专题01 二次函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

专题01 二次函数 【考点01】二次函数的概念 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【考点07】二次函数的平移变换 【考点08】二次函数的交点个数问题 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 【考点10】二次函数应用-面积问题 【考点11】二次函数应用-利润问题 【考点12】二次函数与几何综合应用 知识点1： 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2： 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3： 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 知识点6： 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 知识点7： 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点01】二次函数的概念 1．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1 3．已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 4．抛物线，顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．图象有最高点 D．时，随的增大而增大 6．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A． B． C． D． 8．二次函数 的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 9．对于二次函数，当函数值随的增大而减小时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1 0．抛物线的图象大致是（    ） A．B．C． D． 11．在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．B．C． D． 12．在函数中，y 随 x的增大而减小，则 x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 13．已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是 （填“<”、“>”或“=”）． 14．抛物线的对称轴是直线 ． 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 15．如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 16．如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 17．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ． 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 19．用配方法将化成的形式为（   ）． A． B． C． D． 20．已知二次函数的对称轴为直线，则a的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．不确定 21．已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 22．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．y的最小值为 23．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 24．如图为和的图象，交点和，当时，x的取值范围是 ． 25．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 26．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 29．时，函数的最小值为，则实数的值为 ． 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 30．如图是抛物线是常数，且的一部分，其对称轴是直线，且与轴的一个交点坐标是，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③关于的一元二次方程的根是；④若，则或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 32．对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 33．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 34．如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列结论中，正确结论的序号为（    ） ①；②点的坐标是；③；④对于任意实数，都有． A．①② B．②③ C．②③④ D．②④ 【考点07】二次函数的平移变换 35．将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 36．将二次函数向上平移2个单位长度，得到的新抛物线相应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 37．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 38．把抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线解析式为 ． 【考点08】二次函数的交点个数问题 39．已知抛物线与轴有唯一的一个交点，则的值为（   ） A． B．4 C．2或 D．或4 40．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 41．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则高尔夫球第一次落地时距离运动员为（    ） A． B． C． D． 42．从地面竖直向上抛出一小球，秒后小球的高度（米）适用公式，经过4秒后，小球的高度是 米． 43．投掷铅球是中考体育测试选择项目之一，体育老师为提高小明同学的体育成绩，对其推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是 m. 44．如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为 米． 45．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 46．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 47．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为．    (1)求该钢拱的跨度的长度； (2)为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的，两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离为米，求这两盏灯距桥面的高度是多少米？ 【考点10】二次函数应用-面积问题 48．某小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形花园的面积最大？最大面积是多少？ 49．如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？ (3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 50．如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为．（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？ 若可能，求边长的长，若不可能，说明理由； (2)求该菜园面积的最大值． 【考点11】二次函数应用-利润问题 51．“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ (3)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 52．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 53．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【考点12】二次函数与几何综合应用 54．综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； (3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 55．如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 56．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)若点M在抛物线上，在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 57．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1．关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 2．已知点在抛物线上，若点也在该抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 6．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是（    ） 0 1 2 1 1 6 A． B． C． D． 7．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 8．将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数、、为常数，的图像与轴交于，两点．下列结论中错误的有（    ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而 ． 12．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 13．已知二次函数中，当时，的最小值是 ． 14．飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为，则飞机着陆后滑行 秒才停下来． 15．如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 17．杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)试通过计算判断此球能否过网． 18．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 19．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数 【考点01】二次函数的概念 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【考点07】二次函数的平移变换 【考点08】二次函数的交点个数问题 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 【考点10】二次函数应用-面积问题 【考点11】二次函数应用-利润问题 【考点12】二次函数与几何综合应用 知识点1： 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2： 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3： 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 知识点6： 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 知识点7： 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点01】二次函数的概念 1．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如 (a、b、c为常数，)的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A． 是一次函数，故选项不符合题意； B．不是二次函数，故选项不符合题意； C．不是二次函数，故选项不符合题意； D．是二次函数，故选项符合题意； 故选：D． 2．在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的一般式，掌握二次函数中a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项是解题的关键． 【详解】解：函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为，2，， 故选：A． 3．已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 4．抛物线，顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为是解题关键．直接根据抛物线顶点式得到顶点坐标即可． 【详解】解：， 顶点坐标是， 故选：C． 5．对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．图象有最高点 D．时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴抛物线开口向上，该选项说法错误，不合题意； 、∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线，该选项说法错误，不合题意； 、∵抛物线开口向上， ∴抛物线有最低点，该选项说法错误，不合题意； 、∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，随的增大而增大，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 6．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，即， 离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：A． 7．已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴开口向上，故B正确． 故选：B． 8．二次函数 的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．熟练掌握完全平方式的最小值，是解题的关键． 根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值． 【详解】∵二次函数中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 即的最小值为3． 故选：D． 9．对于二次函数，当函数值随的增大而减小时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据开口向下的二次函数在对称轴右侧函数值随的增大而减小，据此求出对称轴即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数值随的增大而减小， 故选：D． 10．抛物线的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行分析求解即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线得：，， ∴抛物线开口向下，与轴交点在负半轴上， ∴图象大致是： 故选：． 11．在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象和二次函数的图象是解题的关键．分别判断一次函数和二次函数的图象分布位置即可． 【详解】解：由可得直线的图象过第一、二、四象限， 则选项C、D符合； 由可得抛物线的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 则选项A、D符合； 综上，只有选项D两个图象都符合， 故选：D． 12．在函数中，y 随 x的增大而减小，则 x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 故选：． 13．已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是 （填“<”、“>”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．分别求出，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 14．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，根据二次函数顶点式即可求解，准确分析判断是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线为， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 15．如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的图象与性质，根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为1，由此可求得A点横坐标，即得的长，从而得长，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为1； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为， 即的长， ∴， ∴菱形面积为． 故选：C． 16．如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 17．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题． 【详解】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 如图， 可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点， ， 故选：． 18．如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ． 【答案】 【分析】待定系数法求直线的解析式为；如图，记与轴的交点分别为，由，可得物线关于轴对称，则，，，轴，轴，证明，则，即，直线的解析式为，联立，可求，，同理，直线的解析式为，，，可推导一般性规律为，当为奇数时，，然后计算求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将代入得，， ∴直线的解析式为； 如图，记与轴的交点分别为， ∵， ∴抛物线关于轴对称， ∴，，，轴，轴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，，， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，， ∴可推导一般性规律为，当为奇数时，， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键． 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 19．用配方法将化成的形式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了把二次函数化为，先配方使得，即可作答． 【详解】解：， 即用配方法将化成的形式为， 故选：C． 20．已知二次函数的对称轴为直线，则a的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系；求出抛物线与x轴的交点坐标，这两点关于抛物线对称轴对称，则有，从而可求得a的值． 【详解】解：令， 解得：， 即抛物线交x轴于点； ∵抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称， ∴， 解得：； 故选：B． 21．已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟悉掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或， 故选：C． 22．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．y的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与坐标轴的交点坐标，增减性，对称轴，顶点坐标，是解题的关键．令，求解函数的值可判断A，再由对称轴，可判断B，利用函数的开口方向与函数的增减性判断C，把顶点的横坐标代入解析式求解纵坐标，可判断D，从而可得答案． 【详解】解：由， 令 则， 所以图象与y轴的交点坐标为，故A正确； 函数的对称轴为：， 所以函数的对称轴在轴的右侧，故B正确； 由， 函数图像的开口向上， 所以当时，y的值随x值的增大而减小，故C正确； 当时，函数的最小值为：， 故D错误； 故选：D． 23．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 24．如图为和的图象，交点和，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式组，正确利用数形结合是解题的关键，结合图象得出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象得出：当时，， 故答案为：． 25．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键． 利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当在两交点之间时，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围正好在两交点之间，即， 故答案为：． 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 26．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 故选：D． 27．已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，有最小值1，再把代入，求出的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值1， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值5，最小值1， ， 故选：C． 28．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 29．时，函数的最小值为，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的最值，化顶点式，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题。利用函数解析式得到对称轴，根据题意分以下三种情况①当时，函数在处取得最小值，②当时，函数在处取得最小值，③当时，函数在处取得最小值，建立等式求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 函数在对称轴处取得最小值为， 时，函数的最小值为， ①当时，函数在处取得最小值， 有， ②当时，函数在处取得最小值， 有， 整理得， 解得或（均不符合题意舍去）， ③当时，函数在处取得最小值， 有， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 30．如图是抛物线是常数，且的一部分，其对称轴是直线，且与轴的一个交点坐标是，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③关于的一元二次方程的根是；④若，则或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据图象开口方向、对称轴即可判断①；由对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴交点坐标即可判断③；判断出抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，据此即可判断④． 【详解】解：由图象知 ∵对称轴是直线 ，①错误； ，②正确； 根据抛物线的对称性，点关于直线的对称点是 ∴抛物线与轴的交点坐标是和 ∴关于的一元二次方程的根是， 故③正确； ， ∴对于函数， 当时的函数值应小于当时的函数值． ，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∴或， 故④正确． 综上，正确的有②③④，共3个． 故选：C 31．对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②符合题意； ③对称轴为，当和时函数值相等，都小于0， ，故③不符合题意； ④当时，， ∴， 故④符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 32．对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数（、、b、c为常数，且）系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图象得：， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①错误； ∵当时，，当时，， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，当时，， ∴当时，，故③错误； ∵当时，，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 观察图象得：当时，y随x的增大而减小，故⑥错误； 综上所述：正确的结论有②④⑤；共3个； 故选：A 33．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，熟练掌握二次函数图象与的关系是解决本题的关键． ①图像可知，且，故①错误；②把代入即可，故②正确；③根据对称的关系和c的大小即可，得到答案，故③正确；④把和分别代入函数式，得到结果即可，故④错误． 【详解】解：①∵， ∴ ∵， ∴故①错误； ②由图象可知：时，； 即，故②正确； ③由图象可知， ∴， 又， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④由图象可知：时，， 又， 即， ∴， ∴故④错误． 34．如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列结论中，正确结论的序号为（    ） ①；②点的坐标是；③；④对于任意实数，都有． A．①② B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与轴交点可判断①、②、③，通过时抛物线取得最大值判断，进而求解．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质． 【详解】解：抛物线开口向下， ，①错误， 、关于对称轴对称， ∴， 则， 故②正确， 二次函数的对称轴为直线， ， ， 把代入， 得， ， 整理得：， 故③正确， 二次函数的对称轴为直线， 当时，抛物线取得最大值为， 当时，， ， 即， 故④正确． 所有正确结论的序号为②③④． 故选：C． 【考点07】二次函数的平移变换 35．将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的平移.根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可. 【详解】解：将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为， 故选：B 36．将二次函数向上平移2个单位长度，得到的新抛物线相应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移特征可得答案． 【详解】将二次函数向上平移2个单位长度，得到新抛物线的函数表达式为，即． 故选：C． 37．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：依题意，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的抛物线的解析式为， 故选：D． 38．把抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象平移，解题关键是掌握二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，求解即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线的解析式是， 故答案为：． 【考点08】二次函数的交点个数问题 39．已知抛物线与轴有唯一的一个交点，则的值为（   ） A． B．4 C．2或 D．或4 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据抛物线与x轴有唯一的一个交点，对于一元二次方程来说，，从而可以求得k的值． 【详解】解：∵抛物线与x轴有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：D． 40．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称性求出二次函数与与x轴的另一个交点坐标为，再根据二次函数与x轴两个交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的两个解即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的解为， 故选：A． 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 41．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则高尔夫球第一次落地时距离运动员为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，则，求出的值即可得解． 【详解】解：在中，令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴高尔夫球第一次落地时距离运动员为， 故选：D． 42．从地面竖直向上抛出一小球，秒后小球的高度（米）适用公式，经过4秒后，小球的高度是 米． 【答案】40 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将代入，求出的值即可． 【详解】解：当时，（米）， 故答案为：40． 43．投掷铅球是中考体育测试选择项目之一，体育老师为提高小明同学的体育成绩，对其推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是 m. 【答案】10 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：令函数式中，， ， 解得，（舍去）， 即铅球推出的距离是． 故答案为：10． 44．如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为 米． 【答案】4 【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为6， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴支柱的高度为：米， 故答案为：4． 45．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1)； (2)此球一定能投中． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 46．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 【答案】(1)8米 (2)不能，见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． （1）求得顶点，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）当时，根据题意得，，再算出当时，的值即可判定． （3）根据，求出点的坐标，利用题意可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得点A横坐标为2，纵坐标为， 所以上边缘抛物线的顶点为， 设：， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为米； （2）当时，根据题意得，， ∴当时，， ∵， ∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． （3）∵， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得(舍去)， ∴的最大值为， 当时，， 解得(舍去)， 当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 47．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为．    (1)求该钢拱的跨度的长度； (2)为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的，两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离为米，求这两盏灯距桥面的高度是多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（）当时，求出坐标即可求出的长度； （）由题意得：关于轴对称，由米，则的横坐标为，然后代入即可求解； 本题考查了二次函数的应用和两点间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，即， 解得：，， ∴，， ∴， ∴该钢拱的跨度的长度为米； （2）解：由题意得：关于轴对称， ∵米， ∴的横坐标为， ∴当时，即， ∴这两盏灯距桥面的高度是米． 【考点10】二次函数应用-面积问题 48．某小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形场地面积有最大值，为平方米． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意正确列出函数关系式是解题关键． （1）设花园的边长为x米，则花园的的边长为米，根据题意列式，即可得到答案； （2）将二次函数化为顶点式，得到当时，随的增大而减小，再根据自变量x的取值范围，即可得到最大值． 【详解】（1）解：设花园的边长为x米，则花园的的边长为米， 由题意得：， 墙长15米， ， 解得：， y与x之间的函数关系式为； （2）解：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，矩形场地面积有最大值，为平方米． 49．如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？ (3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)3米或5米 (2)米或4米 (3)当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和函数关系式，是解题的关键： （1）设的长为x米，则的长为米，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）设的长为m米，则的长为米，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可； （3）设AB的长为米，围成面积为平方米，列出二次函数关系式，求出最值，进行判断即可． 【详解】（1）解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得：， 解得 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ∴的长是3米或5米； （2）解：设的长为m米，则的长为米， 根据题意得：， 解得， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意； ∴的长是米或4米； （3）解：能围成面积比45平方米更大的花圃，理由如下： 设AB的长为米，围成面积为平方米， ∵墙的最大可用长度为a为15米， ∴， 解得， 根据题意得， ∵， ∴时，w取最大值，最大值为48平方米， 此时， 答：当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米． 50．如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为．（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？ 若可能，求边长的长，若不可能，说明理由； (2)求该菜园面积的最大值． 【答案】(1)花园面积可能是，此时边的长为14米 (2) 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可． 【详解】（1）解：设，则， 依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． （2）解：∵，则， 则， ∴， 依题意，得：， ∵， ∴当时，y最大，最大为300． 答：该菜园面积的最大值为． 【考点11】二次函数应用-利润问题 51．“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ (3)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 【答案】(1) (2)应将销售单价定为15元 (3)此时W的最大值为2160元 【分析】本题考查二次函数的实际应用、一元二次方程的应用、不等式的应用： （1）利润等于销量乘以售价与进价之差，由此可列函数关系式； （2）结合（1）中结论列一元二次方程，解方程即可； （3）先求出销售单价x的取值范围，再将二次函数一般式化为顶点式，即可求出W的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：由， 解得或． ∵销量随售价x的增大而减小， ∴售价越小，销量越高，越有利于减少库存， ∴应将销售单价定为15元； （3）解：由，且，解得， ， ∴当时，W随着x的增大而减小， ∴当时，函数值最大，最大为． 答：此时W的最大值为2160元． 52．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)定价为45元，利润最大，最大利润是2250元， 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售问题．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和数量的关系，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于每个利润乘数量列出函数关系式； （3）根据 ，，得到时，w有最大值2250，定价为45元． 【详解】（1）解：∵售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， ∴； （2） ； （3）∵，， ∴当时，w有最大值， 最大值为2250， 此时定价为：（元）． 53．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润5000元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，将点，代入一次函数表达式，求解即可； （2）由题意得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 根据题意，将点，代入， 可得，解得， 所以，与之间的函数关系式为； （2）根据题意，可得， ∵， ∴该函数图像开口向下，且其对称轴为， 又∵， ∴在此范围内，随的增大而增大， ∴当时，取最大值，此时， 即销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润5000元． 【考点12】二次函数与几何综合应用 54．综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； (3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可； （3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为； （3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时， ∵， ∴， ∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为， 当时，则， 解得，，， ∴， 如图3，当点在直线的下方的抛物线上时， 设交轴于点， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． 55．如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或； 【分析】（1）先求出、两点坐标，再设交点式，将点坐标代入求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，进而得出，根据得到关于的二次函数，再配方求最值即可； （3）分两种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，找出相等线段，再设点坐标，进而得到一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标是， ， ， ，， ，， 抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的解析式为， 与轴交于点， ， 解得：， ， 即抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 点是抛物线上之间的动点， 设， 轴，交直线于点， ， ， ， ， 当时，有最大值为8， ， 即当的面积最大时，求出点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ； ②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ， 综上可知，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或； 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 56．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)若点M在抛物线上，在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点N的坐标为或或 【分析】（1）改设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，求得，进一步得出结果； （2）可推出是直角三角形，进一步得出结果； （3）先求出抛物线对称轴，在求出点D的坐标，设，分为以A、D、M、N为顶点的平行四边形的对角线和边两种情况讨论，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：存在，点N的坐标为： 、， 抛物线的对称轴为， 点D和点C关于抛物线对称轴对称，， ， 设， 当为以A、D、M、N为顶点的平行四边形的对角线时，则四边形为平行四边形， ，解得：， 此时，； 当为以A、D、M、N为顶点的平行四边形的边时，则四边形为平行四边形或四边形为平行四边形， 当四边形为平行四边形时： ， 解得：， 此时，； 当四边形为平行四边形时， ， 解得：， 此时，点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或或，使得A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，平行四边形性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 57．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 1．关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，函数值最小为，当时，， ∴抛物线与y轴交点为； 故只有选项B错误； 故选B． 2．已知点在抛物线上，若点也在该抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求出对称轴，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：点在抛物线上 抛物线的对称轴为直线 时，有最大值 故选：A． 3．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 4．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A 5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负相比较看是否一致即可判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误． 故选：B． 6．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是（    ） 0 1 2 1 1 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：设，将点、、代入得： ，解得， ， 抛物线的顶点为，开口向上， 当时，， 当时，， 当时，； 故选：C． 7．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴且， 故选：C． 8．将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位长度，得到， 再向右平移3个单位长度，得到， 故选：B． 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键 先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ． 故选：． 10．如图，已知二次函数、、为常数，的图像与轴交于，两点．下列结论中错误的有（    ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，对于①，先确定a，b，c的值，进而判断；先求出对称轴，再根据点离对称轴的距离，及抛物线的增减性判断②；根据对称轴求出，再将点代入函数关系式，求出，即可判断③；根据，可判断④． 【详解】由图象开口向下，可知，图象交y轴正半轴，可知，再根据“左同右异”，可知，则，故①正确； 二次函数（为常数，）的图象与轴交于点， 该函数的对称轴为直线， 和对应的函数值相等，当时，随的增大而增大， 若点和均在抛物线上，则，故②正确； 对称轴是直线， ， ， 点在该函数图象上， ， ， 即， ，故③正确； ， ， ， 即，故④错误； 故选：A． 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，找到对称轴；在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性即可． 【详解】解：在中，， ， 开口向上， 由于函数的对称轴为直线， 当时，的值随着的值增大而减小； 当时，的值随着的值增大而增大． 故答案为：减小 12．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 13．已知二次函数中，当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，明确题意，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 则当时，时，有最小值，为， 故答案为：． 14．飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为，则飞机着陆后滑行 秒才停下来． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值，根据顶点坐标的实际意义可得答案． 【详解】∵， ∴当时，s取得最大值， ∴飞机着陆后滑行秒才停下来． 故答案为：． 15．如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于、两点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时的坐标为 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式，再过点作轴的垂线，交于点，设点的坐标为，则，然后利用三角形的面积公式可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则和的边上的高之和等于， 设点的坐标为，则， 所以， 则的面积， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 此时， 所以的最大值为，此时的坐标为． 17．杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)试通过计算判断此球能否过网． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入可得出的值，继而得出抛物线解析式； （2）令，求出的值与比较即可． 本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般． 【详解】（1）解：根据题意设抛物线解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此球能过网，理由： 当时，， ， 此球能过网． 18．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 19．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，则，即可求解； （3）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （4）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， 故点； ①过作于点，过点作轴交于点，如图： ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设，，则， ， ， 当时，的最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大； 面积的最大值； （3）设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴的交于点， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （4）存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$