第2章 2.5.1 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、能力提升、综合应用三层递进设计，覆盖圆与直线位置关系核心知识点，梯度培养数学运算、推理意识与模型观念，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的弦长、定点、距离最值等单一知识点|如第1题弦长计算，直接应用垂径定理，强化概念理解| |提升层|直线与圆位置关系、参数范围等综合应用|如第6题多选项设计，融合相离判断、面积计算，培养批判性思维| |综合层|实际情境建模与复杂问题探究|如第13题触礁问题，通过坐标系转化实际问题为圆与直线位置关系，发展模型观念|

1．过圆C内一点D的直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1相交于A，B两点，且|CD|＝，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选B.圆心C(1，－1)，设圆心到直线l的距离为d，则|AB|＝2≥2＝，当直线l与CD垂直时，|AB|取最小值. 2．已知直线l：kx－y－2k＋2＝0(k∈R)过定点Q，若P为圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝4上任意一点，则|PQ|的最大值为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 解析：选C.由直线l：kx－y－2k＋2＝0(k∈R)，得y－2＝k(x－2)，所以直线l过定点Q(2，2)，由圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝4，知圆心坐标为(5，6)，半径为2，所以Q到圆心的距离为d＝＝5＞2，所以Q在圆C外，故|PQ|的最大值为d＋2＝7.　 3．已知直线l为过点(－2，0)且斜率大于0的一条动直线，P为l上一点，圆C：(x－1)2＋y2＝1.若|CP|的最小值为，则l的斜率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.设直线l：y＝m(x＋2)＝mx＋2m(m＞0)，由(x－1)2＋y2＝1，可知圆心C(1，0)，当PC⊥l时，|PC|取得最小值，即圆心C到l的距离为，由点到直线的距离公式可得＝，解得m＝. 4．(2026·南通期中)若实数x，y满足x2＋y2＝4，则x＋y的最大值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选B.易知x2＋y2＝4表示圆心为坐标原点，半径为2的圆，设t＝x＋y，即y＝t－x，t为该直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，截距可取到最值，此时原点到直线的距离为d＝＝2，解得t＝±2，所以x＋y的最大值为2. 5．过点P(2，0)作直线l与曲线y＝交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D．2 解析：选C. 由y＝，得y2＝4－x2(y≥0)，即x2＋y2＝4(y≥0)，所以曲线y＝是以原点为圆心，2为半径的半圆，如图． 因为S△AOB＝|OA||OB|sin ∠AOB， 所以当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB， 即(S△AOB)max＝×2×2＝2. 6．(多选)已知直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P为圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上的动点，则(　　) A．直线AB与圆C相离 B．△ABC的面积为12 C．当∠PBA最小时，|PB|＝ D．点P到直线AB距离的最大值为 解析：选AC.由圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，可得圆心为C(3，4)，半径为r＝2. 对于A，圆心C到直线4x＋3y－12＝0的距离为d＝＝＞r＝2，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B，A(3，0)，B(0，4)，则|AB|＝5，由点C到直线AB的距离为，则S△ABC＝×5×＝6，所以B错误； 对于C，如图所示，当∠PBA最小时，直线PB与圆C相切，此时|PB|＝＝＝，所以C正确； 对于D，点P到直线AB距离的最大值为d＋r＝＋2＝，所以D错误． 7．(2026·临沂期中)设P，Q分别是直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝1上的动点，则|PQ|的最小值为________． 解析： 如图，圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，所以圆心O(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以|PQ|的最小值为d－r＝－1. 答案：－1 8．已知某岛屿A正西方向120 km处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为20 km/h.距台风中心100 km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿A所在地受到影响的持续时间为 ________ h. 解析：如图，设平面直角坐标系的原点O为台风中心，x轴正半轴上存在岛屿A(120，0)，且台风中心在第一象限沿着直线y＝x运动， 以A为圆心，以100为半径的圆与直线y＝x交于B，C两点，因为点A到直线x－y＝0的距离d＝＝60，则|BC|＝2＝160，则岛屿A所在地受到影响的持续时间为＝8 h. 答案：8 9．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆．已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则的最小值为________． 解析： 把看成动点P(x，y)与定点A(2，0)所在直线的斜率，如图， 当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1(x≥0)相切时，斜率最小， 设直线AP的方程为y＝k(x－2)， 即kx－y－2k＝0， 此时由圆心到直线的距离等于半径可得＝1，解得k＝－或k＝0(舍去)， 所以的最小值为－. 答案：－ 10．(13分)已知圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝9，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0. (1)求证：直线l恒过定点Q；(3分) (2)当圆心C到直线l的距离取得最大值时，求m的值；(5分) (3)当m＝0时，P为l上一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.求四边形PACB面积的最小值．(5分) 解：(1)证明：由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0得m(2x＋y－7)＋(x＋y－4)＝0， 由得 所以直线l恒过定点Q(3，1). (2)由(1)知，当l⊥QC时，圆心C到直线l的距离取得最大值， 易知圆心为C(－1，－2)， 因为kQC＝＝，所以kl＝－， 即－＝－，解得m＝. (3) 当m＝0时，直线l的方程为x＋y－4＝0， 故可设P(a，4－a)， 圆C的半径r＝3， S四边形PACB＝2S△PAC＝2×|PA|·|AC|＝3|PA|＝3，圆心C(－1，－2)到直线l的距离为d＝＝， 所以|PC|2≥d2＝， 所以S四边形PACB≥3＝， 即四边形PACB面积的最小值为. 11．(2026·咸宁期末)已知圆C：(x－3)2＋y2＝9上有4个不同的点到直线l：y＝kx的距离等于1，则实数k的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－，) 解析：选D.由题意可知，圆C：(x－3)2＋y2＝9的圆心为C(3，0)，半径r＝3，则C(3，0)到直线l：kx－y＝0的距离d＝，若圆C上有4个不同的点到直线l的距离等于1，则d<r－1， 即<2，解得－<k<， 所以实数k的取值范围是(－，). 12．(2026·厦门期末)已知点P在直线l：3x＋4y＋3＝0上，过P作圆M：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的两条切线，切点为A，B，则∠APB的最大值为________． 解析：圆M化为标准形式为(x－3)2＋(y－2)2＝4，圆心M(3，2)，半径r＝2.圆心M到直线l的距离为d＝＝4>2，即直线l与圆M相离． 因为MA⊥AP，故sin ∠MPA＝＝，故当MP⊥l时，|MP|最小，因为0°<∠MPA<90°，所以此时∠MPA最大，则∠APB＝2∠MPA也取得最大值． 此时sin ∠MPA＝＝，所以∠MPA＝30°，所以∠APB＝2∠MPA＝60°. 答案：60° 13．(13分)如图，某湖面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛4千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程；(5分) (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛4千米处，正沿着北偏东60°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？(8分) 解：(1)依题意，因为A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛4千米处，则点A(4，4)， 又B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处，则B(2，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以圆C的方程为x2＋y2－2x－6y＝0. (2)因为船D在O岛的南偏西30°方向距O岛4千米处，则D(－2，－2)， 而船D沿着北偏东60°方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线l的方程为x－y－4＝0， 由(1)知，圆C的圆心为C(1，3)，半径r＝，则圆心C到直线l的距离d＝＝＞，则d＞r， 所以该船没有触礁的危险． 14．(15分)已知圆C的圆心在y轴正半轴上，半径为2，且圆C与直线3x＋4y＋2＝0相切． (1)求圆C的方程；(4分) (2)过点T(0，3)的直线l1与圆C交于A，B两点，O为坐标原点． ①若△AOB的面积为3，求l1的斜率；(5分)　 ②若过点T(0，3)的直线l2与圆C交于P，Q两点，且l1⊥l2，求四边形APBQ的面积S的最小值．(6分) 解：(1)设圆心C(0，m)，m＞0， 因为圆C与直线3x＋4y＋2＝0相切， 所以圆心C到该直线的距离为d＝＝2，因为m＞0，解得m＝2， 故圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4. (2)①因为△AOB的面积为3，|OT|＝3|CT|，所以△ABC的面积为， 即S△ABC＝×22×sin ∠ACB＝， 所以sin ∠ACB＝， 若∠ACB＝60°，则圆心C到直线l1的距离为2sin 60°＝＞1＝|CT|，不符合题意； 若∠ACB＝120°，则圆心C到直线l1的距离为2sin 30°＝1＝|CT|，符合题意， 所以CT⊥l1，则直线l1的斜率为0. ②当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，将y＝3代入圆C的方程x2＋(y－2)2＝4中，得x＝±，所以 S＝|AB|·|PQ|＝×2×4＝4； 当直线l1，l2的斜率都存在时， 设直线l1的方程为y＝kx＋3(k≠0)， 则直线l2的方程为y＝－x＋3， 所以点C(0，2)到直线l1的距离为d1＝，则|AB|＝2＝2， 同理可得|PQ|＝2＝2， 所以S＝|AB|·|PQ| ＝2 ＝2 ＝2＞2＝4， 综上所述，S≥4，即四边形APBQ面积的最小值为4. 15．(2026·南阳期中)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝3，点N(0，－3)，点A为直线l：x＝－1上的动点，过点A作圆C的切线，切点为M，则|AM|＋|AN|的最小值为________． 解析：圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝3的圆心为C(1，1)，半径r＝，点N(0，－3)，点A在直线x＝－1上，设A(－1，t)(t∈R)，根据切线长公式，得|AM|＝＝， 点A到点N的距离为|AN|＝＝， 因此|AM|＋|AN|＝＋，则|AM|＋|AN|的最小值可转化为x轴上的动点P(t，0)到两定点Q1(1，1)和Q2(－3，1)的距离之和的最小值，由于Q1，Q2在x轴同侧，作Q1关于x轴的对称点Q′1(1，－1)(图略)， 则|PQ1|＋|PQ2|＝|PQ′1|＋|PQ2|≥|Q′1Q2|， 当且仅当P为Q′1Q2与x轴的交点时取等号， |Q′1Q2|＝＝＝2. 所以|AM|＋|AN|的最小值为2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $