专题课　圆的切线问题（共2课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题课－圆的切线问题 00 前情回顾 直线与圆的位置关系 r r ∟ d ∟ d ∟ d r 直线与圆的位置关系 图示 F1： 几何法 F2： 代数法 F2： 代数法 F2： 代数法 直线与圆的位置关系 图示 交点个数 圆与直线方程解的个数 相交 2个 2个 相切 1个 1个 相离 0个 0个 d < r d > r d = r 1 圆的切线方程 目录 2 圆的切点弦 3 圆的切线长 00 课题引入 思考1：直线与圆相交时，我们研究了哪些问题？ 思考2：当直线与圆相交时，我们可以研究哪些问题呢？ 弦长，弦长的最值 切线条数，切线方程， 切线长，切点弦方程等 目录 1 圆的切线方程 01 新知探究 探究1 过一点作圆的切线，有多少条切线？ 我们该如何去求过一点与圆相切的直线方程？ y x 过圆上一点做圆的切线， 有且仅有1条 过圆外一点做圆的切线， 有且仅有2条 过圆内一点做圆的切线， 不存在 01 新知探究 探究2 如何求过圆上一点的切线方程？ F1(数形结合):(1) 先求直线OP的斜率，得切线的斜率为， 由点斜式可得切线方程； (2)如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y=y0或 x=x0. F2(待定系数): (1)如果斜率不存在，验证 x=x0是否为切线方程. (2) 由点斜式可设切线方程； 利用圆心到直线的距离等于半径(即d=r)建立等式，求出切线斜率. ①当切线斜率不存在时， 切线方程为x=x0; ②当切线斜率存在时， 设切线方程为y-y0=k(x-x0). 03 新知探究 探究2 如何求过圆外一点的切线方程？ 思路：(点线距＝半径): (1)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离 等于半径(即d=r)建立方程，可求得k，也就得切线方程. （或者联立方程，令Δ＝0） ①当切线斜率不存在时， 切线方程为x=x0; ②当切线斜率存在时， 设切线方程为y-y0=k(x-x0). 注：(1)过圆外一点的切线有2条. (2)当只求出一个方程k时，另一个方程应为x＝x0， 因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况. 03 新知探究 探究3 如何求斜率为的圆的切线方程？ 思路：(点线距＝半径): (1) 设切线方程为y＝kx+b(斜截式)P，则kx－y+b=0， 由圆心到直线的距离等于半径(即d=r)建立方程，可求得b，即可求得切线方程. （或者联立方程，令Δ＝0） 注：(1)斜率为的圆的切线方程有2条,必能求出两个b值; (2)若斜率为0或不存在时，观察图象即可写切线方程. 01 新知1——圆的切线方程 1. 过圆上一点的切线方程为: 2. 过圆上一点的切线方程为: 3. 过圆上一点的切线方程为: 01 新知1——圆的切线问题 1. 斜率为圆切线方程为: 2. 斜率为圆 切线方程的截距 01 新知1——圆的切线问题 1. 过圆一点的切线方程可设为: 2. 过圆一点的切线方程可设为: (1)将代入上面的的切线方程可求出 (2)用点斜式写出切线方程(不能回带设的方程) 练一练 例1 求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程？ 解：(F1) x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0. 解：(F2) 切线方程为:即2x＋y－9＝0. 练一练 解：∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外. 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意. 设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0. 例2 过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程？ 因此，直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. 练一练 例3 直线l与直线平行，且与圆相切， 求直线l的方程？ 解：(F1)设直线的方程为，即， 的圆心坐标为，半径为. 由，得或， 所以直线的方程为或. 解：(F1)切线方程为即 所以直线的方程为或. 目录 2 圆的切点弦 02 新知探究 探究4 过圆外一点的切线有2条， 设切点分别为A,B，如何求直线AB的方程？ 分析：设切点A()，B(),则 所以A，B同时满足方程： 两点确定一条直线得直线AB 02 新知2——圆的切点弦方程 过圆外一点的切线有2条，设切点分别为A,B，则： (1)直线AB称为过圆外一点的切点弦方程； (2)切点弦AB的方程为： 圆的切点弦方程： PACB四点共圆 练一练 解：∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.设切点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以A，B同时满足方程：1 例1 过点P(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，切点分别为A，B， 求经过两切点的直线方程？ 因此，所求直线AB的方程为：1 目录 3 圆的切线长 02 新知探究 探究5 过圆外一点的一条切线 的切点为H，如何求线段PH的长度？ 02 新知2——圆的切点弦方程 过圆外一点的切线有2条，设其中一个切点为H，则： (1)线段PH的长度称为过圆外一点的切线长； (2)切线长公式为：(M为圆心) 圆的切线长： PHM构成Rt三角形 注： 过圆外一点的切线长为: 练一练 例1 过点P(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，求切线长？ 解：圆的半径为1，设圆心坐标为M(2，3)，其中一个切点为H： PH= 练一练 例2 若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，求由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值？ 练一练 例3 由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线， 求该切线长的最小值？ 解：圆心C(3,0)到直线y＝x＋1的距离 总结 过直线上一点引圆的切线长的最值 当直线l上的点与圆心的连线与直线垂直时， 切线长最短： 课堂小结 圆的切线 切点弦方程 切线方程 切线长 过圆上一点的切线方程 过圆外一点的切线方程 (1)直线AB称为过圆外一点的切点弦方程； (2)切点弦AB的方程为： (1)线段PH的长度称为过圆外一点的切线长； (2)切线长公式为：(M为圆心) 本课结束 课后要记得巩固哦!