45°， ∵CD＝3，BC＝， ∴， ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°， ∴∠ADC= BDC+∠ABD=135°； （2）四边形ABCD的面积=． 【点睛】此题考查勾股定理及逆定理的应用，图形面积的计算，熟记勾股定理及逆定理的计算公式是解题的关键． 20. 如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形． 试题解析：如图所示， 21. 拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方是解题的关键． 过C作于E，延长交CE于F，根据勾股定理即可得到方程，求得的长，即可利用勾股定理得到的长，进而得出的长． 【详解】解：如图所示，过C作于E，则， 设，则， 由题可得，， ∵中，， 中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴拉杆把手C离地面的距离为． 22. 如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠PBQ的度数． 【答案】（1）见解析；（2）30o 【解析】 【详解】试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后利用“边角边”即可证明两三角形； （2）由SAS可得△ABE≌△CAD，进而得出对应角相等，再通过角之间的转化即可求解∠BPD的度数，进而求得结论． 试题解析： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°， 在△ABE与△CAD中， ∴△ABE≌△CAD（SAS）； （2）由（1）知△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°． ∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°． 23. 定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若是近直角三角形，，，则______． （2）在中，，，，若是的平分线． ①求证：为近直角三角形． ②求的长． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质定理，勾股定理等，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据“近直角三角形”的定义可知，由此可解； （2）①由已知条件证明即可；②利用勾股定理求出，作于点E，根据角平分线的性质定理可得，根据求出，进而即可求出的长． 【小问1详解】 解：是近直角三角形，，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①证明：中，， ， 是的平分线， ， 中，， 为近直角三角形； ②中，，，， ， 如图，作于点E， 是的平分线，，， ， ， ， ， 解得， ． 24. 【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3）6 【解析】 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 负值舍去， 即的长为6． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$