第3章勾股定理（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

第3章 勾股定理（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.勾股定理 1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点2.勾股定理逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点3.勾股定理及逆定理的应用 1．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 2．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 考点1：一个概念——勾股数 【例题1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下面三组数中是勾股数的一组是（   ） A．，，2 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．5，12，13 【变式1】．（22-23八年级上·福建三明·期末）《九章算术》提供了许多勾股数如，等一组勾股数最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，若m是大于1的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由10生成的勾股数的“弦数”是（    ） A．16 B．24 C．26 D．32 【变式2】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数． （1）任意写出满足条件的一组勾股数： ． （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为 ． 【变式3】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦；当勾时，股，弦； 请根据发现的规律写出7，24，25股和弦的算式． (2)请你根据（1）发现的规律用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦_______，猜想他们之间的相等关系，并对你的猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 考点2：两个定理 定理1：勾股定理 【例题2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”于是在草坪内走出了一条不该有的“路”，已知米，米，只为少走（   ）米的路． A．50 B．40 C．30 D．20 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，，且，，，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，点E在上，于点D，M为的中点．当时，的面积是 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，、、的边分别为、、， (1)若，，求，的值． (2)若，，求的值． 定理2：勾股定理的逆定理 【例题3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在中，，，，则的面积为（    ） A．15 B．30 C．60 D．78 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）如果一个三角形的三边分别为1，，，则其面积为 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，且，求的度数． 考点3：三种方法 方法1：等面积法 【例题4】（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（    ） A．6厘米 B．8厘米 C．厘米 D．厘米 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）直角三角形的两边长分别是3和4，求斜边上的高（    ） A． B． C．5 D．或 【变式2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为 ． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，求斜边上的高的长． 方法2：割补法 【例题5】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级·全国·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点D在上，于点E，，则四边形的面积为 ． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）在图中画出三边的长分别为、、的； （2）该三角形的面积为 ． 方法3：作垂直构造直角三角形 【例题6】（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则点A到的距离是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知在中，，边上的高，则边的长为（　　） A．9 B．21 C．6或15 D．9或21 【变式2】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知，，与的面积和为10， 则的平方 ． 【变式3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米． (1)试求出这块三角形空地的面积； (2)计划将这块空地建成一个花照，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 考点4：两个应用 应用1：勾股定理的应用 【例题7】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 【变式1】（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米． 【变式2】（23-24八年级·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． (1)请用含有x的整式表示线段的长为 m； (2)求这棵树高有多少米？ 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一棵大树在离地面高的处断裂，树顶恰好落在离树底部处，已知点A，C在同一直线上，求大树断裂之前的高度．    应用2：勾股定理的逆定理的应用 【例题8】（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【变式1】（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为 ． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）近年来，河南嵩县通过人居环境的不断提质发展，城乡绿化覆盖率达到以上，助力城乡人居环境提质“美颜”．如图，现有一块四边形空地，计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，A、C之间的距离是． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要100元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 【变式3】（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图所示的，小明制作一个模具，，，，，，求这个模具的面积． 考点5：两种思想 思想1：方程思想 【例题9】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）在中， ，，，则点C 到斜边的距离是（    ） A． B． C．9 D．6 【变式1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是一个滑梯示意图，若将滑道水平放置，则刚好与一样长．已知滑梯的高度，，则滑道的长为 ． 【变式2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． (1)求的长； (2)求的长． 【变式3】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，长方形中，，．E为边上一点，． (1)求的长； (2)点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边向终点A运动，连接．设点P运动的时间为t秒．当t为多少时，． 思想2：分类思想 【例题10】（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）一个三角形的两边长为6和8，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为（    ） A．3 B．10 C．41或10 D．10或 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在直角三角形中，有两条边长为3和5，则第三边长为 ． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在长方形中，，，E为边上一点，． (1)求的长： (2)点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点A运动，连接．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，为等腰三角形？ 【变式3】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足的周长为，求此时的值； (2)若点在的平分线上，求此时的值； (3)在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2019·湖南益阳·中考真题）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(     ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 二、填空题 5．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 6．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    三、解答题 7．（2023·广西·中考真题）如图，在中，，．    (1)在斜边上求作线段，使，连接； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 8．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 9．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    10．（2023·山东临沂·中考真题）如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）若一个直角三角形的三边长为6，8，x．则x的值是（    ） A．10 B． C．10或者 D．7 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，求的长是（   ） A．5 B．8 C．4 D．7 3．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，，垂足为，为上任一点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为米．如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知长方形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，分别以直角三角形的三边为边向外侧作等边三角形，设三个等边三角形的面积分别为，，，则，，三者之间关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ）米．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B．24 C．26 D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，圆柱形容器高，底面半径为，在杯口点处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的处，若蚂蚁刚出发时发现处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 12．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约 米处折断． 13．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则 ． 14．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，的长分别是6、8、10，点D是边的中点，则 ． 15．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）在中，，，是边所在直线上的点，，，则 ． 16．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在直线对称，点为的中点，过点作交所在直线于点，连接．当为直角三角形时，的长为 ． 17．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D为上一点，连接，且，则为 ． 18．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，每一个小正方形的边长为1，求出的周长和面积． 20．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上、且与重合，求的长． 21．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）如图，在中，． (1)在边上找一点，连接，使得是直角三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求点到的距离． 22．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）综合实践 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． (1)求边的长． (2)当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． (3)当为直角三角形时，直接写出t的值． 23．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    24．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”．你同意吗？请说明理由． 25．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ (2)这片绿地的面积是多少？ 26．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图所示，在中，，，．点，是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． (1)____________． (2)当点在边的垂直平分线上时，求的值． (3)若点在边上运动，当运动时间为多少时，是以为腰的等腰三角形？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.勾股定理 1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点2.勾股定理逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点3.勾股定理及逆定理的应用 1．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 2．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 考点1：一个概念——勾股数 【例题1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下面三组数中是勾股数的一组是（   ） A．，，2 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数，根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即． 【详解】解：A、因为不是整数，所以这一组数不是勾股数，故A选项不符合题意； B、因为0.3，0.4，0.5不是整数，所以这一组数不是勾股数，故B选项不符合题意； C、因为，所以这一组数不是勾股数，故C选项不符合题意； D、因为，所以这一组数是勾股数，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式1】．（22-23八年级上·福建三明·期末）《九章算术》提供了许多勾股数如，等一组勾股数最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，若m是大于1的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由10生成的勾股数的“弦数”是（    ） A．16 B．24 C．26 D．32 【答案】C 【分析】根据题意，按照题目所给的方法进行计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴由10生成的勾股数的“弦数”是26， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股数以及数字变化规律，解题的关键是正确理解题意． 【变式2】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数． （1）任意写出满足条件的一组勾股数： ． （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】此题考查勾股数， （1）根题意写出一组勾股数即可； （2）分三种情况：①时，②时，③，分别进行解答即可． 【详解】解：（1）当时，，，； ∵ ∴勾股数满足题意； 故答案为：（答案不唯一） （2）∵， ∴， ∵直角三角形的一边长为， 分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，（不合题意，舍去）； ③当， 解得， ∵，m，n是互质的奇数． ∴， 把代入得到， 综上所述，一边长为，且，该直角三角形的三条边长分别为， ∴面积为， 故答案为： 【变式3】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦；当勾时，股，弦； 请根据发现的规律写出7，24，25股和弦的算式． (2)请你根据（1）发现的规律用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦_______，猜想他们之间的相等关系，并对你的猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 【答案】(1)股的算式为：；弦的算式为： (2)，，；证明见解析 (3)股表示为：；弦为： 【分析】本题主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． （1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【详解】（1），；，； ，24，25的股的算式为：； 弦的算式为：； （2）当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 猜想他们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； 故答案为：，，； （3）4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； 为勾，股表示为：；弦为：． 考点2：两个定理 定理1：勾股定理 【例题2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”于是在草坪内走出了一条不该有的“路”，已知米，米，只为少走（   ）米的路． A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出即可解决问题．本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，属于中考基础题． 【详解】解：在中， 米，米， （米）， （米）， 只为少走20米的路． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，，且，，，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 由题意可知且，依次由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：；；． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，点E在上，于点D，M为的中点．当时，的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的外角性质、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 由勾股定理求出，由直角三角形的性质得出，，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，、、的边分别为、、， (1)若，，求，的值． (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． （1）设，则，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论． （2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值． 【详解】（1）解：中，，、、的对边分别为、、，且， 设，则． ，即， 解得， ，； （2）解：中，，、、的对边分别为、、， ， ， ∴， ∵， ， 解得：． 定理2：勾股定理的逆定理 【例题3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在中，，，，则的面积为（    ） A．15 B．30 C．60 D．78 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用．根据，，，证明是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ， ， 为直角三角形， ， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）如果一个三角形的三边分别为1，，，则其面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴边1，为直角边， ∴三角形面积． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，先根据等腰直角三角形的性质得到，再由勾股定理得到，进而可得，则由勾股定理的逆定理得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 考点3：三种方法 方法1：等面积法 【例题4】（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（    ） A．6厘米 B．8厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键．设斜边上的高为h厘米，利用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出h的值，可得答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5厘米、12厘米，， ∴斜边长为厘米， ∴设直角三角形斜边上的高为，则， 解得：(厘米)， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）直角三角形的两边长分别是3和4，求斜边上的高（    ） A． B． C．5 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高的长度，分边长为4的边为斜边和直角边两种情况，根据勾股定理求出第三边的长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：当边长为4的边为直角边为，则斜边为， 根据三角形面积计算公式可知，两直角边的乘积的一半等于斜边与斜边上的高的乘积的一半， ∴斜边上的高为， 当边长为4的边为斜边时，则另一直角边为， ∴斜边上的高为； 综上所述，斜边上的高或， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为，再由等面积法计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为， 由题意得， ∴，即此直角三角形斜边上的高长为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，求斜边上的高的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理直接计算即可求得，再根据等积法计算即可求得，熟练掌握勾股定理及三角形的面积公式是解决本题的关键． 【详解】解：在中， 因为，，， 所以， 所以． 因为为边上的高， 所以， 所以． 方法2：割补法 【例题5】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，    由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：C 【变式1】（23-24八年级·全国·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点D在上，于点E，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，勾股定理求出的长，进而求出的长，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）在图中画出三边的长分别为、、的； （2）该三角形的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查作图﹣复杂作图、勾股定理与网格问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合勾股定理画图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求， （2）， 故答案为． 方法3：作垂直构造直角三角形 【例题6】（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则点A到的距离是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】过点作交的延长线于点，根据勾股定理求得，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵，，， ∴ ∴ 解得：, ∴, 即点A到的距离是． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知在中，，边上的高，则边的长为（　　） A．9 B．21 C．6或15 D．9或21 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，分是锐角三角形，和是钝角三角形，两种情况利用勾股定理分别求出的长，再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时， ∵边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当是钝角三角形时， ∵边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为9或21， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知，，与的面积和为10， 则的平方 ． 【答案】76 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作，，证明，推出，设，，利用完全平方公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点K． ，， ，，． ， ． ， ， 又， ， ， 设， ． 与的面积和为10， 即，， 在中，， 即， ， ， ． 故答案为：76． 【变式3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米． (1)试求出这块三角形空地的面积； (2)计划将这块空地建成一个花照，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【答案】(1)84平方米 (2)5040元 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）过点A作于D，设米，则米，利用勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案； （2）用花园面积乘以每平方米的造价即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于D，设米，则米， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， ∴米， ∴平方米； （2）解：元， 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 考点4：两个应用 应用1：勾股定理的应用 【例题7】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变． 先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离． 【详解】解：在中，根据勾股定理 分米， 当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米， 在中根据勾股定理 分米， 则梯子的底部将向外平滑距离：分米． 故选：D 【变式1】（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米． 【答案】8 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则绳子长为米，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子长为米， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴旗杆的高度为8米， 故答案为：8． 【变式2】（23-24八年级·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． (1)请用含有x的整式表示线段的长为 m； (2)求这棵树高有多少米？ 【答案】(1) (2)这棵树高3.2米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键． （1）根据，计算即可； （2）在中，由勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ∴． 答：这棵树高有3.2米 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一棵大树在离地面高的处断裂，树顶恰好落在离树底部处，已知点A，C在同一直线上，求大树断裂之前的高度．    【答案】16m 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，得到，利用勾股定理求出的长，进而求出大树断裂之前的高度即可． 【详解】解：由题意，得， 在Rt中，由勾股定理，得 所以， 答：大树断裂之前的高度为． 应用2：勾股定理的逆定理的应用 【例题8】（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D 【变式1】（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形．过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ∵，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）近年来，河南嵩县通过人居环境的不断提质发展，城乡绿化覆盖率达到以上，助力城乡人居环境提质“美颜”．如图，现有一块四边形空地，计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，A、C之间的距离是． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要100元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 【答案】(1) (2)3600元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． （1）连接，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理逆定理得到，利用求出四边形空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，，A、C之间的距离是， ∴， 即的长度； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形空地种植草皮需要元． 【变式3】（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图所示的，小明制作一个模具，，，，，，求这个模具的面积． 【答案】这个模具的面积为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．连接，勾股定理求得，进而勾由股定理逆定理得出是直角三角形，进而根据即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 则在中，根据勾股定理得： ， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 答：这个模具的面积是． 考点5：两种思想 思想1：方程思想 【例题9】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）在中， ，，，则点C 到斜边的距离是（    ） A． B． C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，等积法求线段的长度．熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，等积法求出点C到斜边的距离即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设点C到斜边的距离是， 则：，即：， ∴； ∴点C到斜边的距离是． 故选B． 【变式1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是一个滑梯示意图，若将滑道水平放置，则刚好与一样长．已知滑梯的高度，，则滑道的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长为米，表示出米，利用在中，列出方程求解即可． 【详解】设的长为米． ， 米． 米， 米． 在中，，即：， 解得：， 滑道的长为米． 【变式2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长，然后由翻折的性质求得，即可求解； （2）设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，两直角边，， ， 由折叠的性质可知：， ； （2）解：设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，长方形中，，．E为边上一点，． (1)求的长； (2)点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边向终点A运动，连接．设点P运动的时间为t秒．当t为多少时，． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题是勾股定理的应用； （1）根据四边形是长方形求得长度，再利用勾股定理求即可； （2）过点作于，四边形是长方形可得，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， ， ， ， 由勾股定理可得， 的长为5； （2）解：若时，则是直角三角形， 过点作于，则， 四边形是长方形， ∴，， ∵点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边向终点A运动，连接．设点P运动的时间为t秒． ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 当时，． 思想2：分类思想 【例题10】（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）一个三角形的两边长为6和8，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为（    ） A．3 B．10 C．41或10 D．10或 【答案】D 【分析】设第三条边长为x，分两种情况：当x是斜边时，当8是斜边时，进行计算即可解答． 【详解】解：设第三条边长为x， 分两种情况： 当x是斜边时，， 当8是斜边时，， 综上可知，第三条边长为10或， 故选择：D 【点睛】本题考查了勾股定理，利用分类讨论思想，分两类进行计算是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在直角三角形中，有两条边长为3和5，则第三边长为 ． 【答案】或4/4或 【分析】本题考查了勾股定理，根据斜边的平方等于直角边的平方和，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在直角三角形中，有两条边长为3和5， ∴当第三边为斜边时，则， ∴当第三边不是斜边时，则， 综上，第三边长为或4． 故答案为：或4． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在长方形中，，，E为边上一点，． (1)求的长： (2)点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点A运动，连接．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)5 (2)t值为6或5或 【分析】本题考查了四边形综合应用，涉及直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质和勾股定理等知识，解题的关键是方程思想和分类讨论思想的应用． （1）在长方形中，，可得，在中，由勾股定理可得的长； （2）若为等腰三角形，则有三种可能：当时、当时、当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在长方形中，，， 在中，， ； （2）若为等腰三角形，则有三种可能， 当时，则， ； 当时，则， ， 当时，过点E作于点F，则， ， ， 综上所述：符合要求的t值为6或5或． 【变式3】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足的周长为，求此时的值； (2)若点在的平分线上，求此时的值； (3)在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)当t为或5或或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据的周长为，可得，，在中根据勾股定理列出方程可求得t的值； （2）过P作于E，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出t； （3）分类讨论：当点P在上，，为等腰三角形时，根据的长即可得到t的值，当点P在上，，为等腰三角形时，根据P移动的路程易得t的值；当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴由勾股定理得， 如图，连接， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得，即， 解得； （2）解：如图1，过P作于E，连接， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2所示，当点P在上，，为等腰三角形时， 则， 解得； 如图3所示，当点P在上，，为等腰三角形时， ∴， ∴； 如图4所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 如图5所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当t为或5或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形综合题， 角平分线的性质， 等腰三角形的判定与性质， 勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 2．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱， ∴直棱柱的高， ∴，，，， ∵， ∴选B． 【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键． 3．（2019·湖南益阳·中考真题）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(     ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 【详解】如图所示， AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 4．（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 在中，（里， 的面积（平方里）， 故选：C 二、填空题 5．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 6．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，   尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 三、解答题 7．（2023·广西·中考真题）如图，在中，，．    (1)在斜边上求作线段，使，连接； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点O，则问题可求解； （2）根据含30度直角三角形的性质可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：所作线段如图所示：    （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点O为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 8．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知，，． ． 即． ． （2）在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． （3）由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】见解析 【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解． 【详解】解：如图所示，    如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形， 如图②，，，则，则是等腰直角三角形， 如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形， 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10．（2023·山东临沂·中考真题）如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ 即； （2）证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴ （3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，    ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，      即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）若一个直角三角形的三边长为6，8，x．则x的值是（    ） A．10 B． C．10或者 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．分情况讨论是解题的关键．由题意知，分8是直角边和8是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意知，分8是直角边和8是斜边两种情况， 当8是直角边时，， 当8是斜边时，， 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，求的长是（   ） A．5 B．8 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得到，代入计算即可得的值． 【详解】解：在中，， ， ∵，， ， （负值舍去）， 故选：B． 3．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有①勾股定理的逆定理，②有一个角为直角的三角形．根据勾股定理的逆定理可判定A、B，由三角形内角和可判定C、D，可得出答案． 【详解】解：A．当，，时，满足，所以是直角三角形； B．当时，设，，，满足，所以是直角三角形； C．当时，且，所以，所以是直角三角形； D．当时，可设，，，由三角形内角和定理可得，解得，所以，，，所以不是直角三角形． 故选D． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，，垂足为，为上任一点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，由，则，再根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ，， 在和中， ，， ∴，， ∴ ， 故选：． 5．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为米．如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，本题中求的长度是解题的关键． 在直角三角形中，已知根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知即可求得的长度，根据即可求得的长度． 【详解】解：在直角中，已知， 则， ∵ ∵在直角中，，且为斜边， ， 故选：C． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知长方形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质，等角对等边，根据长方形的性质可得，则由平行线的性质和折叠的性质可证明得到，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由长方形的性质可得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上， 则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， 依题意，， 此时． 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：C． 9．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，分别以直角三角形的三边为边向外侧作等边三角形，设三个等边三角形的面积分别为，，，则，，三者之间关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质是解题的关键．设，，，利用等边三角形的性质和勾股定理求出面积，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，设，，， 是直角三角形， ， 都是等边三角形， 如图，等边中，为等边的高， ， ， ， 同理，等边三角形的高分别为， ，， ， ， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ）米．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B．24 C．26 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于． 【详解】解：如图是其侧面展开图：，，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，圆柱形容器高，底面半径为，在杯口点处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的处，若蚂蚁刚出发时发现处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题， 先将圆柱的侧面展开，找到蚂蚁走的最短距离，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜， 如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴蚂蚁的平均速度至少是， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约 米处折断． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列出方程是关键．根据题意列出方程并解答即可； 【详解】解：如图，由题意知：， 设， ， ， ， 解得：， ∴这棵大树离地面约， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则 ． 【答案】/135度 【详解】本题考查了勾股定理、勾股定理是逆定理、三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质，过点作，连接，根据勾股定理分别求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】解：如图，过点作，连接， 由勾股定理得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，的长分别是6、8、10，点D是边的中点，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线性质，先利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得． 【详解】解：在中，，，的长分别是6、8、10， ，， ， 为直角三角形， 点D是斜边的中点， ， 故答案为：5． 15．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）在中，，，是边所在直线上的点，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据三角形两边的长和第三边的高，分当点在线段上时，当点在的延长线上时两种情况讨论，然后利用勾股定理求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，当点在线段上时， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上时， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， 由于， ∴点不在边的延长线上， 综上，或， 故答案为：或． 16．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在直线对称，点为的中点，过点作交所在直线于点，连接．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】当为直角三角形时，存在两种情况当时，根据对称的性质和平行线可得根据直角三角形斜边中线的性质得，最后利用勾股定理可得AB的长；当时，证明是等腰直角三角形，可得． 【详解】解：当为直角三角形时存在两种情况： 当时，如图， . ∵与关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，是斜边的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴ 当时，如图， ∵， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握知识点的应用及利用分类讨论的思想是解题的关键． 17．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D为上一点，连接，且，则为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．作于．设，则有：，由此构建方程求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于． ，， ，设， 则有：， ， 解得：， ， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出的长是解题的关键．利用折叠和长方形得到，进而可得出，设则在中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积，则可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质，可知：，，，． ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设则 在中， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，每一个小正方形的边长为1，求出的周长和面积． 【答案】周长：．面积：． 【分析】本题考查勾股定理的运用，还考查直角三角形的面积计算．根据图形，的面积等于矩形的面积减去个直角三角形的面积，根据勾股定理得到的三边长，再根据三角形周长的定义求出的周长． 【详解】解：，， ∴的周长为， 的面积为． 20．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上、且与重合，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理的综合应用．根据折叠的性质可得，，，，在中，根据勾股定理可得，即可求得，设，在中，由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵将直角边沿直线折叠， ∴，， ， 在中， ， ， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 解得， 即． 21．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）如图，在中，． (1)在边上找一点，连接，使得是直角三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点到的距离为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，基础作图，解题的关键是掌握相关知识． （1）可知，是等腰三角形，要使得是直角三角形，即，为的中点，作的垂直平分线交于点，即可求解； （2）过点作于点，由等腰三角形的性质可得，根据勾股定理求出，最后根据，求出即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 点到的距离为． 22．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）综合实践 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． (1)求边的长． (2)当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． (3)当为直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)的长为； (3)当为直角三角形时，t的值为8或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）先根据勾股定理求出即可； （2）连接，设的长为，则，，根据勾股定理可得，列出方程，求出的值，即可得出； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理可得：； （2）解：如图1，连接． 因为点P在的垂直平分线上， 图1 所以． 设的长为，则，． 在中，根据勾股定理可得，即， 解得， 所以的长为； （3）解：当时，点P和点C重合，； 如图，当时，，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即①． 在中，根据勾股定理得，， 即②． 结合①和②得， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为8或． 23．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    【答案】0.9米 【分析】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 设，则，在中利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， 答：弯折点与地面的距离为0.9米． 24．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”．你同意吗？请说明理由． 【答案】(1)这个梯子的顶端距离地面； (2)不同意，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得到即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，，， 在中，， ， ∴， 答：这个梯子的顶端距离地面； （2）解：不同意，理由如下： 由题意得，，， 在中，， ， ∴， ∴， 所以梯子的顶端A下滑了，不是． 25．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ (2)这片绿地的面积是多少？ 【答案】(1)居民从点A到点C将少走路程 (2)这片绿地的面积是 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； （2）解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 26．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图所示，在中，，，．点，是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． (1)____________． (2)当点在边的垂直平分线上时，求的值． (3)若点在边上运动，当运动时间为多少时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)是以为腰的等腰三角形时，的值为或 【分析】本题主要考查勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和性质等知识的综合， （1）根据勾股定理可得，由此即可求解； （2）如图所示，是线段的垂直平分线，交于点，连接，根据题意可知当点在边的垂直平分线上时，即点与点重合，设，在中，运用勾股定理可得，根据行程问题可得点运动的时间和点运动的路程，由此即可求解； （3）根据等腰三角形的定义和性质，分类讨论：当时；当时，根据等腰三角形的三线合一，等面积法可求出的值，根据行程问题的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，是线段的垂直平分线，交于点，连接， ∴， 当点在边的垂直平分线上时，即点与点重合， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∵点从点开始沿方向运动，且速度为， ∴点运动的时间为：， ∵点从点开始沿方向运动，且速度为， ∴点运动的路程为：， ∴， ∴； （3）解：点在边上运动，是以为腰的等腰三角形，如图所示， ①当时，； ②当时，取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$